Die Mathe-Redaktion - 21.04.2018 22:46 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt4 im Schwätz / Top 15
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktAnmeldung MPCT Juli
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden oder den Newsletter bestellen.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 255 Gäste und 23 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Mathematik » Analysis » Fixpunkt nach Banach
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Fixpunkt nach Banach
Mathsman
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2017
Mitteilungen: 170
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-03-17


Hallo liebe Leute, hab mal wieder einen Knoten im Kopf bei einer Aufgabe.
fed-Code einblenden

D.h. ich muss die Voraussetzungen für den Fixpunktsatz nachweisen.
1.)(M,d) vollständiger metrischer Raum, aber das ist erfüllt, da (R^2,d) ein vollständiger metrischer Raum ist und M eine abgeschlossene Teilmenge von R^2 ist. (Wobei ich da nicht sicher bin, ob ich das ganz ohne Beweis annehmen kann. Es klingt verlockend logisch)
2.) Und da hänge ich, wie kann ich die Kontraktionseigenschaft nachweisen. Normalerweise leitet man die Funktion ja ab, sucht in dem Bereich M das Maximum. Kann das dann mit dem 2. MWS abschätzen und erhält die Zahl für die Kontraktion. So jetzt haben wir es hier aber mit einer zweidimensionalen Funktion zu tun. Kann ich da einfach so vorgehen, dass ich die 1. Zeile nach x ableite und y als Konstante behandle und in der 2. Zeile umgekehrt. Und dann extra für beide den MWS anwende?
3.) Die Selbstabbildungseigenschaft, die bei uns in der Vo gar nicht gemacht wurde, ist dann glaub ich eher wieder schaffbar, was ich so auf den 1. Blick erkennen kann.

Bitte um Hilfe,
Mathsman



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Mathsman
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2017
Mitteilungen: 170
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-18


Gut ich habe jetzt in meinen Unterlagen nachgesehen, 1.) haben wir bereits während der Vo bewiesen also kann ich das ohne weiteres annehmen.

Zu zweitens hab ich aber immer noch wenig Ideen, da beide Variablen in beiden Ausdrücken drinnen stehen. Und nein wir haben keine Tricks dafür in der Vorlesung gelernt.

Bei uns heißt es lediglich:
Sei f: X->X eine Kontraktion und X sei ein vollständig. Dann existiert ein eindeutig bestimmter Fixpunkte.
(die Selbstabbildungseigenschaft wurde bei uns zum Beispiel nie erwähnt)
Wahrscheinlich muss ich da mit der euklidischen Norm vom R^2 arbeiten können, nur ich seh nicht wie das geht.
Bitte um Hilfe,
Mathsman



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
AnnaKath
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 2805
Aus: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-03-18

\(\begingroup\)
Huhu Mathsman,

Du kannst hier die Kontraktionseigenschaft leicht direkt nachrechnen. Rechne einfach los: $\| f(x_1,y_1) - f(x_2,y_2) \|^2 = \ldots \leq k^2 \cdot \| (x_1,y_1)^T - (x_2,y_2)^T \|^2$.
Als kleiner Tipp: Du kannst z.B. $k^2 = \frac{13}{16}$ wählen.

lg, AK.
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Mathsman
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2017
Mitteilungen: 170
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-18


Ja gut dann rechne ich los:
fed-Code einblenden

2. Idee:
Soll ich bei der zweiten Norm dieser Gleichungskette stehen bleiben und künstlich schauen was der höchste Wert ist, der erreicht wird. Wenn ich mich nicht verrechnet hab ist dies dann 1/Wurzel(2). Nur das kann ich nicht nach oben abschätzen mehr...

Bitte um ein bisschen mehr Hilfe noch,
lg Mathsman



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Mathsman
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2017
Mitteilungen: 170
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-18


Da muss es einen Trick geben, den ich einfach nicht sehe. Weil zweidimensionale Funktionen hatten wir in der Vorlesung noch gar nicht. Irgendwie dürfte ich da komplett falsch abschätzen.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
AnnaKath
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 2805
Aus: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-03-19

\(\begingroup\)
Huhu Mathsman,

es mag "Tricks" geben, aber es geht auch mit rudimentärer Technik. Zunächst einmal empfehle ich dringend, die Normen zu quadrieren.

Und dann rechnest Du los. Nach dem ersten Schritt in Deiner Gleichungskette wendest Du die Definition der Norm an. Du wirst dann Ausdrücke der Form $\left ( \frac{a_1}{x_1}-\frac{a_2}{x_2}+\frac{b_1}{y_1}-\frac{b_2}{y_2} \right )^2$ erhalten. Dies lässt sich umformen zu $\left ( \frac{a_1x_2-a_2x_1}{x_1x_2}+\frac{b_1y_2-b_2y_1}{y_1y_2} \right )^2$.
Rechne dies aus und schätze die Nenner jeweils ab unter Verwendung von $x_1,x_2,y_1,y_2 \geq 2$, nimm des Weiteren o.E. an, dass $|x_1-x_2| \leq |y_1-y_2|$ gilt.

lg, AK


Ein Berufen darauf, dass es Dinge gibt, die man noch nicht konkret in der Vorlesung vorgerechnet bekommen hat, darf m.E. und trotz Bologna nicht als Ausflucht dienen, eine Aufgabe erst gar nicht ernsthaft anzugehen...
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Mathsman
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2017
Mitteilungen: 170
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-19


Vielen Dank für deine Hilfe ich hab's geschafft und ja du hast Recht, muss mit noch mehr Leidenschaft an die Aufgaben rangehen.:-)
LG Mathsman



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Mathsman hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Mathsman hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Mathsman wird per Mail über neue Antworten informiert.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2018 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]