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Moderiert von Fabi Dune ligning
Lineare Algebra » Eigenwerte » Matrix (Linearkombination)
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Universität/Hochschule Matrix (Linearkombination)
Frage031
Neu Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.02.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-02-13 23:38


Ich soll von einer Matrix die Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmen und zeigen, dass die Matrizen tatsächlich ihre charakteristischen Gleichung erfüllt. Außerdem soll ich die Inverse der Matrix durch eine Linearkombination der von Matrix A und Einheitsmatrix E ausdrücken.

Matrix A = fed-Code einblenden

Für die Eigenwerte habe ich die Werte -1 / 1 / 2 raus.

Für die Eigenvektoren habe ich einmal fed-Code einblenden einmal fed-Code einblenden und einmal fed-Code einblenden .

Aber jetzt verstehe ich nicht was es mit der charakteristischen Gleichung auf sich hat und das mit der Linearkombination. Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?



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wladimir_1989
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Dabei seit: 23.12.2014
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-02-14 00:33

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Hallo Frage031 und willkommen auf dem Matheplaneten,

schön, dass du direkt den Editor verwendest. Zur Frage: die charakteristische Gleichung ist gegeben durch \(\text{det}(A-xI)=0\). Es ist also genau die Gleichung aus der man die Eigenwerte berechnet. Du musst dort statt x die Matrix selbst einsetzen und nachrechnen, dass die Gleichung erfüllt ist. Dies gilt immer nach dem Satz von Cayley-Hamilton.


lg Wladimir
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wladimir_1989
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.12.2014
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Aus: Freiburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-02-14 00:59

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Hallo nochmals:
zur zweiten Frage:

man hat die charakteristische Gleichung in der Form
\(\sum_{i=0}^n\alpha_iA^i=0\). Angenommen, der freie Glied \(\alpha_0I\) ist nicht 0, also \(\alpha_0\neq 0\), was genau dann der Fall ist, wenn die Matrix A invertierbar ist (Warum?), können wir den freien Glied auch in folgender Form schreiben: \(\alpha_0I=\alpha_0AA^{-1}\). Nun können wir die charakteristische Gleichung nach \(A^{-1}\) umstellen und erhalten \(A^{-1}=-\frac{1}{\alpha_0}\sum_{i=1}^n\alpha_iA^{i-1}\). Beachte, dass auf der rechten Seite nur Potenzen von A und die Einheitsmatrix auftreten.

lg Wladimir
\(\endgroup\)


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