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Mathematik » Topologie » Fixpunkte und Zusammenhang
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Universität/Hochschule Fixpunkte und Zusammenhang
Aegon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-02-11 19:28

\(\begingroup\)
Hallo,
ich habe folgende Aufgabe:
Für einen topologischen Raum $X$ gilt:
$f:X \rightarrow X$, f stetig hat immer einen Fixpunkt.

Dann gilt, dass $X$ zusammenhängend ist.

Ich habe folgenden Beweis:
Sei nun X nicht zusammenhänged, $U,V$ die entsprechenden offenen Mengen.Da sie nichtleer sind, existiert $u \in U, v \in V$.

def.
$f(x)= u$ falls $x \in V$ und $f(x)=v$ falls $x \in U$
Sie ist stetig da das Urbild einer offenen Menge entweder ganz V, ganz U oder leer ist.

Nun hat auch diese Funktion einen Fixpunkt, also muss o.B.d.A. gelten $\exists x \in U, s.d. f(x)=x$ Damit gilt aber auch, dass $x \in V$ und dies ist ein Widerspruch.

Wäre das richtig so?
\(\endgroup\)


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Triceratops
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-02-11 20:06


1) Die Formulierung "entsprechende offene Mengen" ist etwas ungenau. Schreibe besser hin, was U,V erfüllen sollen.
2) Bei f tritt auch ganz X als Urbild auf.
Eventuell musst du hier noch überzeugender begründen, warum es nur die genannten Urbildmengen gibt.
Alternativ: Nutze dass konstante Funktionen stetig sind und dass man stetige Funktionen entlang von offenen Überdeckungen miteinander verkleben kann.
3) Ein zusammenhängender Raum ist auch insbesondere nichtleer per Definition. Du musst also noch zeigen, dass X nicht leer ist.



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Aegon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-11 20:19

\(\begingroup\)
1) $U,V \subset X$ offen, $U\cap V \new \emptyset, U\cup V=X.

2)Ja, $X$ habe ich vergessen, aber dann bleibt es ja trz stetig.

Der Beweis ist so vllt. etwas ungenau, es ging mir aber auch darum, ob die Beweisidee richtig ist.
\(\endgroup\)


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-02-14 07:22


Den Befehl \new kennt Latex nicht. Vielleicht wolltest du \neq schreiben, aber das wäre falsch. Der Schnitt muss leer aein.

Und es sollten U,V auch nichtleer sein.

Ja, deine Beweisidee ist vollkommen richtig.



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