Habe eine kurze exakte Sequenz gegeben.

0->U->V->W->0

mit f: U->V und g: V->W

Also ker(f)=menge(0), im(g)=W und im(f)=ker(g)

Behauptung: Sind nur zwei der drei Räume endlich dimensional, so auch der dritte!

Also, ich weiß das f injektiv ist und g surjektiv. 
Soll ich jetzt annehmen das U und V endlich dimensional sind? 
Und dann daraus folgern das W dies auch ist?

Wie kann ich dies mit mit der Injektivität von f und der Surjektivität von g schaffen?
Ist dann das Kompositum bijektiv dann hätte ich ja einen Isomorphismus...
Dann wäre die Sache klar, fürchte nur das es nicht so einfach ist.

wenn ich U und V als endlich dimensional annehme,

dann folgt aus: ker(f)=menge(0), im(g)=W und im(f)=ker(g)

dim(U)=dim(ker(f))+dim(im(f))=dim(im(f))
dim(V)=dim(ker(g))+dim(im(g))=dim(im(f))+dim(im(g))

letzteres ist wenn man alles zusammenrechnet:

dim(U)+dim(W)

also dim(V)=dim(W)+dim(U) => dim(W)=dim(V)-dim(U) < \inf


also ist W endlich dimensional.

Aber so schön geht das für die anderen beiden Richtungen nicht, 
wie kann ich da ansetzen?
Wenn ich z.B. V und W als endlich dim. annehme, 
dann kann ich auf U ja nicht die Dimensionformel anwenden,
oder übersehe ich da was? Wie kan ich fortsetzen?

für die dritte ''Richtung''

U und W endlich dimensional:

Benutzt ihr doch U\/ker(f)~=im(f)

Da U endlich und ker(f)=menge(0), also U~=im(f)=ker(g)

also dim(V)=dim(im(g))+dim(ker(g))
also dim(V)=dim(W)+dim(U) < \inf

aber geht es auch ohne den Homomorphiesatz??

Was ich mich noch frage:

Folgt aus dim(V)=dim(U)+dim(W) eigentlich im Allgemeinen:

V=U\oplus\ W
oder nur wie Zaos es sagte:
V~=U\oplus\ W ?

Sei 0 \textrightarrow U \textrightarrow V \textrightarrow W \textrightarrow 0 eine kurze exakte Sequenz von K-Vektorräumen.
Aus dem Splitting Lemma folgt V ~= U \oplus W und damit  dim(V)=dim(U)+dim(W). Daraus folgt sofort, dass V genau dann endlich-dimensional ist, wenn U und W endlich-dimensional sind.

Ich habe jetzt auf meiner Lösung stehen:

U,V endlich dim. dann:
dim(U)=dim(im(f))
dim(V)=dim(im(f))+dim(im(g)) => dim(W)=dim(V)-dim(U) 
=> W endl. dim.

V,W endlich dim. dann:
dim(V)=dim(ker(g))+dim(W)  => dim(ker(g))=dim(V)-dim(W)
da ker(f)=menge(0) und im(f)=ker(g) folgt dim(ker(g))=dim(U)
=> U endl. dim.

U,W endlich dim. dann:
dim(U)=dim(im(f)) <\inf
dim(ker(g))=dim(im(f)) <\inf und dim(im(g))=dim(W) <\inf ,
also dim(V)=dim(im(g))+dim(ker(g)) <\inf
d.h. V endl dimensional.

In allen drei Fällen folgt also die Behauptung.
Ebenso sieht man in allen Fällen die in b) geforderte Formel:
dim(U)-dim(V)+dim(W)=0

F: U->V