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Kombinatorik & Graphentheorie » Erzeugende Funktionen » Rekursion bestimmen - Erzeugende Funktion
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Universität/Hochschule Rekursion bestimmen - Erzeugende Funktion
JensSkywalker
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-03-22 14:58

\(\begingroup\)
Ich habe folgende Beispielaufgabe

Es sei die Rekursion

f(n)=6f(n-1) - 9f(n-2) für alle n\(\ge\)2 mit f(0)=0 und f(1)=1
Umformuliert lautet die Rekursion

f(n+2)-6f(n+1)+9f(n)=0

Wieso setzen wir n=n+2?

Das zugehörige Polynom  ist
q(z)=1-6Z-9Z^2 = (1-3Z)^2

Soweit klar

Daher muss gelten
f(n)=(a+bn)3^n

Wie komme ich auf diesen Term?
Steht die hoch 2 für die Anzahl der Unbekannten?
Spielen die Vorzeichen keine Rolle?

In einem anderem Bsp. (Fibonacci) werden Nullstellen mithilfe von Partialbruchzerlegung ermittel und benutzt, wieso hier nicht?
Ich komme gerade nicht wirklich weiter bei diesem Thema.
Danke!

Gruß
Jens
\(\endgroup\)


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Calahan
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Dabei seit: 20.02.2018
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-03-22 16:29

\(\begingroup\)
Die erzeugende Funktion für die rekursiv gegebene Folge lautet:

\[\frac x{(3x-1)^2}.\]
Jetzt geht's z.B. mit Partialbruchzerlegung und Entwicklung in geom. Reihen weiter oder direkt mit dem Wissen um die Identität

\[\sum_{n=0}^\infty nz^n=\frac z{(z-1)^2}\]
zur expliziten Darstellung

\[f(n)=n\cdot 3^{n-1}.\]
\(\endgroup\)


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endy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-03-22 19:28


Hallo.

Das Thema wird in folgendem Thread ausführlich behandelt,siehe hier.

Auch deine Fragen zu dem reflektierten Polynom , siehe hier , werden im Buch von Aigner beantwortet.

Man kann sich übrigens bei solchen Aufgaben nicht verrechnen,weil man seine Ergebnisse mit einem CAS überprüfen kann.

MMA10:
mathematica
Clear @ "Global`*"
f[0] := 0
f[1] := 1
mem : f[n_] := mem = 6 f[n - 1] - 9 f[n - 2]
lstf = f /@ Range[0, 10]
gfunf[x_] := FindGeneratingFunction[lstf, x]
gfunf[x]
SeriesCoefficient[gfunf[x], {x, 0, n}]

Dies liefert die Erzeugende und die explizite Darstellung wie sie von Calahan richtig angegeben worden ist.

Mit dem verlinkten Package geht es natürlich viel eleganter.

Gruß endy



-----------------
Jonathan Borwein : 20.05.1951 - 02.08.2016



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JensSkywalker
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-23 10:41


Da werde ich mich jetzt durchlesene, danke!



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
endy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 10.01.2011
Mitteilungen: 3049
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-03-25 20:54


Hier sind dann einmal die Erzeugenden für allgemeine C-Rekurrenzen bis zur Ordnung 5 :

<math>

\begin{array}{c}
\frac{a(0)}{1-z b(1)} \\
\frac{a(0)+z (a(1)-a(0) b(1))}{-b(2) z^2-b(1) z+1} \\
\frac{(a(2)-a(1) b(1)-a(0) b(2)) z^2+(a(1)-a(0) b(1)) z+a(0)}{-b(3) z^3-b(2)
z^2-b(1) z+1} \\
\frac{(a(3)-a(2) b(1)-a(1) b(2)-a(0) b(3)) z^3+(a(2)-a(1) b(1)-a(0) b(2))
z^2+(a(1)-a(0) b(1)) z+a(0)}{-b(4) z^4-b(3) z^3-b(2) z^2-b(1) z+1} \\
\frac{(a(4)-a(3) b(1)-a(2) b(2)-a(1) b(3)-a(0) b(4)) z^4+(a(3)-a(2) b(1)-a(1)
b(2)-a(0) b(3)) z^3+(a(2)-a(1) b(1)-a(0) b(2)) z^2+(a(1)-a(0) b(1))
z+a(0)}{-b(5) z^5-b(4) z^4-b(3) z^3-b(2) z^2-b(1) z+1} \\
\end{array}

</math>

Generiert mit dem C-Rekurrenz Package und mathematica.

Die Erzeugende von Calahan ergibt sich dann durch einsetzen der geeigneten Werte in die 2-te Erzeugende.

Wer die allgemeine Erzeugende einer C-Rekurrenz der Ordnung 1000 sehen will ,benutze das Package.

endy





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