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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Satz vom Fußball
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Universität/Hochschule J Satz vom Fußball
Anschewski
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Aus: Kassel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2005-02-14


Hallo Planetarier,

vielleicht kennt der ein oder andere den Satz, der z.B. aus dem Fischer, lineare Algebra, als "Satz vom Fußball" bekannt ist. Die Aussage ist recht trivial.
Sei ein Fußball zu Beginn der zweiten Halbzeit eines Fußballspiels wie schon zu Beginn der ersten Halbzeit genau auf dem Mittelpunkt des Feldes aufgelegt. Dann gibt es mindestens zwei Punkte, die wieder ihren ursprünglichen Ort belegen.

Der Beweis ist denkbar einfach, weil man nur Drehmatrizen im \IR^3 anschauen muss. Dann bleibt das Produkt wieder eine Drehmatrix und deren char. Polynom hat Grad 3 und damit in IR mindestens eine Nullstelle also gibt es einen Eigenwert, also auch einen Eigenvektor, der an zwei Stellen durch den Ball "sticht".

FRAGE:
Hat jemand ein Verfahren an der Hand wie man auf diesen Vektor kommt? Wir haben schon stundenlang in der Mensa Salatschüsseln aneinandergehalten und gedreht und kamen auf keinen konstruktiven Beweis wie man aus zwei Drehungen die invariante Gerade findet....

Danke für Ideen!

Michael
[ Nachricht wurde editiert von Anschewski am 14.02.2005 23:57:15 ]



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shadowking
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2005-02-15


Hallo Anschewski,

warum brauchst Du denn zwei Drehungen? Alle Drehungen zwischen
An- und Abpfiff ergeben kombiniert doch nur eine Drehung, und
wenn Du die als Drehmatrix gegeben hast, brauchst Du lediglich
deren Eigenvektor zu bestimmen. Der Eigenwert muss 1 sein.

Gruß shadowking


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Niemand ist hoffnungsloser versklavt als der, der fälschlich glaubt frei zu sein.
- Johann Wolfgang von Goethe



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Anschewski
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2005-02-15


Hallo Norbert,

schon klar, dass am Ende nur eine Drehung heraus kommt.
Ich hab mir nur gedacht es müsste ein Verfahren geben, um anschaulich(!) aus je zwei Drehungen eine einzige zu machen. Dass dieser Satz mathematisch stimmt ist sehr offensichtlich, aber anschaulich steh ich da immer noch im Zweifel.

Aber danke schonmal für's Mitdenken!

Michael



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huepfer
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Aus: Münster/ eigentl. Allgäu
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2005-02-15


Hallo Anschewski,

ich kenne leider nicht die Formel für eine dreidimensionale Drehung und weiß auch nicht so ganz wie die aussehen würde, deshalb würde ich Dir raten das ganze erstmal für den zweidimensionalen Fall zu betrachten. Dazu solltest Du die Formel kennen. Wenn Du jetzt zwei Drehungen nacheinander durchführst ist das nichts anderes, als eine Multiplikation der beiden Matrizen. Wählst Du nun zwei Drehungen und multiplizierst die Matrizen miteinander, kannst Du das mit Additionstheoremen wieder in die gewünschte Form bringen. Im dreidimensionalen Fall würde das dann genauso gehen.

Gruß
   Felix


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Quidquid agis, prudenter agas et respice finem.
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shadowking
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2005-02-15


Hallo huepfer und Anschewski,

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Gruß shadowking






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[ Nachricht wurde editiert von shadowking am 16.02.2005 01:23:09 ]



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Anschewski
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2005-02-16


Hallo Norbert,

das ist ja ziemlich der Wahnsinn! Somit wäre deutlich Widerlegt, dass sich ein schnelles konstruktives Verfahren aufzeigen lässt. Jetzt kenn ich wenigstens den langen Weg :-)

Danke für die Hilfe!
Michael



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huepfer
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Aus: Münster/ eigentl. Allgäu
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2005-02-23


Hallo,

jetzt muss ich doch grad nochmal hier nachhaken. Und zwar schien mir eigentlich klar zu sein, dass die Determinante von vorneherein +1 sein muss. Leider ist das jetzt nicht mehr so der Fall.
Ist es so, dass, wenn die Determinante einer solchen orthogonalen Matrix -1 wäre, die damit verbundene Spiegelung eine Inversion des Balles zur Folge hätte und dieser dann zu Beginn der zweiten Hälfte nach außen umgekehrt wäre?
Wenn ja, wie kann man das auch mathematisch sauber formulieren?

Gruß
   Felix


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shadowking
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2005-02-23


Hallo Felix,

hierfür gibt es die Begriffe der orthogonalen und der
speziellen orthogonalen Gruppe.

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[ Nachricht wurde editiert von shadowking am 24.02.2005 00:19:20 ]



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fru
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Aus: Wien
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2005-02-23


Hallo, Felix!

Nein, das Innere wird nicht nach außen gekehrt; das wäre z.B. bei einer Spiegelung an der Kugel der Fall, also bei der Abbildung

r ↔ R2/r

(R...Ballradius).



Det M = -1 kann man sich so veranschaulichen:
Drei auf den Ball gemalte färbige, ein Dreieck bildende Punkte, z.B.:

    rot

gelb   grün

würden nach der Abbildung den Umlaufsinn gewechselt haben, z.B.:

    grün

gelb    rot




Liebe Grüße, Franz

[ Nachricht wurde editiert von fru am 09.08.2011 20:37:14 ]



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Buri
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Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2005-02-24


Hi Anschewski,
@Norbert
Alles richtig, aber für diesen Zweck viel zu allgemein und deshalb zu kompliziert. Übrigens ist O(n) für ungerade Zahlen n ein direktes Produkt von SO(n) und +-1, nur für gerades n ist das Produkt wirklich semidirekt.
@huepfer
Es spielt bei dieser Frage keine große Rolle, ob die Determinante 1 oder -1 ist. In jedem Fall hat eine orthogonale Matrix einen reellen Eigenwert, der gleich der Determinante ist. Wenn M Determinante - 1 hat, dann hat - M Determinante 1 und Eigenwert 1, also hat M dann den Eigenwert - 1.
@Anschewski
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Die Spalten der Matrix M - I spannen übrigens die zur Drehachse orthogonale Ebene auf, sie besteht aus allen Vektoren x mit Sx = 0.
Gruß Buri



-----------------
Cette question nous entraînerait trop loin. (Diese Frage würde uns zu weit führen) Henri Poincaré (1854-1912)
[ Nachricht wurde editiert von Buri am 25.02.2005 00:02:45 ]



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Anschewski
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2005-03-14


OH Da hab ich ja grad erst den Nachtrag von Buri gesehen.
Das ist alles gar nicht so schlecht und mittlerweile für mich auch nachzuvollziehen. Danke für die Ausführungen, so macht mir Mathe Spaß, ist doch besser als Vorlesung nach Schema.

Gruß,
Michael



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Anschewski hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Anschewski hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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