Hallo Knobelfreunde! 

Hier mal eine ganz kleine Aufgabe für zwischendurch:
Man ermittle, auf wieviele Arten sich die Zahl \blue n=2/9*(10^2004 -1) \black als Differenz der Quadrate zweier natürlicher Zahlen schreiben lässt.

Viele Grüße

n = (a^2 - (a-1)^2) + ((a-1)^2 - (a-2)^2) + ... + ((b+1)^2 - b^2)

Wir stellen n dar als Summe von k ganzen Zahlen, die im Abstand 2 aufeinanderfolgen, deren kleinste wir a nennen:

n = a + (a+2) + ... + (a+2k-2) = ka + (k-1)k

Wir haben also
a = n/k - k + 1
und stellen die Bedingung, dass a ganzzahlig, positiv und ungerade sein soll:
k \| n
1 <= k^2 <= n
2 \| n/k-k

Alle k, die diese drei Bedingungen erfüllen, liefern eine Darstellung von n als Differenz zweier Quadratzahlen. Wir brauchen also die Mächtigkeit von
menge(k \in \IN | k \| n und 1 <= k^2 <= n und 2 \| n/k-k)

Hallo, Knobelfreunde!

Die Frage, auf wieviele verschiedene Arten sich
eine ganze Zahl n als Differenz zweier ganzer__ Zahlen
n=x^2-y^2 darstellen läßt, läßt sich so beantworten:

Für n=0 gibt es die unendlich vielen Lösungen x=y, also
L_(x,y)(0)=menge((k,k)|k\el\IZ)

Wegen
(n=x^2-y^2) <=> (-n=y^2-x^2)
ist L_(x,y)(-n) die Umkehrrelation zu L_(x,y)(n),
L_(x,y)(-n) ist also gleichmächtig zu L_(x,y)(n).

Sei also o.B.d.A. n>0.
n=x^2-y^2=(x+y)*(x-y) ist mit den Abkürzungen
a:=x+y
b:=x-y
wegen
x=(a+b)/2
y=(a-b)/2
gleichwertig zu
(n=a*b) \and (a==b mod 2).

Bezeichnen wir mit d(k)
die Anzahl der positiven Teiler einer ganzen Zahl k.

Wir unterscheiden die Fälle

(1) n==1 mod 2:
Da alle Teiler von n ungerade sind, ist mit a==b==1 mod 2
die Nebenbedingung für jeden Teiler a von n automatisch erfüllt.
Es gibt also d(n) positive und 2*d(n) ganzzahlige Lösungen a,
letzteres wegen
((s,t)\el L_(a,b)(n)) <=> ((-s,-t)\el L_(a,b)(n)).

(2) n==2 mod 4:
Der einzige Primfaktor 2 von n teilt entweder a oder b,
aber nicht beide, also ist immer a!==b mod 2.
Daher ist L_(a,b)(n)=\0.

(3) n==0 mod 4:
Beide Teiler a und b müssen gerade sein.
Wegen
(n/4=s*t) <=> (n=2s*2t)
gibt es hier d(n/4) positive und 2*d(n/4) ganzzahlige Lösungen a.

Zusammenfassend haben wir also für n!=0:

L_(x,y)(n)=fdef(menge(((t^2+n)/2t\,(t^2-n)/2t)|t teilt n), für n==1 mod 2;\0, für n==2 mod 4;menge(((t^2+n)/t\,(t^2-n)/t)|t teilt n/4), für n==0 mod 4)

abs(L_(x,y)(n))=fdef(2*d(n), für n==1 mod 2;0, für n==2 mod 4;2*d(n/4), für n==0 mod 4)

Für abs(n)=produkt(p^e_p,p\el\IP) mit e_p>=0 ist
d(n)=produkt((e_p+1),p\el\IP) (fast alle e_p sind natürlich Null).

Wenn abs(n) und damit auch abs(n/4) keine Quadratzahl ist,
dann ist mindestens ein e_p ungerade, also d(n) gerade.
Je 4 Lösungen (x,y), (-x,y), (x,-y), und (-x,-y) ergeben dann
eine__ Darstellung n=x^2-y^2 mit positiven__ ganzen Zahlen x,y.

Für ungerades n gibt es also d(n)/2 und
für durch 4 teilbares n gibt es d(n/4)/2
Darstellungen als Differenz zweier Quadrate natürlicher Zahlen,
wenn abs(n) keine Quadratzahl ist.

Falls aber abs(n)=k^2 eine Quadratzahl ist,
gehören zu der Darstellung abs(n)=abs(k)^2-0^2
nur zwei__ (statt vier) ganzzahlige Lösungen (k,0) und (-k,0),
es gibt also nur (d(n)-1)/2 bzw. (d(n/4)-1)/2 
Darstellungen als Differenz zweier Quadrate positiver ganzer Zahlen
und (d(n)+1)/2 bzw. (d(n/4)+1)/2, wenn man die Null auch zuläßt.
\(Da für eine Quadratzahl alle e_p gerade sind,
ist hier natürlich d(n)==d(n/4)==1 mod 2).


Liebe Grüße, Franz