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Mechanik » Sonstiges » Differenzialgleichung Lösen
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Autor
Universität/Hochschule Differenzialgleichung Lösen
Emil_M
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-02-14 12:27

\(\begingroup\)
Ich muss die Differentialgleichung

\[\frac{d^2u}{d\varphi^2}=-u+3u^2+C_1\]
mithilfe des Ansatzes \(u=C_1(C_2 \cos(\varphi)+1)+v\) lösen, wobei \(C_1\) und \(C_2\) reelle Konstanten sind, und \(v\) klein.

Die Lösung in erster Ordnung soll sein:
\[\frac{d^2v}{d\varphi ^2}+v=3C_1^2(1+C_2\cos(\varphi))^2\]
Zweimaliges ableiten des Ansatzes und einsetzten ergibt:
\[-C_1 C_2\cos(\varphi)+v''=-C_1C_2\cos(\varphi)-C_1-v+3\Big(C_1\big(C_2\cos(\varphi)+1\big)+v\Big)^2+C_1\] Nach wegfallen einiger Termbe bleibt:
\[v''+v=3\Big(C_1^2\big(C_2\cos(\varphi)+1\big)^2\Big)+2C_1\big(C_2\cos(\varphi)+1\big)v+v^2\]
Da \(v\) klein ist können wir \(v^2\)strichen. Daher bleibt
\[v''+v=3C_1^2\big(C_2\cos(\varphi)+1\big)^2+6C_1\big(C_2\cos(\varphi)+1\big)v\]
Das sieht der Lösung ja schon recht ähnlich, aber ich weiß leider nicht wiedso der zweite Term auf der rechten Seite wegfallen sollte?

Hat jemand von euch eine Idee? Danke!
\(\endgroup\)


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dietmar0609
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Mitteilungen: 2572
Aus: Oldenburg , Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-02-14 13:23


Ok-Häkchen gesetzt.:

hast du es gelöst ?



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Emil_M
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Mitteilungen: 21
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-14 14:56

\(\begingroup\)
Ja, ich hatte übersehen dass \(C_1\) auch als klein angenommen wird, weshalb das Produkt \(C_1\cdot v\) vernachlässigt werden kann.

Aber danke für die Nachfrage :)
\(\endgroup\)


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Wally
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Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 8022
Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-02-14 15:11


OK, dann ist <math>C_1^2</math> erst recht klein und es bleibt <math>v''=0</math>, oder?

Mir ist auch nicht richtig klar. wie du von einer  Dgl. erster Ordnung auf eine zweiter Ordnung kommst.

Wally



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Emil_M
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Mitteilungen: 21
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-15 09:58

\(\begingroup\)
Sorry, das war ein Tippfehler von mir. Die Gleichung sollte natürlich 2. Ordnung sein.

Warum \(C_1^2 \neq 0\) ist ist natürlich eine gute Frage...
\(\endgroup\)


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Emil_M hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Emil_M hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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