Hi,

folgende Problematik:

Seien M,N \subset\ \IR Teilmengen.

Man definiere:

M+N := menge(x\el\ \IR | x=m+n für geeignete m\el\ M und n\el\ N)
M*N := menge(x\el\ \IR | x=m*n für geeignete m\el\ M und n\el\ N)

Gelten die folgenden Gleichungen:
a) sup((M*N))=sup(M)*sup(N)
b) inf((M+N))=inf(M)+inf(N)

Falls nicht reicht ein Gegenbeispiel und man nenne eine nicht triviale(??) hinreichende Bedingung, damit die Gleichheit gilt!

Also irgendwie schau ich da nicht durch...Hoffe ihr könnt mir ein wenig helfen! Danke.

a*\inf=fdef(\inf,  a>0;0,  a=0;-\inf,  a<0) festsetzt.
Bei der mittleren Gleichung kommt sofort Protest, ich weiß.
Aber diese Festlegung 0*\inf=0 ist wirklich zweckmäßig, z. B. wenn man mit charakteristischen Funktionen (Indikatorfunktionen) und mit dem Träger von Funktionen herumrechnet, die auch möglicherweise die Werte
-\inf und \inf annehmen.

M = {\0}

Dann gilt:

sup(M) = -\inf und inf(M) = \inf

Hallo nochmal...

kann ich den Beweis so schreiben:

Sei M = N = [-2,-1]

mit sup(M) = sup(N) = -1

Dann ist M*N = [1,4]

mit sup((M*N))=4

Also sup((M*N))!=sup(M)*sup(N)

Nochmal zu M' = {\0}:
das sup(M')=-\inf und inf(M')=\inf, dazu habe ich habe mir so meine Gedanken gemacht, und komme auf keinen Grünen Zweig. Ist das reine Definition?

Die leere Menge ist übrigens nicht menge(\0), sondern \0.
Sie enthält keine Elemente, dagegen enthält die Menge menge(\0) genau ein Element, nämlich \0.

Hi Buri et alteri

das mit \inf ist wirklich eine unangenehme Sache :-)

Stimmt das die leere Menge \0 ist, und nicht {\0}, hatte ich sogar extra markiert in meinen Unterlagen...

Schönen Abend noch!

Hallo nochmal,

eine kleine Frgae noch:

Ist es hinreichend das inf(M) >= 0 und inf(N) >= 0 oder reicht es wenn eines der beiden >= 0 ist?

Also mein Beweis sieht bis jetzt so aus:

Behauptung: sup((M*N) = sup(M) * sup(N)

Beweis:
1) sup(M)*sup(N) ist obere Schranke von M*N
Da \forall\  m\el\ M gilt: m < sup(M)
und \forall\  n\el\ N gilt: n < sup(N)

folgt nach den Anordnungsaxiomen:
m*n < sup(M)*sup(N)
=> sup(M)*sup(N) ist obere Schranke

2) sup(M)*sup(N) ist die kleinste obere Schranke von M*N
Annahme: sup(M)*sup(N) > sup((M*N))
sup(M)*sup(N) - sup((M*N)) = \delta > 0
d.h \forall\ m\el\ M und \forall\ n\el\ N gilt:

m*n + \delta < sup(M)*sup(N)
=> m*n < sup(M)*sup(N) - \delta < sup(M)*sup(N)

Dann wäre aber auch sup(M)*sup(N)-\delta  eine obere Schranke. Widerspruch zur Annahme. 
=> sup(M)*sup(N) ist kleinste obere Schranke von M*N

Kann ich das so machen, ich bin mir da nicht so sicher, ist mein erster richtiger Beweis. Seht ihr noch irgendwo Lücken oder Unklarheiten? Danke für jeden Hinweis!

der Schritt von 

\forall m\el M : m < sup M
\forall n\el N : n < sup N

zu

\forall m\el M, n\el N : m*n < sup M * sup N

darf nur gemacht werden, solange sup(M) und sup(N) 
beide nichtnegativ sind. Bei Multiplikation mit 
negativen Faktoren dreht sich das Relationszeichen um.

Beispiel:
M={-3,-2,-1}, N={1,2,3},
sup(M) = -1,  sup(N) = 3
sup(M)*sup(N) = -3

aber es gibt in M*N={m*n: m\el M, n\el N} Elemente, 
die größer als -3 sind: -1*1 = -1.

Man muss also Fälle unterscheiden; einer der 4 Werte
sup(M)*sup(N), sup(M)*inf(N), inf(M)*sup(N), inf(M)*inf(N)
ist aber stets sup(M*N).