die Gleichungen sind so gegeben:
x = x_0 cos(\omega t), y = y_0 cos(\omega t + \phi)
Im allgemeinen Fall ist die Ellipse im Rechteck mit 2x_0 , 2y_0 einbeschrieben.
Der Winkel ihrer Achsenschräge ergibt sich am einfachsten aus den Extremwerten des Abstandsquadrates r^2 = x^2 + y^2 , nämlich
dr^2/dt = 2x(x^*) + 2y(y^*) = 2 \omega ((x_0)^2 sin(2 \omega t) + (y_0)^2 sin(2 \omega t + 2 \phi)) = 0, also
tan(2 \omega t) = tan (2 \phi) - ((x_0)^2)/(y_0)^2 sin(2 \phi)

Damit habe ich allerdings einige Verständnisprobleme

1.) ist mir nicht klar wieso der Extremwert hier helfen soll und warum gerade von r^2
2.) dr^2/dt = 2x(x^*) + 2y(y^*) ist mir völlig klar aber ich komme nicht auf den Term danach:
mein Rechenweg:
x = x_0 cos(\omega t)
y = y_0 cos(\omega t + \phi)
x^* = -x_0 \omega sin(\omega t)
y^* = -y_0 \omega sin(\omega t + \phi)

Mit dieser Winkelfunktionsbeziehung aus meinem Tafelwerk:
sin (2 \alpha) = 2 sin \alpha cos \alpha , komme ich auf
2x(x^*) = 2 (x_0 cos(\omega t) (-x_0 \omega sin(\omega t))) = -2 \omega (x_0)^2 cos( \omega t) sin( \omega t) = - \omega (x_0)^2 sin(2 \omega t)
2y(y^*) = 2 (y_0 cos(\omega t + \phi) (-y_0 \omega sin(\omega t + \phi))) = -2 \omega (y_0)^2 cos( \omega t + \phi) sin( \omega t + \phi) = - \omega (y_0)^2 sin(2 \omega t + 2 \phi)
D.h. es ist ein Minus enthalten was im Buch nicht enthalten ist, aber das könnte man ja noch entfernen wenn ich die Komponentenschwingungen nicht als cosinus Funktionen sondern als Sinus Funktionen aufasse (ohne noch etwas am Argument zu ändern, selbst wenn das falsch wäre) aber woher kommt die zusätzliche 2 in der Buch-Herleitung die ich nicht in meiner Herleitung stehen habe?

3. Was wurde mit der Gleichung gemacht um auf die tangenz Form zu kommen?

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Auf die letzte Gleichung kommst du mit:
sin(2 \omega t + 2 \phi) = cos(2 \omega t) sin(2 \phi) + sin(2 \omega t) cos(2 \phi)
und Umordnen.