| Autor |
  * Malerarbeit mit Hindernissen |
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JohnDoe
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Aus: Tirol
 |  Themenstart: 2005-02-18 17:14
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Hallo Knobelfreunde!
Malermeister Patzmann hat ein Problem. Er soll einen Saal ausmalen und muss dazu erst eine (möglichst lange) Leiter durch die Kellergänge transportieren. Die Gänge sind rechtwinklig verzweigt und haben quadratischen Querschnitt, 3m breit und 3m hoch.
Wie lang darf eine 50cm breite Leiter höchstens sein, damit er sie gerade noch "um die Ecke bringt" 
Viel Spaß
Heinz
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weserus
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2005-02-18 17:49
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hi heinz,
auch wenn dies nicht die lösung ist, die du meinst:
jeder malerfachbetrieb besitzt sog. teleskop-leitern
aus aluminium. die palette ist sehr gross und es gibt
schon leitern, die bis auf 0,78m zusammenschiebbar sind.
die höhen sind variabel.
für arbeitshöhen bis 2m sind u.u. auch aus gründen der
arbeitssicherheit gerüste vorgeschrieben, so dass ein
einsatz von leitern ohnehin entfällt.
sieh es bitte praktisch!
praktische grüsse peter
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viertel
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Aus: Flörsheim/Hessen
 |  Beitrag No.2, eingetragen 2005-02-18 17:50
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Hehe,
erster Gedanke: hatten wir doch gerade so eine Aufgabe hier auf dem MP.
zweiter Blick: Aufgabensteller JohnDoe. Hoppla.
Gefällt mir, die Aufgabe. Doof, daß ich jetzt weg muß 
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Rebecca
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2005-02-18 17:57
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Hi Heinz,
als Problemlösung schlage ich vor, dass dieser Dödel von Malermeister sich endlich eine Mehrzweckleiter kauft:
Höhe als Stehleiter (s. Bild): 6 m (dürfte für jeden Ballsaal reichen)
Höhe als Schiebeleiter: 7,5 m
Höhe zusammengelegt: 3,1 m (also kein Problem, das Ding um die Ecken zu bringen)
Im Ernst: Das ist die 3-dimensionale Variante dieser Aufgabe.
Ich nehme trotzdem an, dass die Leiter selbst aber 2-dimensional sein soll.
Gruß
Rebecca
[ Nachricht wurde editiert von Rebecca am 18.02.2005 18:25:02 ]
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JohnDoe
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|  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2005-02-18 18:19
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Oh, ihr habt mich durchschaut 
@Peter&Rebecca:
Ihr habt schon recht, aber zu Meister Patzmanns Zeiten gab es weder Aluleitern noch genaue Vorschriften über Arbeitssicherheit (lest mal nach bei Nestroy!) 
@Dietmar&Rebecca:
Ja, ich hätte wohl noch ergänzen sollen "stolen from Heiner" 
@"Im Ernst":
die Dicke der Leiter können wir in erster Näherung vernachlässigen...
Schön, dass ihr mitmacht
Gruß, Heinz
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JohnDoe
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Dabei seit: 19.07.2003
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Aus: Tirol
|  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2005-02-19 18:42
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Hi,
eine erste Zwischenbilanz:
Anzahl der eingelangten Lösungsvorschläge: 1
Anzahl der korrekten Lösungen: 0
Soweit der Zwischenstand
Gruß, Heinz
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JohnDoe
Senior
Dabei seit: 19.07.2003
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Aus: Tirol
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2005-02-19 18:51
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... und während ich das noch geschieben habe ist die erste korrekte Lösung eingetroffen:
Herzlichen Glückwunsch, Dietmar(1/4)
Kleiner Tipp: nach einer Daumen mal pi Abschätzung muss die Länge zwischen 8.5m und 9m liegen!
Gruß, Heinz
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viertel
Senior
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|  Beitrag No.7, eingetragen 2005-02-20 11:23
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Ist hier überhaupt irgendwer dran?
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JohnDoe
Senior
Dabei seit: 19.07.2003
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Aus: Tirol
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2005-02-20 13:28
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Hi Dietmar,
vielleicht warten wir noch einen Tag. Aber wenn bis morgen kein Einspruch kommt möchte ich Dich bitten, Deine schöne Lösung hier zu präsentieren.
Viele Grüße
Heinz
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viertel
Senior
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Aus: Flörsheim/Hessen
| Beitrag No.9, eingetragen 2005-02-21 13:08
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Ok,
da hier gar nichts gekommen ist (ich kann verstehen, warum, ich hatte mich wegen des erwarteten Umfangs erst auch nicht an die Rechnung getraut), poste ich meine Lösung.
Sorry, daß das Bild so groß ist, aber sonst erkennt man auf der rechten Seite nix an dem kleinen gelben Dreieck.
In vergleichbaren Aufgaben wird die Leiter horizontal getragen, d.h. sie muß einfach nur um die Ecke geschafft werden. Da beide Gänge 3m breit sind, ist das einfach die rote Linie im 45° Winkel.
So eine Aufgabe stellt aber nicht JohnDoe. Es waren ja auch noch die Raumhöhe mit h=3m und die Breite der Leiter mit b=0.5m angegeben. Das Ding wird also schräg um die Ecke bugsiert.
Schräger als zwischen Boden und Decke eingeklemmt geht nicht. Die Diagonale d der Leiter geht also vom Boden bis zur Decke. Und mit ein wenig 3D-Vorstellungsvermögen steht sie dabei hochkant, stößt mit zwei Ecken an die Wände und in der Draufsicht ist es wieder die rote Strecke.
Den ersten Versuch hatte ich mit DynaGeo gemacht, indem ich die Länge der Leiter variieren konnte. Leider hatte ich mich dabei vertan, so daß der erste Wurf falsch war ("Anzahl der eingelangten Lösungsvorschläge: 1, Anzahl der korrekten Lösungen: 0"). Aber dann hatte ich die geometrische Lösung.
Was jetzt noch abschreckte war die Rechnung. Es war klar, daß es über die beiden Dreiecke dhf und bld gehen mußte. Aber Die Winkel alpha, beta und gamma, über arcsin() bzw arccos() zu berechnen, und den Kram dann auch noch weiterschleppen? Nein danke.
Hmmm, oder doch? Eigentlich geht es doch um gamma=alpha-beta. Und da gibt es doch die Additionstheoreme. Also, ran an den Speck:
\fedon\mixon\lr(1)d^2=l^2+b^2
\lr(2)f^2=d^2-h^2=l^2+b^2-h^2 und f=sqrt(l^2+b^2-h^2)
Jetzt ein paar Winkelbeziehungen:
array(h/d=sin(\a),b/d=sin(\b);f/d=cos(\a),l/d=cos(\b))
\align\ Und jetzt kommt es:
sin(\g)=sin(\a-\b)
=sin(\a)*cos(\b)-cos(\a)*sin(\b)
=h/d*l/d-f/d*b/d
=(hl-fb)/d^2
\lr(3a)=(hl-fb)/(b^2+l^2)
\lr(3b)=g/b $ das kleine gelbe Dreieck rechts
\stopalign
f+2*g=2*h*sqrt(2) $ ganze Breite der Leiter, also die rote Strecke
<=>g=(2*h*sqrt(2)-f)/2 $ einsetzen in (3a)=(3b)
(hl-fb)/(b^2+l^2)=(2*h*sqrt(2)-f)/2b $ f einsetzen, siehe (2)
(hl-sqrt(l^2+b^2-h^2)*b)/(b^2+l^2)=(2*h*sqrt(2)-sqrt(l^2+b^2-h^2))/2b
Zum Schluß noch b=0.5 und h=3 einsetzen
(3*l-sqrt(l^2+0.5^2-3^2)*0.5)/(0.5^2+l^2)=(2*3*sqrt(2)-sqrt(l^2+0.5^2-3^2))/(2*0.5)
Noch etwas vereinfachen
(12*l-sqrt(4*l^2-35))/(4*l^2+1)=6*sqrt(2)-sqrt(4*l^2-35)/2
Das löst man vorzugeweise numerisch und kommt auf
\fedoff\blue\ l=8.713378289
Der Witz war also echt die Vermeidung der arc-Funktionen.
Es ist auch ein schönes Beispiel dafür, wie so eine Aufgabe angegangen werden kann:- Zeichnung machen
- die relevanten Teile benennen
- Beziehungen zwischen den Teilen herstellen
- habe ich genug Beziehungen, um die ganzen Unbekannten zu berechnen?
- mit den Beziehungen rumspielen, ausprobieren, was geht
- konsequent nach Unbekannten auflösen und einsetzen
- die Möglichkeit von Irrwegen akzeptieren
- nicht verzweifeln; ich hatte auch einen Rechenfehler drin (Klammern vergessen), den ich erst nach Stunden gefunden habe
Gruß vom 1/4
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Rebecca
Senior
Dabei seit: 18.07.2002
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Aus: Berlin
| Beitrag No.10, eingetragen 2005-02-21 13:27
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Hi Dietmar,
Glückwunsch zu deiner tollen Lösung!
Ich hatte mich auch dran versucht und bin ähnlich wie du rangegangen: Hochkant um die Ecke, Diagonale von Decke bis zum Boden, Experimente mit DynaGeo, habe aber nach einigen Stunden entnervt aufgegeben.
Gruß
Rebecca
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JohnDoe
Senior
Dabei seit: 19.07.2003
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Aus: Tirol
| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2005-02-21 14:58
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Vielen Dank, Dietmar!
Deine Lösung ist wirklich ein Musterbeispiel für clevere Planung und ausgezeichnetes 3D-Vorstellungsvermögen. Und der Clou war die Verwendung des Summensatzes!
Danke auch an Rebecca und alle die sich mit diesem zeitintensiven Problem befasst haben
Noch eine theoretische Bemerkung: Die Aufgabe ist auch exakt lösbar (man kann die letzte Wurzelgleichung auf eine Gleichung 4.Grades reduzieren)
Gruß, Heinz
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viertel
Senior
Dabei seit: 04.03.2003
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Aus: Flörsheim/Hessen
| Beitrag No.12, eingetragen 2005-02-24 23:58
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So,
schließen wir das Ganze wie neuerdings üblich noch mit einem Bildchen ab:
Eigentlich schade, daß diese Arbeit nicht von denen gelesen wird, die etwas davon lernen könnten (Schüler), sondern nur von den "Profis" hier auf dem MP. (Unterstelle ich jetzt einfach mal; würde mich freuen, Widerworte zu hören/lesen).
1/4
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shredhead
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Dabei seit: 24.02.2004
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Aus: Aachen, jetzt in München
 | Beitrag No.13, eingetragen 2005-02-25 00:38
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Hi Dietmar
Ich bin zwar kein Schüler, aber ich habe mich trotzdem mit
der Aufgabe beschäftigt! Leider habe ich nicht so ein
hervorragendes 3D Vorstellungsvermögen wie du, wie Heinz auch schon
erwähnte! Ich bin immer ganz fasziniert von deinen tollen
Bildern und deiner cleveren herangehensweise an solche Aufgaben!
*Kompliment*
Mit welchem Programm machst du eigentlich diese schönen Bilder
(speziell das mit der Leiter am Schluß)?
Gruß
Jörg
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viertel
Senior
Dabei seit: 04.03.2003
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Aus: Flörsheim/Hessen
| Beitrag No.14, eingetragen 2005-02-25 02:16
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Mit der Freeware (Du hast richtig gelesen) www.povray.com (schau Dir da mal die Hall of fame an ).
Der wesentliche Teil des Source ist gar nicht so sensationell:
\sourceon
#declare FWandI=texture { pigment { color rgbt<0.7,0.7,0.7,0.5> }};
#declare FWandA=texture { pigment { color rgb<0.7,0.7,0.7> }};
#declare D=0.1; // Wanddicke
#declare H=3; // Ganghöhe/-breite
// Wände
box { <-4,0,-D>,<0,H,0> texture{FWandI} }
box { <-D,0,0>,<0,H,-4> texture{FWandI} }
box { <-4,0,H>, texture{FWandA} }
box { , texture{FWandA} }
// Leiter
#declare FLeiter=texture { pigment { color rgb<0.5,0.9,0.5> }};
#declare L=8.7133;
#declare W=0.5;
#declare S=25; // Stufenzahl
#declare SH=L/S;
#declare LD=0.05; // Leiterdicke
#declare SD=LD/2; // Sprossendicke
union {
cylinder { <0,0,0>,<0,L,0>,LD texture{FLeiter}}
cylinder { ,,LD texture{FLeiter}}
#declare Sn=1;
#while (Sn<=S)
#declare Y=(Sn-0.5)*SH;
cylinder { <0,Y,0>,,SD texture{FLeiter}}
#declare Sn=Sn+1;
#end
rotate z*(90-16.83)
rotate y*45
translate <2.896,0,-2.896>
}
\sourceoff
[ Nachricht wurde editiert von viertel am 25.02.2005 02:43:50 ]
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Diffform
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 | Beitrag No.15, eingetragen 2005-02-25 11:23
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Und man kann sich auch recht einfach schöne mathematische Konstrukte (Varietäten, etc.) machen:
Gruß, Bastl
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 www
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JohnDoe
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Dabei seit: 19.07.2003
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Aus: Tirol
| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2005-02-25 19:42
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Hallo Dietmar, Jörg und Bastl,
so macht ihr also diese tollen 3D-Bilder
Danke für den Hinweis, das Programm muss ich unbedingt ausprobieren...
Viele Grüße
Heinz
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Buri
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 | Beitrag No.17, eingetragen 2005-02-25 20:44
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Hi Dietmar,
vielen Dank für die schöne Lösung!
Ich hatte noch gezweifelt, ob wirklich beide Holme der Leiter im "kritischen Zeitpunkt" die senkrechte Kante (in Bildmitte) berühren müssen.
Aber dann las ich deine Überlegung, die die "Leiterdiagonale" benutzt.
Genial hast du dir das ausgedacht!
Die Leiterlänge zu maximieren, heißt, die Leiterdiagonale zu maximieren, so einfach ist die Idee, und doch so schwer, darauf zu kommen.
Danke auch für die Bilder!
Die Leiter hat doch als starrer Körper 6 Freiheitsgrade.
Von diesen 6 Freiheitsgraden gibt es eine Teilmenge P derer, für die sich die Leiter in dem Kellergang befindet und nicht herausragt.
Elemente von P sind solche, wo die Leiter vor der Ecke, und solche, wo die Leiter im waagerechten Gang ist. Die Frage ist, ob P eine zusammenhängende Menge ist, für eine gegebene Leiterlänge.
Da in diesem Problem genau derselbe Sachverhalt vorliegt, nämlich, ob eine Teilmenge der Menge der Freiheitsgrade eines starren Körpers zusammenhängend ist, kannst du doch mal versuchen, diese Frage anzugehen!
Gruß Buri
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matroid
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 | Beitrag No.18, eingetragen 2005-02-25 20:49
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Hallo viertel,
ich mag ja die 3D-Probleme nicht so sehr, weil man keine guten Zeichnungen machen kann. Nun weiß ich aber, daß nur ich keine guten Zeichnungen machen kann, das viertel kann es schon!
Wir werden hier noch berühmt mit den Leitern. Frühere Aufgaben zu Leitern sind von anderen Orten verlinkt:
www.mathematische-basteleien.de/leiter.htm
www.mathematik.uni-bielefeld.de/~sillke/PUZZLES/ladder
(Suche nach matheplanet oder nach Hans-Juergen)
Gruß
Matroid
[ Nachricht wurde editiert von matroid am 25.02.2005 20:51:51 ]
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Ehemaliges_Mitglied
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| Beitrag No.19, eingetragen 2005-02-25 23:45
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2005-02-24 23:58: viertel schreibt:
Eigentlich schade, daß diese Arbeit nicht von denen gelesen wird, die etwas davon lernen könnten (Schüler), sondern nur von den "Profis" hier auf dem MP. (Unterstelle ich jetzt einfach mal; würde mich freuen, Widerworte zu hören/lesen).
Ich bin Schüler und die Idee der Diagonalen ist so leicht, wie sie schön ist. Du siehst: Auch wir Schüler lesen (und denken) mit, womit du ein Widerwort hättest.
Gruß
Huseyin
EDIT: Die Hall of Fame ist DER Wahnsinn, wie lernt man sowas bloß?
[ Nachricht wurde editiert von Huseyin am 25.02.2005 23:47:28 ]
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viertel
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| Beitrag No.20, eingetragen 2005-02-25 23:57
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Huseyin,
Dich darf man hier ja wohl getrost zu den Schüler-Profis zählen
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| Beitrag No.21, eingetragen 2005-02-26 00:06
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Eine Frage: Gibts eine deutsche Übersetzung der Introduction für das Programm?
Gruß
Huseyin
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viertel
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| Beitrag No.22, eingetragen 2005-02-26 00:57
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Ehemaliges_Mitglied
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| Beitrag No.23, eingetragen 2005-02-26 01:01
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JohnDoe
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Aus: Tirol
| Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2005-03-10 20:20
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Hallo nochmal,
obwohl schon abgehakt, möchte ich (auf eine PM Anfrage hin) noch meine Lösung kurz andeuten. Mit Dietmars schönem Bild (das mit der hellblauen Leiter und dem kleine gelben Dreieck) und seinen Bezeichnungen geht das auch ganz schnell:
\fedon\mixon\
Diagonale d^2=L^2+b^2
Projektion der Diagonale f^2=L^2+b^2-h^2
kurze Kathete des gelben Dreiecks 2g=r-f , wobei r=rote Strecke
lange Kathete des gelben Dreiecks k^2=b^2-g^2
r = Projektion der zweiten Diagonale: r^2+(h-2k)^2=d^2
Alles in die letzte Gleichung eingesetzt führt nach elementaren Umformungen auf die unangenehme Gleichung
37-6*sqrt(24*sqrt(8L^2-70)-4L^2-249)+12*sqrt(8L^2-70)-4L^2=0
für die gesuchte maximale Leiterlänge L=8.71337829
\fedoff
Gruß, Heinz
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viertel
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| Beitrag No.25, eingetragen 2005-03-11 00:57
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Hallo Heinz,
sehr schön. Pythagoras for President
Das muß man sich gaaaanz langsam auf der Zunge vorstellen... (frei nach Piet Klocke).
Gruß
Dietmar
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JohnDoe
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| Beitrag No.26, vom Themenstarter, eingetragen 2005-03-11 18:55
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Hi Dietmar,
wegen dieser eher schlichten pythatoräischen Anhäufung hatte die Aufgabe ja auch nur ein Sternchen. Auf Deine raffinierten "Winkelzüge" wäre ich gar nicht gekommen.
Gruß, Heinz
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weserus
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Aus: Northeim
| Beitrag No.27, eingetragen 2005-03-11 19:02
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hi dietmar,
sehr gute darstellung! ich werde die webseite und
diese arbeit demnächst unserer maler-innung empfehlen,
damit auch die "praktiker" davon profitieren.
mfg peter
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