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Physik » Atom-, Kern-, Quantenphysik » Freies Teilchen
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Universität/Hochschule Freies Teilchen
jonasvc19
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-04-16 20:13

\(\begingroup\)
Hallo zusammen,

Ich melde mich mal wieder aus meiner Lerngruppe. Da wir momentan noch nicht wirklich der Vorlesung in QM folgen können, wäre hier meine erste Frage, ob mir jemand passende Literatur empfehlen kann. Momentan leiten wir in der VL nur viele Sachen her, wissen aber nicht wirklich worum es geht.

Ich werde also sicher hier ein paar Fragen stellen, werde mich aber bemühen eher fragen zu Stellen um die Aufgabe zu verstehen und dann mit meinen Komilitonen lösen zu können  wink  
Hier die erste:



fed-Code einblenden

Ich weiß, dass gilt:
\(<(x-<x>)^2> = <x^2>-<x>^2\) und dasselbe für p

und die Formeln für \(<x>\) und \(<x^2>\) bzw für p sind auch klar.

Jetzt ist die erste Sachen, die mich verwirrt die angaben bei t=0. Wir haben keine Ideen wie wir die einsetzen sollen.

Evt wird die Aufgabe ja schon wesentlich klarer, wenn ich diese Informationen habe

\(\endgroup\)


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jonasvc19
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-17 10:24


es scheint ja wirklich nur eine rechenaufgabe zu sein, ich bräuchte also nur mal einen Hinweis was ich überhaupt machen soll.



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Spock
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-04-17 10:36


Hallo!

2018-04-16 20:13 - jonasvc19 im Themenstart schreibt:
...
 ob mir jemand passende Literatur empfehlen kann
...

Hier eine Auswahl Literatur zur Quantentheorie:
[1]: T. Fließbach, "Lehrbuch zur Theoretischen Physik", Band 3
[2]: S. Gasiorowicz, "Quantenphysik"
[3]: R.J. Jelitto, "Quantenmechanik I/II"
[4]: L.D. Landau, E.M. Lifschitz, "Lehrbuch der Theoretischen Physik Band 3"
[5]: A.Messiah, "Quantenmechanik", Bände 1-2
[6]: H. Mitter, "Quantentheorie"
[7]: W. Nolting, "Grundkurs Theoretische Physik", Band 5, Teil 1 und Teil 2
[8]: P. Pereyra, "Fundamentals of Quantum Physics"
[9]: H. Rollnik, "Quantentheorie", Band 1
[10]: J.J. Sakurai, "Modern Quantum Mechanics
[11]: P. Schmüser, "Theoretische Physik für Studierende des Lehramts 1"
[12]: R. Shankar, "Principles of Quantum Mechanics"
[13]: A. Sudbery, "Quantum Mechanics and the Particles of Nature"

Bei den Studenten (Bachelor/Master in Physik) beliebt ist aus meiner Erfahrung [1], [3], [7], und [10], was Dich aber nicht davon abhalten sollte, in möglichst viele Bücher zu schauen und selbst zu entscheiden. Hat Dein Prof keine Literaturempfehlung gegeben?

2018-04-16 20:13 - jonasvc19 im Themenstart schreibt:
...
oder müssen wir eine spezielle Funktion einsetzen. Evt mit der Info das es sich um ein freies Teilchen handelt?
...

Nein, die Wellenfunktion ist als "beliebig" anzunehmen, man benötigt hier nur die Normierbarkeit. Die Information "freies Teilchen" fließt später in den Hamilton-Operator.

2018-04-16 20:13 - jonasvc19 im Themenstart schreibt:
...
Jetzt ist die erste Sachen, die mich verwirrt die angaben bei t=0. Wir haben keine Ideen wie wir die einsetzen sollen.
...

Es geht um die Zeitentwicklung, und da tritt eine Differentialgleichung auf, für deren Lösung man Anfangsbedingungen braucht. Habt ihr das Theorem von Ehrenfest schon behandelt?

Gruß
Juergen



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jonasvc19
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-17 10:51


ok, erstmal Danke für die Bücherliste, da werde ich mich mal durcharbeiten!

Das Theorem von Ehrenfest hatten wir bisher noch nicht.
Ich habe jetzt mal im Skript nach Zeitentwicklung gesucht und dort haben wir eine Fouriertrafo des Wellenpaketes gemacht, aber irgendwie denke ich nicht, dass ich das hier machen muss.
Das einzige was mir jetzt einfallen würde, wäre die gegebenen Ausdrücke so aufzuschreiben, dass ich die Integralschreibweise für den Erwartungswert nutze.
Die Zeitliche entwicklung könnte man evt. so machen, dass man die zeitliche Ableitung der Varianzen hat?

Evt ist davon ja irgendwas ansatzweise der richtige Weg?.



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Spock
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-04-17 12:45


Hallo!

Wenn Dir, wie Du oben schreibst die Erwartungswerte klar sind, berechne z.B. mal
fed-Code einblenden

Danach kommt dann die Schrödinger-Gleichung ins Spiel, die habt ihr hoffentlich schon eingeführt?

Gruß
Juergen



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jonasvc19
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-17 13:21

\(\begingroup\)
klar, die SG hatten wir schon letztes Semester

Ich bekomme dann jetzt raus:
\(\frac{d}{dt}<x>=\frac{i}{\hbar}<[H,x]>+<\frac{\partial}{\partial t}x>\)
\(\frac{d}{dt}<x^2>=\frac{i}{\hbar}<[H,x^2]>+<\frac{\partial}{\partial t}x^2>\)

Nur sehe ich noch nicht wirklich in wiefern mich das weiterbringt.
Auch wenn ich jetzt einen Schritt zurück gehe und es mit den Integralen aufschreibe bringt mich es nicht wirklich weiter.
Acuh wenn ich H=p^2/2m setze nicht
\(\endgroup\)


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wladimir_1989
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-04-17 14:02

\(\begingroup\)
Hallo Jonas,
die Bewegungsgleichungen sid korrekt. Es handelt dabei übrigens um das sogenannte Ehrenfest-Theorem  das im Prinzip aussagt, dass die Erwartungswerte der Observabken (hier \(x\) und \(x^2\)) die klassischen Hamilton-Gleichungen erfüllen, falls man die Poisson-Klammer durch den Kommutator ersetzt.
ZU deiner Frage: setze \(H=\frac{p^2}{2m}\) ein und benutze die kanonische Kommutatorrelation. Diese sollte bereits bekannt sein. Man braucht keine Integrale.


lg Wladimir
\(\endgroup\)


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jonasvc19
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-17 14:35

\(\begingroup\)
ok, ich probiere es mal an einem Beispiel, ob ich das meine was du meinst ;)

\(\frac{i}{\hbar}<[H,x]>=\frac{i}{\hbar}<[\frac{p^2}{2m},x]>=\frac{i}{\hbar}<(\frac{-\hbar^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2}x}{2m}+\frac{x\hbar^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2}}{2m}>=\frac{i}{\hbar}<\frac{x\hbar^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2}}{2m}>\)

Ich denke, das soll so nicht aussehen

Edit: Ich denke ich muss erst Produktregel machen, ich rechne nochmal nach

Also ich habe jetzt:
\([\frac{p^2}{2m},x]=p/2m[p/2m,x]+[p/2m,x]p/2m=\frac{1}{2m}(-\hbar^2\partial x+\hbar^2 \partial x -\hbar^2 \partial x +x\hbar^2\partial x\partial x)=\frac{1}{2m}(-\hbar^2 \partial x +x\hbar^2\partial x\partial x)\)

Ich glaube da ist immer noch ein Fehler irgendwo
\(\endgroup\)


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Spock
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-04-17 15:50


Hallo,

Du machst es Dir unnötig schwer!
Die Vertauschungsrelation zwischen dem (eindimensionalen) Orts- und Impulsoperator

[x,p]=

kennst Du?

Tipp (Nachrechnen!):

[A,BC]=[A,B]C + B[A,C]

Ergebnis für Dich zur Kontrolle:
fed-Code einblenden

Gruß
Juergen

P.S: In Deinem Beitrag No.5 fallen die partiellen Zeitableitungen weg, Orts- und Impulsoperator sind hier explizit zeitunabhängig!




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jonasvc19
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-17 16:06


ok, so rum komme ich auch auf dieses Ergebniss und da ja [H,x]=-[x,H] ist, habe ich dann als Ergebnis
fed-Code einblenden
D.h. ich habe jetzt:
fed-Code einblenden

und für
fed-Code einblenden

Bleibt die Frage: Was mache ich jetzt damit in Bezug zur Aufgabenstellung



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Spock
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-04-17 16:11


Hallo,

lies nochmal das "PS" in meinem Beitrag No.8.

Gruß
Juergen



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jonasvc19
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-17 16:30


ok, klar, das geht aus der Aufgabe hervor :)
Dann hätte ich jetzt:
fed-Code einblenden

Edit 1:
Das sieht jetzt noch nicht wirklich nett aus
Man könnte jetzt evt sagen, dass ja < p > = p0 ist, dann würde beim hinteren der Erwartungswert wegfallen, es bringt mir aber beim ersten Term nichts, weil ich x noch drin habe.

Es hieß ja, ich soll wenn ich die zeitliche Entwicklung habe, mit der SG weitermachen.  Da ich aber in meinen Formeln keinerlei psi enthalten ist, wüsste ich hier nicht so wirklich wie das gehen soll.

Edit 2:
Um schonmal vorwegzugreifen auf die 2. Ist der Laplace Operator zum Quadrat dann irgendwie die 4te Ableitung? Habe ich so noch nicht gesehen



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jonasvc19
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-17 20:46


.



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jonasvc19
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-18 09:23


siehe Edit 1 und 2



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wladimir_1989
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2018-04-18 11:33

\(\begingroup\)
Hallo Jonas,
1. \(\frac{\text{d}(<x>)^2}{\text{d}t}\neq\left(\frac{\text{d}(<x>)}{\text{d}t}\right)^2\), sondern?

2. Der Term \(xp+px\) lässt sich mit Hilfe der Kommutatorrelation noch vereinfachen, zu \(xp+px=2xp-[x,p]\).


lg Wladimir
\(\endgroup\)


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jonasvc19
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-18 11:46

\(\begingroup\)
oh, stimmt, es müsste ja sein:
\(\frac{d}{dt}<x>^2=\frac{d<x>}{dt}<x>+<x>\frac{d<x>}{dt}\)
Also habe ich:
\(\frac{d}{dt}<x>^2=\frac{i}{\hbar}<-i\frac{\hbar}{m}(px+xp)>=\frac{i}{\hbar}<-i\frac{\hbar}{m}(2xp-[x,p])>\)

Da das identisch zu \(\frac{d<x^2>}{dt}\) ist, wäre das Endergebnis beim ersten also 0.

Edit:
Falls das korrekt ist, ist nur die Frage wofür ich das p0 brauche und was es mit dem Laplace Operator^2 auf sich hat.
\(\endgroup\)


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jonasvc19
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-18 17:28


siehe Edit



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Spock
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2018-04-18 19:15


Hallo Jonas!

Nimm es nicht persönlich, aber Du rechnest etwas ziellos einfach drauf los, und es ist nicht "nur eine Rechenaufgabe", wie Du in Deinem Beitrag No.1 schreibst.

Wenn ich Deine bisherigen Beiträge richtig verstanden habe, und bevor ich weiter antworte, klären wir Deine Voraussetzungen:

Du hörst gerade den zweiten Teil einer Quantentheorie-Vorlesung über zwei Semester?

Im ersten Teil, der hinter Dir liegt, wurde so etwas wie "Mathematischer Formalismus" (Operatoren, Dirac-Notation, Darstellungen, usw.), und die Quantendynamik (Zeitentwicklungs-Operator, Heisenberg-Bild, Heisenberg-Gleichungen, usw.) nicht behandelt?

Stichwort Heisenberg-Gleichungen, die helfen hier weiter!

Gruß
Juergen
 



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jonasvc19
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-18 19:22


ok, also Rechenaufgabe war evt das falsche Wort, aber es geht hauptsächlich ums umformen.

Zu den Voraussetzungen:
Ich habe letztes Semester Experimentalphysik III gehört und dort wurde grob auf die Schrödingergleichung eingegangen und in der letzten Woche ein kleiner Ausblick zum Thema Quanten und Spin gegeben.

Jetzt habe ich die Vorlesung zu theoretischer Quantenphysik und soll diese Aufgaben hier mit einem Skript von ca 20 Seiten lösen, dass ganz grob zusammenfasst, was ein Operator ist und kurz einige Sätze enthält.
Der Prof sagte, er macht erstmal eine kurze Zusammenfassung der erhaltungssätze bevor wir richtig einsteigen.

Jetzt habe ich mich schon extra mit einigen Leuten zusammengetan, aber wir steigen nicht wirklich in den Übungen durch, weil wir einfach gerade noch nicht wissen was wir überhaupt tun sollen und auch die anderen Fächer noch machen müssen.

Bis ich mich etwas eingearbeitet habe, muss ich also hier ein wenig ziellos fragenm, um meine Punkte in den ersten Übungen zu erreichen.

Das das ganze als "beantwortender" hier gerade etwas blöd ist, weiß ich selber und stelle hier auch schon nur die Aufgaben die wirklich so gar nicht klappen ;)




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Spock
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2018-04-18 19:42


Hallo Jonas,

gut, ich verstehe, :-)

Letzte Frage: Das ist ein Master-Studiengang in Physik?

Gruß
Juergen



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jonasvc19
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-18 19:43


ganz normaler Bachelor fürs erste ;)



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jonasvc19
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-18 21:07


und so viel zeit ich auch gerne hätte mich da durchzuarbeiten, muss ich das morgen fertigmachen, da Freitag abgabe ist :(



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jonasvc19
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-19 10:44


Kleines update: das Blatt wurde geändert und jetzt steht da <p^2>=Laplace_0 und nicht mehr Laplace^2*p



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Orangenschale
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, eingetragen 2018-04-19 13:35

\(\begingroup\)
Hallo jonasvc19,

in diesem Fall ist $\Delta$ nicht der Laplaceoperator, weder vorher noch nach der Aenderung! Es ist einfach nur ein Delta.

Viele Gruesse,
OS




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If one is working from the point of view of getting beauty into one's equation, ... one is on a sure line of progress.

P.A.M. Dirac
\(\endgroup\)


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jonasvc19
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-19 13:42


Oh ok.
Ist denn nun eigentlich richtig das bei der ersten Aufgabe 0 rauskommt?



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