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Logik, Mengen & Beweistechnik » Induktion » ∑(n² - i²) = n (n + 1) (4n - 1) / 6
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Universität/Hochschule ∑(n² - i²) = n (n + 1) (4n - 1) / 6
Knightfire66
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-02-14 20:52

\(\begingroup\)
Hallo,

die Aufgabe ist eigentlich einfach.

Ich muss folgende mit vollständiger Induktion zeigen:



ich habe die Lösung beziehungsweise den ersten Teil hier:

Ich verstehe nicht, wieso die Summe, also \(\sum\limits_{i=0}^{(n+1)-1}... \) so ausgeschrieben wird, wie auf dem Bild.
Mit rotem ? markiert...



Mein Hauptproblem ist die stelle mit (n+1)^2 -n^2... ich kenne mich mit vollst. Induktion ganz gut aus... aber ich verstehe nicht wie das der (n+1)-1-te teil der Summe sein kann?

mfg.
\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-02-14 21:39


Hallo Knightfire66,

hier stand Mist eek



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Wirkungsquantum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-02-14 21:53

\(\begingroup\)
Hallo,
wie kommst du denn auf deinen IA erstmal?
Wenn du es für n=1 zeigen möchtest, müsste es doch $ 1^2-0^2=1$
heißen.
Dementsprechend passt auch die rechte Seite der Gleichung für den IA nicht.

Jetzt zum Induktionsschritt:
Ich kann nicht wirklich lesen was da steht daher schreib ichs mal noch mal auf, vielleicht klärt sich das dann von selbst:
$\sum \limits_{i=0}^{(n+1)-1}(n+1)^2-i^2=\sum \limits_{i=0}^{n-1}n^2-i^2-n^2+n^2+2n+1=\sum \limits_{i=0}^{n-1}n^2-i^2+2n+1=_{IV} \frac{n(n+1)(4n-1)}{6}+2n+1=\frac{(n+1)(n+1+1)(4(n+1)-1)}{6}$
Das ausmutiplizieren der Klammern hab ich mal weggelassen.

Grüße,
h
Edit: So jetzt passt alles biggrin
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


-----------------
$h=6,626⋅10^{-34} Js$
\(\endgroup\)


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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-02-14 22:20

\(\begingroup\)
2018-02-14 21:53 - Wirkungsquantum in Beitrag No. 2 schreibt:
Hallo,
wie kommst du denn auf deinen IA erstmal?
Wenn du es für n=1 zeigen möchtest, müsste es doch $ 1^2-0^2=1$
heißen.
Dementsprechend passt auch die rechte Seite der Gleichung für den IA nicht.

Für mich sieht es so aus, als ob der TS richtigerweise $n=0$ als Induktionsanfang genommen hätte, und tatsächlich liefern dafür auch beide Seiten der Gleichung den Wert 0. Allerdings ist seine Begründung dieses Ergebnisses für die linke Seite Unsinn.  eek

PS: Man kann sich hier übrigens fragen wie wohl der "kleine Gauß" diese Aufgabe hätte. Ich lass im Folgenden meine Fantasie jetzt mal ein bißchen "schweifen" :

$\sum\limits_{i=0}^{n-1} (n^2-i^2)=\sum\limits_{i=0}^{n-1} (n+i)(n-i)=n\sum\limits_{i=0}^{n-1} (n-i)+\sum\limits_{i=0}^{n-1} i(n-i)=n\frac {n(n+1)}2+\sum\limits_{i=1}^{n-1} i(n-i)$

Es geht also somit hier im Wesentlichen um die Berechnung von $\sum\limits_{i=1}^{n-1} i(n-i)$, was auch für den"kleinen Gauß" vermutlich nicht einfach gewesen wäre, auch wenn er dafür "nur" seine heute nach ihm benannten Summen noch einmal aufsummieren muss: *)

$\sum\limits_{i=1}^{n-1} i(n-i)=\sum\limits_{i=1}^1 i+\sum\limits_{i=1}^2 i+\ldots+\sum\limits_{i=1}^{n-1} i=\sum\limits_{i=2}^n \binom i2=\binom {n+1}3$

Oben eingesetzt sollte dies dann das gewünschte Ergebnis liefern.  wink

*) Ein alternativer, aber dann vergleichsweise schon etwas aufwändigerer Weg besteht darin, dass man

$(1+x+x^2+\ldots+x^n)/2$

oder besser gesagt die Summenformel

$\frac{x^{n+1}-1}{2(x-1)}$

dafür zweimal nach $x$ ableitet und dann den Grenzübergang $x\to 1$ durchführt.
\(\endgroup\)


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Knightfire66
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-15 12:44

\(\begingroup\)

Wenn du es für n=1 zeigen möchtest, müsste es doch 12−02=1

ich dachte auch n=1 aber das liefert nicht was ich will... ich dachte daher, dass ich einfach n=0 nehme, da die summe ja auch bei i=0 anfängt, sollte das kein problem darstellen. Außerdem soll die induktion ja am ende wahr rausbekommen... also hab ichs so gelasssen, da es ja auch für n=0 klappt.


\(\sum\limits_{i=0}^{n-1} (n^2-i^2)=\sum\limits_{i=0}^{n-1} (n+i)(n-i)=n\sum\limits_{i=0}^{n-1} (n-i)+\sum\limits_{i=0}^{n-1} i(n-i)=n\frac {n(n+1)}2+\sum\limits_{i=1}^{n-1} i(n-i)\)

Es geht also somit hier im Wesentlichen um die Berechnung von ∑i=1n−1i(n−i), was auch für den"kleinen Gauß" vermutlich nicht einfach gewesen wäre, auch wenn er dafür "nur" seine heute nach ihm benannten Summen noch einmal aufsummieren muss: *)

\(\sum\limits_{i=1}^{n-1} i(n-i)=\sum\limits_{i=1}^1 i+\sum\limits_{i=1}^2 i+\ldots+\sum\limits_{i=1}^{n-1} i=\sum\limits_{i=2}^n \binom i2=\binom {n+1}3\)

danke das ist das was mir fehlt... aber ich verstehe es nicht :/...

wieso erhält man da auf einmal matrizen? O.o

die zweite variante lass ich lieber mal raus...

mfg
\(\endgroup\)


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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-02-15 12:55

\(\begingroup\)
2018-02-15 12:44 - Knightfire66 in Beitrag No. 4 schreibt:
danke das ist das was mir fehlt... aber ich verstehe es nicht :/...

wieso erhält man da auf einmal matrizen? O.o

Das sind keine Matrizen, sondern Binomialkoeffizienten *), z.B. ist

$\binom {n+1}3=\frac{(n+1)\cdot n\cdot (n-1)}{1\cdot2\cdot 3}$

Und warum ist nun die linke Seite, wenn man $n=0$ in die behauptete Formel für den Induktionsanfang einsetzt, wirklich 0? Deine Begründung dafür war wie gesagt oben noch falsch.

*) Vielleicht solltest du dann doch lieber einen ganz normalen Induktionsbeweis hier machen, wenn du Binomialkoeffizienten noch nie in deinem Leben gesehen hast.   biggrin  

Ersetzt man in der linken Seite der behaupteten Formel $n$ durch $n+1$ so erhält man zunächst

$\sum\limits_{i=0}^n ((n+1)^2-i^2)=\underbrace{\sum\limits_{i=0}^{n-1} (n^2-i^2)}_{I.V.!}+\sum\limits_{i=0}^n (2n+1)=\ldots$

und der Rest des Beweises besteht dann nur mehr aus simplen Umformungen solange bis man bei der rechten Seiten der Behauptung, aber mit $n+1$ statt $n$ angelangt ist.

Niemals - auch auch wirklich niemals! - solltest du übrigens den typischen Anfängerfehler machen, die Behauptung für $n+1$ als Gleichung aufzustellen und dann beide Seiten gleichzeitig(!) solange umzuformen, bis dabei am Ende eine wahre Aussage herauskommt! Stattdessen, wie oben skizzziert, immer von einer Seite ausgehen und unter Benützung der Induktionsvoraussetzung diese solange umformen bis die andere Seite herauskommt, da kann dann nichts schiefgehen dabei!  wink
\(\endgroup\)


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Knightfire66
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-15 14:41

\(\begingroup\)
Hallo,

\(\sum\limits_{i=0}^n ((n+1)^2-i^2)=\underbrace{\sum\limits_{i=0}^{n-1} (n^2-i^2)}_{I.V.!}+\sum\limits_{i=0}^n (2n+1)=\ldots\)

das sieht ja jetzt ganz anders aus als bei mir.

\(\sum\limits_{i=0}^{n+1-1} ((n+1)^2-i^2) +(n+1)^2-n^2\)
\(= \sum\limits_{i=0}^{n-1} (n^2-i^2) + \sum\limits_{i=0}^{n} (2n+1) + 2n+1 \)
\(= n(2n+1) + \sum\limits_{i=0}^{n-1} (n^2-i^2) + 2n+1 \Rightarrow Induktionsvorraussetzung \)

wieso gibt es bei dir kein "n+1" teil der Summe? fällts wegen n+1-1= n raus? und deswegen hat man nur den ersten Teil? \(\sum\limits_{i=0}^n ((n+1)^2-i^2)\)...

ich denke damit sollte auch das richtige ergebnis rauskommen EDIT Bin mir da nicht so sicher... habs aber noch nciht ausgerechnet EDIT bin dabei... schreibe es hier rein wenn ichs habe...

mfg
\(\endgroup\)


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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-02-15 15:00

\(\begingroup\)
2018-02-15 14:41 - Knightfire66 in Beitrag No. 6 schreibt:
das sieht ja jetzt ganz anders aus als bei mir.

$\sum\limits_{i=0}^{n+1-1} ((n+1)^2-i^2) +\underbrace{(n+1)^2-n^2}_{???}$

Von wo in aller Welt kommt bei dir der Term her, den ich oben mit ??? markiert habe?  confused
\(\endgroup\)


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Knightfire66
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-15 15:03


das würd ich auch gerne wissen... so stehts in den Lösungen... die hab ich nicht vom tutor, sondern von einem Kommilitonen... könnte zwar falsch sein aber ich komme am ende alles umgeformt auf dasselbe wie rechrts.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-02-15 15:18

\(\begingroup\)
2018-02-15 15:03 - Knightfire66 in Beitrag No. 8 schreibt:
das würd ich auch gerne wissen... so stehts in den Lösungen... die hab ich nicht vom tutor, sondern von einem Kommilitonen... könnte zwar falsch sein aber ich komme am ende alles umgeformt auf dasselbe wie rechrts.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]

Egal wo du diesen "Wurmfortsatz" her hast, von einem Kommilitionen oder aus einer Musterlösung in einem Buch, er ist natürlich klar falsch! Was könnte leichter sein, als in dem Ausdruck

$\sum\limits_{i=0}^{n-1}(n^2-i^2)$

eiinfach überall dort, wo ein $n$ steht konsequent ein $n+1$ einzusetzen??? Daran sollte es aber nun wirklich nicht scheitern!  eek
\(\endgroup\)


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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-02-15 15:20


Kann es sein, dass ihr nicht bedenkt, dass sich auch die Obergrenze (Nein, ich bin nicht der Seehofer!) ändert?

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[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]


-----------------
Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -



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Knightfire66
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-15 15:48


2018-02-15 15:20 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 10 schreibt:
Kann es sein, dass ihr nicht bedenkt, dass sich auch die Obergrenze (Nein, ich bin nicht der Seehofer!) ändert?

fed-Code einblenden

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]

doch ich denke die ganze zeit an die obergrenzen. dachte, dass es vielleicht damit zutun hat... aber egal ich versuche grad das so zu lösen wie weird sagt.

viel erfolg habe ich aber nicht:


ich komme nicht auf dasselbe links und rechts...
mfg



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2018-02-15 16:04

\(\begingroup\)
2018-02-15 15:20 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 10 schreibt:
Kann es sein, dass ihr nicht bedenkt, dass sich auch die Obergrenze (Nein, ich bin nicht der Seehofer!) ändert?

fed-Code einblenden

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]

Hm, und wo ist jetzt genau der Unterschied zu dem, was ich oben geschrieben habe? Oder hast du schlicht und einfach übersehen, dass man

$\sum\limits_{k=0}^{n-1}(2n+1)+(2n+1)$

zu

$\sum\limits_{k=0}^n(2n+1)$

zusammenfassen kann?  eek

\(\endgroup\)


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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2018-02-15 16:17

\(\begingroup\)
Hi zusammen

Ein Induktionsanfang für <math>n=0</math> macht schon mal wenig Sinn, da dann die Summe „rückwärts“ laufen würde:
<math>\displaystyle \sum_{i=0}^{-1} \dots</math>
Auch der Anfang für die linke Seite im handschriftlichen Teil <math>0^2-0^2=0</math> ist Unsinn, da die Summe leer ist (es gibt keine Summanden) und somit per Definition <math>=0</math> ist.

Die Mahnung von weird ist zwar berechtigt:
2018-02-15 12:55 - weird in Beitrag No. 5 schreibt:
Niemals - auch auch wirklich niemals! - solltest du übrigens den typischen Anfängerfehler machen, die Behauptung für $n+1$ als Gleichung aufzustellen und dann beide Seiten gleichzeitig(!) solange umzuformen, bis dabei am Ende eine wahre Aussage herauskommt!
Aber mitunter ist es sinnvoll, beide Seiten der zu zeigenden Induktionsgleichung separat(!) umzuformen, und sich so von beiden Seiten einer zu zeigenden Gleichheit zu nähern. Also:

fed-Code einblenden
Natürlich hätte man die linke Seite durch geschickte Klammertricks weiter umformen können, bis die rechte Seite dasteht. Aber so ist es meines Erachtens deutlich einfacher.

Gruß vom ¼

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]


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Bild
\(\endgroup\)


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Knightfire66
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-15 16:35


Zu zeigen für n+1 da ist natürlich konsequent und stur jedes n durch n+1 zu ersetzen:

aso ok für n setze ich ja n+1 und i geht von 0 bis n+1-1, also i bekommt n+1-1... das macht nun sinn... und das ist der erste teil der summe... und davor bleibt die Summe mit der Obergrenze n-1 übrig... das wird auseinander gezoge um die I.V. zu erhalten und einzusetzen?

1/4 danke sehr... die anderen haben auch dasselbe gesagt aber vieles ist zwischendurch immer verloren gegangen oder ich habs übersehen... also danke für jede Antwort!



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2018-02-15 16:56

\(\begingroup\)
2018-02-15 16:17 - viertel in Beitrag No. 13 schreibt:
Ein Induktionsanfang für <math>n=0</math> macht schon mal wenig Sinn, da dann die Summe „rückwärts“ laufen würde:
<math>\displaystyle \sum_{i=0}^{-1} \dots</math>

Die Summationsvorschrift besagt, dass man über $i$ summieren soll, für welche gilt $i\ge0$ und $i\le -1$. Da es solche $i$ nicht gibt, haben wir also den klassischen Fall einer leeren Summe vorliegen mit Wert 0, wie du ja auch selbst sagst. Jedes CAS - und die Leute da müssen sich das wohl mehr überlegen, denn im Gegensatz zu uns können sie sich da keinen Fehler mit einem Rattenschwanz an bösen Folgen leisten - sollte das auch anstandslos akzepieren, hier die Probe aufs Exempel:

Maple
sum(n^2-i^2,i=0..-1)
                             0


Auch der Anfang für die linke Seite im handschriftlichen Teil <math>0^2-0^2=0</math> ist Unsinn, da die Summe leer ist (es gibt keine Summanden) und somit per Definition <math>=0</math> ist.

Meine Worte! Aber ist das nicht eigentlich ein Widerspruch zu dem, was du gerade eben gesagt hast?  eek


Die Mahnung von weird ist zwar berechtigt: [..]
Aber mitunter ist es sinnvoll, beide Seiten der zu zeigenden Induktionsgleichung separat(!) umzuformen, und sich so von beiden Seiten einer zu zeigenden Gleichheit zu nähern.

Als heuristische Überlegung auf dem Weg zu einem "echten" Beweis mag man das ja durchgehen lassen, in einer Endausarbeitung des Beweises - und darauf zielte meine Bemerkung oben ab - sollte dann sowas nicht mehr drinnen stehen.

Ok, also dann auch noch von meiner Seite die detaillierte Ausführung des Induktionsschritts von $n$ auf $n+1$ und damit insbesondere der Nachweis, dass der von mir vorgeschlagene Weg wahrlich keine Hexerei ist:

$\sum\limits_{i=0}^{n+1-1}((n+1)^2-i^2)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}(n^2-i^2)+\sum\limits_{i=0}^n (2n+1)=\frac{n(n+1)(4n-1)}6+(n+1)(2n+1)=\\
=\frac{n+1}6 (4n^2+11n+6)=\frac{(n+1)(n+2)(4n+3)}6=\frac{(n+1)((n+1)+1)(4(n+1)-1)}6$

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.13 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Knightfire66
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Danke  smile



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