+-\sum(a_n b^(-n),n=-k,\inf) mit b>=2, k>=0, n\el \IN

a_(n+s)=a_n \forall\  n>=r

Ich benutze folgende Darstellung einer
reellen Zahl \alpha:
\alpha=gauss(\alpha)+sum(c_i*g^(-i),i=1,\inf\ )
Das ist zu deiner Darstellung aequivalent, ich finde
das nur praktischer.
Die c_i findet man nun rekursiv aus \alpha_1:=menge(\alpha),
\alpha_(i+1):=menge(\alpha_i*g) und c_i:=gauss(\alpha_i*g)

Sei nun also a/b ein rationale Zahl.
Mit \alpha_1:=menge(a/b) und b_i:=\alpha_i*b. Findet man, daß
alle b_i \el\ S_b sind. Daher gibt es gibt es ganze s und t
für die b_s=b_t, also auch \alpha_s=\alpha_t gilt.

Wegen der Rekursionsbeziehung gilt dann aber auch
\alpha_(s+i)=\alpha_(t+i) und somit auch c_(s+i)=c_(t+i).
Also ist die Ziffernfolge einer rationalen Zahl periodisch.