| Autor |
  * Ideale Körper |
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Martin_Infinite
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Dabei seit: 15.12.2002
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Aus: Münster
 |      Themenstart: 2005-05-26 14:25
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Hi alle, die auch mal an Algebra knobeln wollen 
Bekanntlich ist ein kommutativer Ring R mit 1 genau dann ein Körper, wenn er nur die trivialen Ideale {0} und R besitzt. So, den Luxus eines Einselementes wollen wir uns jetzt einmal abgewöhnen
Sei R ein kommutativer Ring. Sind {0} und R die einzigen Ideale von R, so ist R ein Körper oder R ist endlich, |R| sogar eine Primzahl und xy=0 für alle x,y in R.
Viel Spaß damit 
Gruß
Martin
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SirJective
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2005-05-28 01:18
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Hallo.
Nachdem mich der Beweis einen ganzen Tag und drei A4-Seiten Papier gekostet hat, hast du nun eine relativ kurze PM (ich schätze, das passt auf eine halbe A4-Seite).
Als leichte Zusatzaufgabe stelle ich folgende:
Gib einen kommutativen Ring R mit 1 an, der ein echtes Ideal I hat (also ungleich {0} und R), welches mit der von R geerbten Addition und Multiplikation ein Ring mit 1 ist.
Gruss,
SirJective
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Martin_Infinite
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2005-05-28 01:26
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Hi Christian,
eigentlich sagt ja der Rätselsteller, wer die Aufgabe gelöst hat
Zur Rechtfertigung hast du dich sogar zu einem gemacht
Aber du kannst dir deiner Sache ja sicher sein! Dein Beweis gefällt mir - er hat dieselbe Idee wie meiner, ist aber viel kompakter!
Gruß
Martin
[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 28.05.2005 01:27:43 ]
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Martin_Infinite
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2005-05-28 09:53
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SirJective
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| Beitrag No.4, eingetragen 2005-05-28 13:50
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Nein das habe ich nicht unterstellt, sondern als eine mögliche Lösung erhalten. Im ersten Fall meiner Lösung wird dieser Ring automatisch ausgeschlossen, und im zweiten Fall ist er explizit erwähnt.
Es ist aber natürlich egal, ob man den Fall R = 0 als zusätzliche Möglichkeit in der Folgerung hat, oder diesen Fall in der Voraussetzung ausschließt: Das ungefähr so wie der Unterschied zwischen "aus A folgt B oder C" und "aus A und nicht C folgt B".
:)
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Grübelmeister der Drachengilde
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[ Nachricht wurde editiert von SirJective am 28.05.2005 14:10:46 ]
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Martin_Infinite
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2005-05-28 13:51
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Wie Plex schon geschrieben hat, 1 ist keine Primzahl *g*
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Martin_Infinite
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2005-06-05 08:12
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Weil Sir es ja nicht schafft, die Löser seiner Aufgabe bekannt zu geben - in der Reihenfolge:
Irrlicht, ich, Zaos
Sir und Zaos haben sogar ganze Klassen von Ringen mit der geforderten Eigenschaft gefunden.
*hochschieb*
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Martin_Infinite
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2005-06-06 18:24
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Buri hat mir ebenfalls eine knappe Lösung für meine Aufgabe geschickt :-)
Weiter so ;-)
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Martin_Infinite
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2005-06-11 09:42
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Ich schiebe das hier noch einmal hoch. Also wer will noch mal, wer hat noch nicht ;-)
Oder soll ich auflösen?
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Martin_Infinite
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2005-06-19 19:03
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Dann löse ich mal auf
Buris Lösung für meine Aufgabe ist wohl am kürzesten:
Für jedes Element a ist Ra ein Ideal von R, die Menge N aller a mit
Ra = {0} ebenfalls.
Fall 1: N = R. Dann ist R ein Ring mit der Null-Multiplikation,
also nichts anderes als eine abelsche Gruppe, die außerdem nur triviale Untergruppen hat. Ihre Ordnung ist dann eine Primzahl.
Fall 2: N = {0}. Für jedes a ungleich 0 ist dann Ra = R, die Menge der Elemente ungleich 0 ist nach Voraussetzung nichtleer und ist eine multiplikative Gruppe. Dann ist R ein Körper.
Bei SirJectives Aufgabe habe ich mir Z6 mit dem von [3] erzeugten Ideal genommen. Dieses ist einfach {[0],[3]} und ist mit den Verknüpfungen von Z6 ein Ring, wobei [3] wegen
[3]2 = [32] = [9] = [3]
ein Einselement ist.
SirJective hat gleich eine ganze Klasse von Beispielen gefunden: Man nehme eine Familie von unitären Ringen und bilde das direkte Produkt. Jedes echte Teilprodukt [d.h. man wählt eine echte Teilmenge der Indexmenge aus und lässt in allen anderen Komponenten 0 stehen] ist dann ein echtes Ideal des Produktes. Fasst man alle Einsen der ausgewählten Ringe zusammen, erhält man ein Einselement.
[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 19.06.2005 19:04:10 ]
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Buri
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 | Beitrag No.10, eingetragen 2005-09-30 08:21
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Hi,
mein Beweis zum Fall 2 ist noch ergänzungsbedürftig, ich möchte die Lücke schließen.
Es gibt ein Element a ungleich 0.
Wegen Ra = R ist a Element von Ra. Also gibt es ein Element 1 aus R mit 1a = a. Für jedes b aus R ist dann a * (1b - b) = ab - ab = 0, also 1b = b, denn im Fall 2 ist N = {0}.
Wenn b ≠ 0, dann ist 1 Element von Rb, das bedeutet cb = 1,
c ist dann inverses Element zu b, und die Gruppeneigenschaft von R \ {0} ist bewiesen.
Gruß Buri
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Cette question nous entraînerait trop loin. (Diese Frage würde uns zu weit führen)
Henri Poincaré (1854-1912)
[ Nachricht wurde editiert von Buri am 30.09.2005 09:09:08 ]
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