Die Mathe-Redaktion - 19.04.2018 15:29 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
ListenpunktSchwätz / Top 15
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktAnmeldung MPCT Juli
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden oder den Newsletter bestellen.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 614 Gäste und 24 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Dixon Orangenschale
Physik » Atom-, Kern-, Quantenphysik » Hamiltonoperator und Virialsatz
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Hamiltonoperator und Virialsatz
jonasvc19
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2016
Mitteilungen: 1356
Aus: Krefeld
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-04-16 22:30


Hallo,

Ich habe hier die Aufgabe:


Mein Ansatz:
fed-Code einblenden



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Tirpitz
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.01.2015
Mitteilungen: 554
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-04-16 23:13

\(\begingroup\)
Hallo!

Fangen wir mal mit der a) an. Angenommen, das System befindet sich nach einer Messung der Energie (also Anwenden von \(H\)) im Energie-Eigenzustand \(|\psi\rangle(t_0)\) und habe Energie \(E_0\). Wenn sich das System jetzt gemäß der Schrödingergleichung entwickelt, so ist \(|\psi\rangle(t)=U(t,t_0)|\psi\rangle(t_0)\). Damit ist \(H|\psi\rangle(t)=HU(t,t_0)|\psi\rangle(t_0)=U(t,t_0)H|\psi\rangle(t_0)=U(t,t_0)E_0|\psi\rangle(t_0)=E_0|\psi\rangle(t)\ \Leftrightarrow\ [H,U]=0\), also wenn der Kommutator verschwindet, hat das System zu allen Zeiten die Energie \(E_0\).

Wie sieht \( U\) für diesen Hamilton-Operator aus (Schrödingergleichung)? Kannst du dann \([H,U]=0\) zeigen?
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
jonasvc19
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2016
Mitteilungen: 1356
Aus: Krefeld
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-16 23:22


ok, kannst du mal eben sagen, was U sein soll?
PS: diese | > notation kenne ich noch nicht, sagt die etwas bestimmtes aus?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Tirpitz
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.01.2015
Mitteilungen: 554
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-04-16 23:37

\(\begingroup\)

ok, kannst du mal eben sagen, was U sein soll?
Das ist der Zeitentwicklungsoperator.


PS: diese | > notation kenne ich noch nicht, sagt die etwas bestimmtes aus?
Das ist die sog. Dirac'sche Braket-Schreibweise. \(|\psi\rangle\) ist ein Vektor in einem abstrakten Hilbertraum. Ihr scheint aber Wellenfunktionen zu benutzen (was Vektoren im Hilbertraum \(L^2\) sind). Die Rechnung ist Wesentlichen equivalent: \(U(t,t_0)\psi(x,t_0)=\psi(x,t)\). Am Ende kommt es sowieso darauf an, dass \([H,U]=0\), da stehen keine Wellenfunktionen/Brakets mehr, sondern nur Operatoren.
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
jonasvc19
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2016
Mitteilungen: 1356
Aus: Krefeld
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-16 23:59


ok, ich werde morgen weiter machen, aber ich wollte schonmal eben sagen, dass wir bisher nur den Hamilton-,Orts- und Impulsoperator kennen. Habe extra einmal das komplette Skript bisher nochmal gelesen.
Ich glaube also nicht das ich jetzt für die Übung einen einen anderen benutzen kann.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Orangenschale
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 31.05.2007
Mitteilungen: 2156
Aus: Jena, Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-04-17 06:48

\(\begingroup\)
Ist die Schrödingergleichung schon bekannt?$$i\hbar\frac{d}{dt}\Psi(x,t)=H\Psi(x,t)$$
Ich denke ja, denn sonst wäre die Zeitentwicklung stationärer Zustände in (b) noch nicht bekannt.
Du kannst du mit der Produktregel zeigen, dass gilt $$\frac{d}{dt}E=\frac{d}{dt}\langle H\rangle=\frac{d}{dt}\int dx \Psi^*(x,t)H \Psi(x,t)=\ldots=0.$$


-----------------
If one is working from the point of view of getting beauty into one's equation, ... one is on a sure line of progress.

P.A.M. Dirac
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
jonasvc19
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2016
Mitteilungen: 1356
Aus: Krefeld
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-17 09:14


ok, vielen Dank für den Tipp. Ich habe bei der a) jetzt allerdings noch ein problem:
fed-Code einblenden
Edit: Wir betrachten ja allgemein d/dt<H>, wenn wir aber die partielle Ableitung von H nach der Zeit berechnen, haben wir ja H statt <H> und da der Hamiltonoperator nicht von der Zeit abhängt ist es denn 0.

Dann bliebe zu klären, wie die b) funktioniert



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Orangenschale
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 31.05.2007
Mitteilungen: 2156
Aus: Jena, Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-04-17 17:12


Hallo,

du bist ja gerade auch in einem anderen Thread aktiv (LinkFreies Teilchen), in dem die zeitliche Entwicklung von Erwartungswerten berechnet wird. Vielleicht kannst du dein Wissen daraus auch hier anwenden.

Viele Grüße
OS


-----------------
If one is working from the point of view of getting beauty into one's equation, ... one is on a sure line of progress.

P.A.M. Dirac



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
jonasvc19
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2016
Mitteilungen: 1356
Aus: Krefeld
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-17 17:29


ja stimmt, werde ich nachher mal versuchen hier anzuwenden



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
jonasvc19
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2016
Mitteilungen: 1356
Aus: Krefeld
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-17 22:32


Kann es sein, dass die zeitentwicklung von <xp> 0 wird?
Habe es jetzt 2 mal gerechnet und es bleibt immer 0, da psi0 nur von x abhängt



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Orangenschale
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 31.05.2007
Mitteilungen: 2156
Aus: Jena, Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-04-18 11:28


Ich glaube du hast eben im falschen Thread geschrieben.


-----------------
If one is working from the point of view of getting beauty into one's equation, ... one is on a sure line of progress.

P.A.M. Dirac



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
jonasvc19
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2016
Mitteilungen: 1356
Aus: Krefeld
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-18 11:30


eigentlich nicht. Warum?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
jonasvc19
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2016
Mitteilungen: 1356
Aus: Krefeld
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-18 13:07


2018-04-17 22:32 - jonasvc19 in Beitrag No. 9 schreibt:
Kann es sein, dass die zeitentwicklung von <xp> 0 wird?
Habe es jetzt 2 mal gerechnet und es bleibt immer 0, da psi0 nur von x abhängt
Das ist hier eigentlich mein letzter Sachstand



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
jonasvc19
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2016
Mitteilungen: 1356
Aus: Krefeld
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-18 18:38


wäre super, wenn du mir heute noch irgendwie sage könntest, ob das bis dahin richtig ist und wie ich dann weiter vorgehen muss, weil wir das morgen in unserer Lerngruppe besprechen wollen :)



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Spock
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.04.2002
Mitteilungen: 7823
Aus: Schi'Kahr/Vulkan
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2018-04-18 19:19


Hallo,

auch hier gilt das Gleiche wie dort, Lars (Orangenschale) hat nicht ohne Grund Beitrag No.7 geschrieben, :-)

Gruß
Juergen



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
jonasvc19
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2016
Mitteilungen: 1356
Aus: Krefeld
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-18 21:45


ok, siehe andere Thread.
Ich wüsste aber jetzt trotzdem gerne mal, ob mein Zwischenergebnis nun stimmt  biggrin



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Orangenschale
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 31.05.2007
Mitteilungen: 2156
Aus: Jena, Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2018-04-18 23:50

\(\begingroup\)
Hallo jonasvc19,

ich hoffe du hast die (triviale) Teilaufgabe (a) gelöst, also widmen wir uns Aufgabe (b).

Was du allgemein kennen solltest sind die foolgenden drei Beziehungen
(1) Ehrenfest Theorem für Operator $O$: $\partial_t\langle O \rangle = \frac{i}{\hbar}\langle[H,O]\rangle+\langle\partial_tO\rangle$
(2) $[x,p] = i\hbar$
(3) $[f(A),B] = [A,B]f'(A)$ falls $[A,B]=\text{const.}$

Dann zeigt man zuerst allgemein (Startpunkt: Ehrenfest Theorem) $$\partial_t\langle xp\rangle= \frac{1}{m}\langle p^2\rangle-\langle x\frac{d}{dx}V(x)\rangle.$$

Dann zeigt man aber auch für Eigenzustände des Hamiltonoperators, also $H|\psi\rangle=E|\psi\rangle$, dass durch direkte Berechnung gilt $$\partial_t\langle xp\rangle=\frac{i}{\hbar}\langle [H,xp]\rangle=\frac{i}{\hbar}\langle Hxp-xpH\rangle=\frac{i}{\hbar}(E\langle xp\rangle-\langle xp\rangle E)=0,$$ also nochmal kurz $$\partial_t\langle xp\rangle=0$$ für stationäre Zustände.  

Nun kann man dieses Ergebnis verwenden um es in die Ehrenfestsche Zeitentwicklung einzusetzen, und man sieht sofort, dass das Ergebnis dasteht, also $$0= \frac{1}{m}\langle p^2\rangle-\langle x\frac{d}{dx}V(x)\rangle.$$

Es steckt ein bisschen Rechnung hinter jedem Schritt, aber so geht es.

Viele Grüße
OS



-----------------
If one is working from the point of view of getting beauty into one's equation, ... one is on a sure line of progress.

P.A.M. Dirac
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
jonasvc19
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2016
Mitteilungen: 1356
Aus: Krefeld
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-19 14:51


ok, so hatte ich es auch gemacht, nur auf den letzten Schritt bin ich nicht gekommen.
Eine letzte Frage noch: Warum macht man diesen Schritt mit den Eigenzuständen?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Orangenschale
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 31.05.2007
Mitteilungen: 2156
Aus: Jena, Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2018-04-19 15:07


Weil nur Eigenzustände diese Umformung erlauben.


-----------------
If one is working from the point of view of getting beauty into one's equation, ... one is on a sure line of progress.

P.A.M. Dirac



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
jonasvc19
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2016
Mitteilungen: 1356
Aus: Krefeld
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-19 15:09


ok, vielen Dank. Dazu werde ich dann einfach nochmal ein wenig was nachlesen



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
jonasvc19 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
jonasvc19 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2018 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]