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Mathematik » Stochastik und Statistik » Diskrete Zufallsvariablen-σ-Algebra erzeugt von endlicher Partition
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Universität/Hochschule Diskrete Zufallsvariablen-σ-Algebra erzeugt von endlicher Partition
MrMalte
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.03.2015
Mitteilungen: 6
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-05-17 19:35


Liebe Leute,

Ich habe endlich viele diskrete und beschränkte Zufallsvariablen X1, ... Xn auf einem beliebigen W'raum in die reellen Zahlen mit der Borel-Sigma-Algebra.
Was mich umtreibt ist die Frage, ob es eine endliche Partition von ganz Omega gibt, die die gleiche Sigma-Algebra erzeugt wie die Initial-Sigma-Algebra von X1, .... Xn.

Für den Falls n = 1 ist das leicht einzusehen.
Die Initial-Sigma-Algebra entspricht hier der Sigma-Algebra die von den Urbildern unter X1 der Borel-Sigma-Algebra erzeugt wird. Das sind genau die endlich vielen Mengen, auf denen X1 konstant ist und sie bilden offensichtlich eine Partition von R.

Aber für n > 1 sind die Urbilder keine Partition mehr. Scheitert z.B. daran, dass die Urbilder von der Borel-Sigma-Algebra unter X1 und X2 nicht paarweise disjunkt sein können.

Gibt es einen Beweis, dass so eine Partition existiert? Oder kann man die sogar explizit angeben?

Vielen Dank für jede Mühe!
Freundliche Grüße,
Malte



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