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Mathematik » Zahlentheorie » Summe zweier irrationaler Zahlen eine rationale Zahl?
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Autor
Kein bestimmter Bereich J Summe zweier irrationaler Zahlen eine rationale Zahl?
Slash
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.03.2005
Mitteilungen: 5775
Aus: New York
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2005-03-23


Hallo,
unter welchen Umständen ist die Summe zweier irrationaler Zahlen eine rationale bzw. ganze Zahl? Gibt es da ein paar allgemeingültige Regeln oder muss das von Fall zu Fall bewiewsen werden?

MfG Slash



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Martin_Infinite
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 15.12.2002
Mitteilungen: 39133
Aus: Münster
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2005-03-23


Hi Slash,
 
das ist eine schwierige Frage, die sich mE nicht allgemein beantworten lässt.
 
Fest steht, dass es zu jeder irrationalen Zahl eine weitere gibt, sodass die Summe rational ist. Trivial, denn zu irrationalem x nehme man -x mit x+(-x) = 0. Man könnte aber auch zu x irgendeine rationale Zahl r addieren, dann ist x+(x+r) = 2x + r immer noch irrational. Denn ansonsten wäre auch 2x und damit x rational.
 
 Gruß
Martin



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Anschewski
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 27.04.2004
Mitteilungen: 316
Aus: Kassel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2005-03-23


Hallo Slash,

Herzlich Willkommen auf dem Planeten!
Zumindest ich kenne keine allgemeingültige Regel, wie man das erkennt und man muss schon im Einzelfall beweisen dass die Summe rational ist.
Ich glaube auch nicht dass es da was gibt.

Gruß,
Michael



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Jockel
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 30.01.2003
Mitteilungen: 1005
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2005-03-23


Hi,

man kann doch allgemein so antworten:

Die Summe a+b wird rational, wenn sich a und b in der Dezimalbruchdarstellung ab einem Index n nicht mehr unterscheiden.

Oder ist das Qutasch?

Jockel



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fru
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.01.2005
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Aus: Wien
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2005-03-23


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viertel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 26020
Aus: Hessen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2005-03-23


Wenn ich nicht irre ist "rational+irrational=irrational". Damit kann man Martins Idee erweitern, so daß man jede rationale Zahl als Ergebnis erhalten kann:
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Martin_Infinite
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 15.12.2002
Mitteilungen: 39133
Aus: Münster
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2005-03-23


@Dietmar: Das kann ich nur bestätigen  



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fru
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.01.2005
Mitteilungen: 21456
Aus: Wien
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2005-03-23


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Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 44788
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2005-03-23


Hi Slash,
die Summe zweier Zahlen a und b ist irrational, wenn a und b über dem Körper der rationalen Zahlen algebraisch unabhängig sind.
Dies bedeutet, daß es keine nichttrivialen Gleichungen gibt, die aus a und b und rationalen Zahlen und den Grundrechenarten zusammengesetzt sind.

Diese Aussage ist völlig trivial (weil die Eigenschaft "algebraisch unabhängig" viel stärker ist als die Aussage "a+b irrational"), ich erwähne es aber, weil du gefragt hast, ob es "Regeln" gibt. Dies hier wäre eine, und mit dieser Regel werden auch tatsächlich Irrationalitätsbeweise gemacht.

Es ist aber eine Regel, die nur die Irrationalität von a+b zu beweisen gestattet, nicht die Rationalität. Die Hoffnung, daß man den Zahlen a und b auf irgendeine, noch so komplizierte Weise "ansehen" könnte, daß a+b rational ist, wird sich wohl nicht erfüllen.

Jeder konkrete Fall, wo "a + b ist rational" gezeigt werden kann, ist ein Einzelfall, das, was man zum Beweis tun muß, ist jedesmal anders.
Gruß Buri


-----------------
Cette question nous entraînerait trop loin. (Diese Frage würde uns zu weit führen) Henri Poincaré (1854-1912)



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