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Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Gruppen » Normalteiler von S_4
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Universität/Hochschule J Normalteiler von S_4
Martin_Infinite
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2004-12-25


Hi Leute,
 
wisst ihr, wie man die Normalteiler von S4 bestimmt? Als Lösung habe ich die alternierende Gruppe und die Kleinsche Vierergruppe
 
(1), (1 2) (3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)
 
Okay, das schon einmal Normalteiler, aber warum sind es bereits alle?
 
 Gruß
Martin



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2004-12-25


Hi Martin,
dazu kommen noch { 1 } und S4 selbst.
Ein von { 1 }, V4, A4, S4 verschiedener Normalteiler N enthält keine Zweierzyklen.
Würde N nämlich (a b) enthalten, dann enthält N alle Zweierzyklen und somit ganz S4.
Wenn N einen Dreierzyklus enthält, dann enthält N alle Dreierzyklen und ist A4.
Wenn N einen Viererzyklus enthält, dann enthält N alle Viererzyklen und ist wieder S4, es ist nicht schwer, aber mit ein wenig Rechnung verbunden, zu begründen, daß die Viererzyklen, ebenso wie die Zweierzyklen, S4 erzeugen.
Wenn N weder Zweier-, Dreier- noch Viererzyklen enthält, dann ist N Untergruppe von V4, die von { 1 } und V4 verschiedenen drei Untergruppen von V4 sind nicht Normalteiler in S4.
Gruß Buri


-----------------
Cette question nous entraînerait trop loin. (Diese Frage würde uns zu weit führen) Henri Poincaré (1854-1912)



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Martin_Infinite
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2004-12-26


Hi Buri,
 
ich kenne mich da sehr wenig aus, im Grunde genommen sind mir nur die Defs bekannt. Also ich kann davon leider kein bisschen nachvollziehen  :-(
 
Ich habe gleich noch eine Frage, die mich wieder Stunden stumpfsinniges Grübeln gekostet hat, ohne richtigen Erfolg:
 
Warum ist V4 normal in S4, und warum ist die entsprechende Faktorgruppe dann zu S3 isomorph? Ich wollte beide Fragen so gerne mit dem Homomorphiesatz erschlagen, und habe irgendwann die surjektive Abbildung a : S4 -> S3 gefunden, die durch
 
a(1 2) = (1 2)
a(1 3) = (1 3)
a(1 4) = (2 3)
 
definiert ist. Das habe ich so angelegt, dass V4 im Kern von a enthalten ist. Aber warum ist das bereits der ganze Kern? Und warum ist a überhaupt ein Homomorphismus???
 
Und was mir gerade noch einfällt: Man braucht ja zur Konstruktion auch noch, dass sich jede Permutation von {1,2,3,4} eindeutig von (1 2), (1 3), (1 4) erzeugen lässt. Die Existenz ist klar, aber wie geht die Eindeutigkeit?
 
Lauter Fragen, die ich mir eigentlich selbst beantworten sollte, ohne Brute-Force Rechnen ... ich könnt' mich so aufregen ...
 
 Gruß
Martin
 
[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 26.12.2004 02:00:40 ]



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2004-12-26


Hi Martin,
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Gruß Buri


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[ Nachricht wurde editiert von Buri am 27.11.2006 18:55:43 ]



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Martin_Infinite
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2004-12-26


Vielen Dank Buri!
 
Das werde ich mir gleich mal zu Gemüte führen  



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Martin_Infinite
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2004-12-26


Hehe, ich habe da noch "leichte" Verständnisprobleme  

2004-12-25 22:17: Buri schreibt:
Wenn N einen Dreierzyklus enthält, dann enthält N alle Dreierzyklen und ist A4.


Eine andere Übungsaufgabe war, dass An von (1 2 3), ... , (1 2 n) erzeugt wird. Der Beweis steht noch aus, das soll aber in einem anderen Thread von mir geschehen. Daraus folgt zumindest, dass A4 eine Teilmenge von N ist. Aber wie sieht es mit der anderen Richtung aus, die du ja offenbar als trivial ansiehst.
 
2004-12-25 22:17: Buri schreibt:
Wenn N einen Viererzyklus enthält, dann enthält N alle Viererzyklen und ist wieder S4, es ist nicht schwer, aber mit ein wenig Rechnung verbunden, zu begründen, daß die Viererzyklen, ebenso wie die Zweierzyklen, S4 erzeugen.

 
Das ist für dich nicht schwer. Das mit den Zweierzyklen ist klar, aber ich habe keinen Ansatz, wie man S4 mit Viererzyklen erzeugen soll.

2004-12-25 22:17: Buri schreibt:
Wenn N weder Zweier-, Dreier- noch Viererzyklen enthält, dann ist N Untergruppe von V4,


Warum? Mehr als die Elemente von V4 kenne ich nicht.

2004-12-25 22:17: Buri schreibt:
 die von { 1 } und V4 verschiedenen drei Untergruppen von V4 sind nicht Normalteiler in S4.

 
Und warum ist das nun wieder???  
 
Ich probiere es einmal:
 
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[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 26.12.2004 16:07:14 ]
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2004-12-26


Hi Martin,
hmm, stimmt, mein Beitrag war keine Komplettlösung.
Die Lücken, die ich ließ, waren auch z. T. nichttrivial.

1. Jede Untergruppe H, die A4 enthält, stimmt mit A4 überein oder ist ganz S4.
Denn der Index (S4 : H) ist nicht größer als 2.
Wenn er gleich 2 ist, dann ist H = A4, sonst H = S4.
Oder man begründet es (das ist aber eigentlich dasselbe) mit der Ordnung von H. Sie muß einerseits Vielfaches von 12 (A4 ist Untergruppe von H) und andererseits Teiler von 24 sein.

2. Die Gesamtheit der Viererzyklen erzeugt S4.
Wegen (a b c) = (a c b d) (a c d b) ist jeder Dreierzyklus (a b c) Produkt zweier Viererzyklen. Wir wissen, daß die Dreierzyklen A4 erzeugen. Nach 1. ist dann das Erzeugnis aller Viererzyklen gleich A4 oder S4.
Übrigens trifft hier die zweite Möglichkeit zu, da Viererzyklen nicht zu A4 gehören.

3. Die Elemente, die weder Zweier-, noch Dreier-, noch Viererzyklus sind, müssen mindestens zwei Zyklen haben. In S4 geht das nur, wenn es zwei Zweierzyklen sind, die einzigen Permutationen dieser Art sind (1 2) (3 4), (1 3) (2 4) und (1 4) (2 3), also die von der identischen Permutation verschiedenen Elemente von V4.

Den Beweis, daß die drei Untergruppen von V4 nicht Normalteiler in S4 sind, ist so richtig, so muß man es machen.
Gruß Buri



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2004-12-26


Danke Buri!  
 
Dazu habe ich jetzt nur noch die Frage, warum A4 keine Vierer-Zyklen enthalten kann. Ist wahrscheinlich ultra-trivial, aber ich bekomm's net gebacken.
 
Nachtrag: Mit ein bisschen Nachdenken ist mir nun auch
 
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klar geworden. Das ist sogar eine sehr natürliche Isomorphie, wie ich finde. Die Homomorphie folgt sofort aus den Relationen, die in der Vierergruppe gegeben sind.
 
Daran sehe ich gerade auch, dass Aut(G) ~ Aut(H) -> G ~ H, sogar nur |G| = |H| i.A. nicht funktioniert, weil Aut(V4) und Aut(S3) zu S3 isomorph sind, aber |V4|=4 von 6 = |S3| verschieden sind.
 
[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 26.12.2004 17:03:58 ]



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2004-12-26


Hi Martin,
da waren ja noch weitere Fragen...
4. Die Charakterisierung konjugierter Elemente.
Am besten ein Beispiel.
Wenn h die Permutation (a b c) (d e) (p q r s) ist und g eine beliebige Permutation, dann ist ghg-1 gleich der ebenfalls in Zyklenschreibweise dargestellten Permutation
(g(a) g(b) g(c)) (g(d) g(e)) (g(p) g(q) g(r) g(s)).
Beweis: Nachrechnen.
Zum Beispiel geht g(a) mittels g-1 in a, anschließend mittels h in b und dann mittels g in g(b) über usw.
Beachte, daß hier g durch g-1 ersetzt wurde, das ist, weil g ein beliebiges Element ist, unwesentlich und dient nur der besseren Schreibweise.
Der Witz ist hier, daß h in Zyklenschreibweise dargestellt wird, g jedoch nicht, sondern g wird ganz allgemein als bijektive Abbildung aufgefaßt.

5. Eine vollständige Konjugiertenklasse ist eine Äquivalenzklasse unter der Äquivalenzrelation "konjugiert".
Die Untergruppen, die Vereinigungsmengen vollständiger Konjugiertenklassen sind, sind Normalteiler, und umgekehrt.
Das ist trivial und folgt direkt aus der Definition von "Untergruppe" und "Normalteiler".

6. Nein, es ist nicht so gegessen.
Mein Beweis, daß es einen Homomorphismus von S4 auf S3 mit Kern V4 gibt, benutzt, daß ich vorher direkt gezeigt habe, daß V4 Normalteiler ist.
So geht es auch am schnellsten.

7. Der Isomorphismus von Aut(V4) auf S3 wird dadurch festgelegt, daß man (in willkürlicher Weise) den drei Elementen (12)(34), (13)(24), (14)(23) Nummern gibt, z. B. 1, 2, 3.
Ist dann h Element von Aut(V4) und z. B.
h( (12)(34) ) = (14)(23), dann ist für das h zugeordnete Element ah aus S3: ah (1) = 3, ist weiter
h( (13)(24) ) = (12)(34), dann ist ah (2) = 1 usw.

Der Isomorphismus ist also wirklich sehr einfach gebaut!

8. Wieso surjektiv?
Weil diese Abbildung, also der Homomorphismus von S4 / V4 in S3 injektiv ist. Beide Gruppen haben 6 Elemente. Ein Element des Kerns des Homomorphismus von S4 in S3 ist mit jedem Element von V4 vertauschbar, dies erfüllen aber nur die Elemente der Gruppe V4 selbst.
Beweisansatz: Die einzigen mit (12)(34) vertauschbaren Elemente in S4 sind die Elemente von V4
und (12), (34), (1324), (1423).

9. An der Zyklendarstellung einer Permutation kann man bekanntlich leicht ablesen, ob sie gerade ist, also zu An gehört, oder nicht. Dies ist der Fall, wenn die Anzahl der geraden Zyklen gerade ist (leicht zu merkendes Kriterium, es steht auch schon oft im Forum, ist aber, versteht sich, nicht so leicht zu finden).
Bei einem Viererzyklus ist die Anzahl der geraden Zyklen 1, also ungerade, somit gehört er nicht zu An (für beliebiges n >= 4).
Gruß Buri
PS:
zu 9.
Noch einfacher geht es so:
Es gibt acht Dreierzyklen und die vier Elemente von V4.
Das sind zwölf Elemente, mehr Elemente hat A4 nicht.
Nun kannst du natürlich wiederum nachfragen, warum ist V4 Untergruppe (sogar Normalteiler) von A4 und warum gehört jeder Dreierzyklus zu A4, aber ich denke, das ist klar.


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[ Nachricht wurde editiert von Buri am 26.12.2004 18:10:30 ]



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Martin_Infinite
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2004-12-26


Jetzt weiß ich zwar, wie man Permutationen konjugiert, aber das Kriterium für die Konjugiertheit leuchtet mir nicht ein.
 
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Und jetzt  :-?
 
2004-12-26 17:05: Buri schreibt:
5. Die Untergruppen, die Vereinigungsmengen vollständiger Konjugiertenklassen sind, sind Normalteiler, und umgekehrt.
Das ist trivial und folgt direkt aus der Definition von "Untergruppe" und "Normalteiler".

 
JAJA alles trivial!  :-(
 
Ich weiß nicht mal warum V4 sowas ist
 
2004-12-26 17:05: Buri schreibt:
8. Wieso surjektiv?
Weil diese Abbildung, also der Homomorphismus von S4 / V4 in S3 injektiv ist. Beide Gruppen haben 6 Elemente. Ein Element des Kerns des Homomorphismus von S4 in S3 ist mit jedem Element von V4 vertauschbar, dies erfüllen aber nur die Elemente der Gruppe V4 selbst.
Beweisansatz: Die einzigen mit (12)(34) vertauschbaren Elemente in S4 sind die Elemente von V4
und (12), (34), (1324), (1423).

 
Ich verstehe kein Wort, keinen Zusammenhang nix! Nicht mal wenn ich anfange zu rechnen ...
 
2004-12-26 17:05: Buri schreibt:
Bei einem Viererzyklus ist die Anzahl der geraden Zyklen 1, also ungerade, somit gehört er nicht zu An (für beliebiges n >= 4).

 
Achso, die sind gerade, weil sie gerade sind, tolle Begründung!
 
2004-12-26 17:05: Buri schreibt:
zu 9.
Noch einfacher geht es so:
Es gibt acht Dreierzyklen und die vier Elemente von V4.
Das sind zwölf Elemente, mehr Elemente hat A4 nicht.
Nun kannst du natürlich wiederum nachfragen, warum ist V4 Untergruppe (sogar Normalteiler) von A4 und warum gehört jeder Dreierzyklus zu A4, aber ich denke, das ist klar.

 
Falsch gedacht
 
Ich muss schon ganz schön bescheuert sein
[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 26.12.2004 19:50:46 ]



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2004-12-26


Hi Martin,

Das ist trivial und folgt direkt aus der Definition von "Untergruppe" und "Normalteiler".
(by Buri)  
JAJA alles trivial!  
(by Martin)
Wenn N ein Normalteiler ist, dann ist er Vereinigung vollständiger Konjugiertenklassen.
Sonst gäbe es es eine Konjugiertenklasse, die nur zum Teil, aber nicht vollständig zu N gehört.
Es gäbe ein h aus N und ein g aus G mit g-1 h g nicht aus N.
Dann ist N kein Normalteiler (Definition!).
Umgekehrt, ist H eine Untergruppe (ja, das muß man voraussetzen!), die aus vollständigen Konjugiertenklassen besteht, dann ist H Normalteiler. Denn wenn h aus H ist, dann folgt g-1 h g aus H, somit ist H Normalteiler.
---------------------------------------------------------------------
Nun kannst du natürlich wiederum nachfragen, warum ist V4 Untergruppe (sogar Normalteiler) von A4 und warum gehört jeder Dreierzyklus zu A4, aber ich denke, das ist klar.
(by Buri)  
Falsch gedacht
(by Martin)
Das Zweite hast du, wie du sagtest, schon bewiesen.
Zum Ersten ist doch
(i) jedes Element von V4 eine gerade Permutation, läßt sich also als Produkt einer geraden Anzahl von Zweierzyklen darstellen
(ii) besteht A4 aus genau allen geraden Permutationen.
Na, ich weiß nicht, woran es nun noch hängt.
---------------------------------------------------------------------
Bei einem Viererzyklus ist die Anzahl der geraden Zyklen 1, also ungerade, somit gehört er nicht zu An (für beliebiges n >= 4).
(by Buri)  
Achso, die sind gerade, weil sie gerade sind, tolle Begründung!
(by Martin)

Die Zweier-, Vierer-, Sechserzyklen, ... nennt man gerade Zyklen.
Die anderen (Einserzyklen gibt es definitiv nicht, also Dreier-, Fünferzyklen, ...) heißen ungerade Zyklen.

Wenn ein Element ein Viererzyklus ist, dann ist die Anzahl der in ihm enthaltenen geraden Zyklen gleich 1, also ungerade.
Das habe ich gemeint, die Begründung mag toll sein, ist aber auch richtig.

Gruß Buri


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[ Nachricht wurde editiert von Buri am 26.12.2004 23:01:39 ]



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2004-12-27


Hi Martin,
soweit ich sehe, ist mein Punkt 8. noch offen.
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                 Phi
      Aut(V4)   <-------    S4
        |                    |
   Beta |                    | Alpha
        |                    |
        v                    v
       V = S3   <-------   U = S4 / V4
                 Gamma

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Gruß Buri


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Martin_Infinite
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2004-12-27


Hi,
 
warum V4 normal ist, ist auch noch offen, weil ich noch nicht weiß, warum dieses Kriterium für die Konjugiertheit gilt.
 
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Der Zentralisator ist etwas anderes. Für eine Untergruppe H von einer Gruppe G ist CH(x) die Untergruppe von H aller mit x vertauschbaren Elemente von H.
 
Glaubst du wirklich, dass es Sinn macht, (24-4)*3=60 Rechnungen durchzuführen?
 
 Gruß
Martin
 
[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 27.12.2004 14:26:26 ]



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2004-12-27


Hi Martin,
danke für die Aufklärung mit dem Zentralisator.
Ich habe das noch nie richtig kapiert (damit meine ich: im Schlaf hersagen können), aber was Normalisator ist, das weiß ich.

Zum Beweis, daß V4 Normalteiler ist, geht man, wie ich schon sagte, am besten direkt vor. Man macht es so, wie auch der Beweis des besagten Kriteriums ginge, nur kann man sich hier auf das Überprüfen von wenigen Möglichkeiten beschränken.
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Warum willst du denn 60 Überprüfungen machen, wie das denn?
Du kannst immer dann aufhören, wenn Nichtvertauschbarkeit vorliegt, aber ein Element, das mit zweien der wesentlichen drei Elemente von V4 vertauschbar wäre, ist auch mit dem dritten vertauschbar, also höchstens 40 Versuche, wenn man es maximal ungeschickt macht.
In Wahrheit muß man nur drei Überprüfungen machen, denn man kann so schließen:
Wenn (a b) ein Zweierzyklus oder (a b c) ein Dreierzyklus oder (a b c d) ein Viererzyklus ist, dann ist er nicht vertauschbar mit (a d)(b c), fertig!
Gruß Buri


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[ Nachricht wurde editiert von fed am 27.12.2004 16:41:56 ]



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Martin_Infinite
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Jetzt hat es mehrmals **klick** gemacht  
 
Vielen Dank Buri!!!!



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2009-08-22


HI,
Ich komme auf einen älteren Artikel zurück durch Beschäftigung mit Kompositionsreihen und Normalteilern in symmetrischen Gruppen.


2004-12-27 16:34 - Buri in Beitrag No. 13 schreibt:
Hi Martin,
Warum willst du denn 60 Überprüfungen machen, wie das denn?
Du kannst immer dann aufhören, wenn Nichtvertauschbarkeit vorliegt, aber ein Element, das mit zweien der wesentlichen drei Elemente von V4 vertauschbar wäre, ist auch mit dem dritten vertauschbar, also höchstens 40 Versuche, wenn man es maximal ungeschickt macht.
In Wahrheit muß man nur drei Überprüfungen machen, denn man kann so schließen:
Wenn (a b) ein Zweierzyklus oder (a b c) ein Dreierzyklus oder (a b c d) ein Viererzyklus ist, dann ist er nicht vertauschbar mit (a d)(b c), fertig!
Gruß Buri


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Welche Operationen auf einem Würfel? Dazu schönes Beispiel in
de.wikipedia.org/wiki/Gruppenoperation

Deinen letzten Satz "Wenn (a b) ein Zweierzyklus oder (a b c) ein Dreierzyklus oder (a b c d) ein Viererzyklus ist, dann ist er nicht vertauschbar mit (a d)(b c)" verstehe ich nicht was sind a,b,c,d was ist vertauschbar?
WICHTIG, ich muss ein Programm schreiben, daß solche Fragen beantwortet in PHP. Und bei S_9 etwa müsste man schon ein paar 10000 (worst case noch mehr) Operationen ausführen.

Jürgen
Thx
[ Nachricht wurde editiert von juergen007 am 22.08.2009 19:51:11 ]



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2009-08-22


2009-08-22 19:41 - juergen007 in Beitrag No. 15 schreibt:
... verstehe ich nicht was sind a,b,c,d was ist vertauschbar?
Wichtig!
Hi Jürgen,
ich verstehe deine Frage nicht.
a,b,c,d sind die Zahlen 1,2,3,4, nur in möglicherweise anderer Reihenfolge.
Vertauschbar ist ein wesentlicher Begriff in der Gruppentheorie.
Gruppenelemente X und Y sind vertauschbar, wenn X Y = Y X.
Es kann nicht im Entferntesten so sein, daß du diesen Begriff nur deswegen erklärt bekommst, weil du hier Fragen im Forum stellst.
Das mußt du unbedingt selbst "begreifen", mit anderen Worten, du müßtest das, was ich hier geschrieben habe, eigentlich vorher schon gewußt haben.
Gruß Buri
[ Nachricht wurde editiert von Buri am 22.08.2009 20:04:42 ]



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juergen007
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Tag,
Ist mir klar, dass abcd 1,2,3,4 sind aus dem vorherigen.
Sorry daß ich nachfrage, ich hab den ganzen thread gelesen.
Ich rechne dass
1 ) (123)(12)(34)(321)= (13)(24)
und
2) (321)(12)(34)(123) = (14)(23) ist
also
2: (abc) (bc)(ad) (cba) = (cd)(ba)
Aber kann man das echt so verallgemeinern?

anm.:Zyklen rechne ich von hinten nach vorn.

Hoffe meine Frage ist klar.








[ Nachricht wurde editiert von juergen007 am 22.08.2009 20:06:14 ]



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juergen007
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Ich kam eben noch durch einen Tip auf die Lösung.
Ich verzeihe Deine Überheblichkeit.

P.S. Es gibt keine dummen Fragen nur dumme Antworten.


[ Nachricht wurde editiert von juergen007 am 22.08.2009 22:07:50 ]



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juergen007
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2004-12-27 16:34 - Buri in Beitrag No. 13 schreibt:

Wenn (a b) ein Zweierzyklus oder (a b c) ein Dreierzyklus oder (a b c d) ein Viererzyklus ist, dann ist er nicht vertauschbar mit (a d)(b c), fertig!
Gruß Buri

[ Nachricht wurde editiert von fed am 27.12.2004 16:41:56 ]

Ein Zyklus ist offenbar nicht vertauschbar mit einem Zyklus??
Er redet wirr



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PeterTheMaster
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nichtdisjunkte zyklen kommutieren nicht, kannst du ganz einfach nachrechnen. und ich glaube, ich habe buri noch nie wirr reden sehen, aber wenn ich mir deine letzten 3 posts so ansehe ...



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Buri
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2009-08-22 20:03 - juergen007 in Beitrag No. 17 schreibt:
1. ... kann man das echt so verallgemeinern?
Hoffe meine Frage ist klar.
2009-08-22 23:43 - juergen007 in Beitrag No. 19 schreibt:
2. Er redet wirr
Hi Jürgen,
1. Ich habe gar nichts verallgemeinert, ich habe eine Behauptung aufgestellt, die nützlich ist und leicht nachgeprüft werden kann.
Deine Rechnungen sind nur richtig, wenn du von links nach rechts verknüpfst, also gerade andersherum, als du es angibst.
2. Daß du es nicht verstanden hast, wissen wir schon aus deinem Beitrag #15. Wenn du es verstehen möchtest, dann bringt es nichts, wenn du es noch einmal wiederholst.
Wenn man überprüfen will, daß (ab) und (ad)(bc) nicht vertauschbar sind, dann rechnet man so (ich rechne wie üblich von rechts nach links):
(ab) * (ad)(bc) = (adbc) und
(ad)(bc) * (ab) = (acbd),
das ist nicht gleich, was zu beweisen war.
Gruß Buri



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juergen007
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2009-08-23 09:03 - Buri in Beitrag No. 21 schreibt:

Hi Jürgen,
2. Daß du es nicht verstanden hast, wissen wir schon aus deinem Beitrag #15. Wenn du es verstehen möchtest, dann bringt es nichts, wenn du es noch einmal wiederholst.

Wenn man überprüfen will, daß (ab) und (ad)(bc) nicht vertauschbar sind, dann rechnet man so (ich rechne wie üblich von rechts nach links):
(ab) * (ad)(bc) = (adbc) und
(ad)(bc) * (ab) = (acbd),
das ist nicht gleich, was zu beweisen war.
Gruß Buri

Letzteres ist klar,thx.

Natürlich weiss ich was vertauschbar heißt, hatte mich flasch ausgedrückt.
Man betrachte noch
(abc)(ab)(cd)(cba) = (ac)(bd)
(cba)(ab)(cd)(abc) = (ad)(bc)
und
(abcd)(ab)(cd)(dcba)
(adcb)(ab)(cd)(abcd)
für a,b,c,d aus 1,2,3,4 paarweise verschieden.
und sieht die Normalteilereigenschaft. Nach 6 Rechnungen.
Reicht das?
Ich hatte jetzt iwie das Gefühl dass es verwerflich ist etwas nicht zu verstehen.
Stimmt das;)
Danke
MFG

J




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