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Zykloid
Junior 
Dabei seit: 27.10.2002
Mitteilungen: 7
Aus:
 |      Themenstart: 2002-11-05 18:41
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Hallo,
kann mir jemand bitte eine gute und möglichst einfache Erklärung geben wie durch den Dedekindschen Schnitt die reellen Zahlen beschrieben werden können.
Auch wie Addition und Multiplikation von Schnitten funktionieren... bittebittebitte... dringend...
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matroid
Senior 
Dabei seit: 12.03.2001
Mitteilungen: 12355
Aus: Solingen
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2002-11-05 23:05
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Hi Zykloid,
man stelle sich die Zahlengerade vor. Eine reelle Zahl a teilt die Menge der rationalen Zahlen in zwei Teile, diejenigen kleiner a und diejenigen größer a.
[Was ich nun sage ist nicht exakt ausgedrückt!]
Man betrachtet { x Î Q | x < a }.
(Entspricht auf der Zahlenachse den rationalen Zahlen, die links von a liegen).
Das ist ein Dedekindscher Schnitt, man bezeichnet die Dedekindschen Schnitte auch als reelle Zahlen.
Man bezeichnet die Menge { x Î Q | x < a } mit a.
und definiert:
a+b := { x + y | x Îa, yÎb }
und weiter
a*b := 0, wenn a oder b = 0
{dabei ist 0 := { x Î Q | x < 0 }
Das Schöne an der Schnitten ist, die natürliche Ordnung der reellen Zahlen. Es ist nämlich a < b, wenn a Ì b.
Das war vielleicht nicht sehr genau, aber so genau hast du auch nicht gefragt.
Für mehr Theorie und Definitionen schau mal bei google, oder frag weiter.
Gruß
Matroid
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Zykloid
Junior
Dabei seit: 27.10.2002
Mitteilungen: 7
Aus:
|  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2002-11-05 23:22
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2002-11-05 23:05: matroid schreibt:
> Hi Zykloid,
>
> man stelle sich die Zahlengerade vor. Eine reelle Zahl a teilt die Menge der rationalen Zahlen in zwei Teile, diejenigen kleiner a und diejenigen größer a.
>
> [Was ich nun sage ist nicht exakt ausgedrückt!]
>
> Man betrachtet { x Î Q | x < a }.
> (Entspricht auf der Zahlenachse den rationalen Zahlen, die links von a liegen).
>
> Das ist ein Dedekindscher Schnitt, man bezeichnet die Dedekindschen Schnitte auch als reelle Zahlen.
> Man bezeichnet die Menge { x Î Q | x < a } mit a.
> und definiert:
>
> a+b := { x + y | x Îa, yÎb }
>
> und weiter
>
> a*b := 0, wenn a oder b = 0
> {dabei ist 0 := { x Î Q | x < 0 }
>
> Das Schöne an der Schnitten ist, die natürliche Ordnung der reellen Zahlen. Es ist nämlich a < b, wenn a Ì b.
>
> Das war vielleicht nicht sehr genau, aber so genau hast du auch nicht gefragt.
> Für mehr Theorie und Definitionen schau mal bei google, oder frag weiter.
>
> Gruß
> Matroid
Danke, aber weißt Du noch mehr über Unter- und Obermengen bei Schnitten. Sind die Schnitte nur eine Annäherung an die reellen Zahlen? Wie beweise ich die Rechengesetzte, wie bspw. (a*b)*c=a*(b*c)?
Werde ich die Schnitte im Mathestudium noch brauchen?
Liebe Grüße
Zykloid
(P.S. Bei google finde ich nix is alles so kompliziert geschrieben)
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matroid
Senior
Dabei seit: 12.03.2001
Mitteilungen: 12355
Aus: Solingen
| Beitrag No.3, eingetragen 2002-11-06 00:02
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Ja, das ist auch kompliziert und theoretisch. Man muß berücksichtigen:
1. Das Rechnen mit Dedekindschen Schnitten soll mit den normalen Rechnungen ergebnisgleich sein. Also wenn man das Produkt a*b von Dedekindschen Schnitten definiert definiert, dann soll das Ergebis vorstellungsgemäß gleich (a*b) in IR sein.
2. Dedekindsche Schnitte sind ein Beitrag zu den Grundlagen der Mathematik. Sie sagen, was reele und irrationale Zahlen sind. Üblicherweise führt man reelle Zahlen als Grenzwerte von Folgen ein. Aber mit weniger Aufwand tun das gleiche die Dedekindschen Schnitte.
Schau mal in >dieses Skript ab Seite 35.
Die Definitionen findest Du darin.
Bevor ich das abschreibe (ich könnte nicht anders) lies es selbst und frag nach. Vielleicht kann ich ja die eine oder andere Begründung geben.
Gruß
Matroid
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Ehemaliges_Mitglied
Neu
Dabei seit: 00.00.0000
Mitteilungen: 0
Aus:
| Beitrag No.4, eingetragen 2004-11-01 12:51
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hallo, ich beschäftige mich auch gerade mit diesem dedekindschen Schnitt, aber es leuchtet mir alles noch nicht so ganz ein. jetzt ist hier von dem skript ab seite 35 die rede, ich habe mir das gerade runtergeladen, es geht aber nur bis seite 22. hat jemand noch die anderen seiten? mich würde das auch sehr interessieren, da ich beweisen muss, das Q kein vollständiger körper ist, aber diesen schnitt mit wurzel 2 besitzt, usw. also bitte um angaben oder gute links zum durchlesen, finde kaum was. bin erstsemestler und naja, wenn es zu mathematisch wird, hilft es oft nicht mehr weiter
vielen dank schon mal.
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Rebecca
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Dabei seit: 18.07.2002
Mitteilungen: 6187
Aus: Berlin
 | Beitrag No.5, eingetragen 2004-11-01 12:59
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Hi mugelor,
wenn ich dieses Skript öffne, geht es bis Seite 37; versuche es doch noch einmal.
Gruß
Rebecca
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Man soll Denken lehren, nicht nur Gedachtes
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LutzL
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Dabei seit: 06.03.2002
Mitteilungen: 8767
Aus: Berlin-Mahlsdorf
 | Beitrag No.6, eingetragen 2004-11-01 15:01
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Guten Tag,
auf der Wikipedia gibt es die Formeln ausfuehrlich hingeschrieben:
http://de.wikipedia.org/wiki/Dedekindscher_Schnitt
Es gibt tatsaechlich eine Anwendung dafuer, die nicht nur theoretisch ist, und zwar die sog. Intervallarithmetik. In der Grobvariante rechnet man mit Intervallen, die Rechenoperationen sind als Mengenoperationen aehnlich wie bei den Schnitten definiert. In der Feinvariante benutzt man die Intervalle, um reelle algebraische Zahlen zu bezeichnen. D.h. man hat z.B. fuer Wurzel(2) die Datenstruktur ([1,2], x^2-2), also ein Polynom und ein Intervall, in welchem dieses genau eine Nullstelle hat. Intervallenden und Polynomkoeffizienten sind rational. Man muss natuerlich wissen, wie man das Polynom zur Summe oder zum Produkt von algebraischen Zahlen erhaelt, aber das geht.
Ciao Lutz
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Martin_Infinite
Senior
Dabei seit: 15.12.2002
Mitteilungen: 32977
Aus: Münster
 | Beitrag No.7, eingetragen 2004-11-01 23:58
|
Hi mugelor,
erst einmal willkommen auf dem Matheplaneten!
Schau mal hier rein.
Gruß
Martin
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