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krueger
Junior 
Dabei seit: 18.12.2002
Mitteilungen: 13
Aus: Deutschland
 |      Themenstart: 2003-01-21 15:04
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Hallo,
ich befasse mich gerade mit dem Thema aus der Statik, virtuelle Arbeit.
In diesem Zusammenhang bin ich "mal wieder" auf die Eulerformel gestossen.
Kann mir jemand die allgemeine Bewegungsgleichung und Geschwindigkeitsformel mit Worten erklären. Und, wie wird diese beim Prinzip der virtuellen Arbeit angewandt.
Wenn ich das richtig verstanden habe benötige ich die Formel, um die neuen Koordinaten des Kraftangriffspunkt zu ermitteln. Ist das so?
Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.
Marcus
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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
|  Beitrag No.1, eingetragen 2003-01-21 17:51
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Hi!
"Eulerformel" ist ein ein mehrdeutiger Begriff. Geht's vielleicht um Knickung?
mfG, KRad
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krueger
Junior
Dabei seit: 18.12.2002
Mitteilungen: 13
Aus: Deutschland
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2003-01-21 18:01
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Hi,
Um Knickung geht´t nicht. Geht um ein statisches System, in dem man ohne Freischnitt an den Lagern eingeprägte Kräfte mit Hilfe der Gleichung der "virtuellen" Arbeit errechnen kann.
Ich hoffe meine Frage ist jetzt etwas klarer.
Marcus
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Spock
Senior 
Dabei seit: 25.04.2002
Mitteilungen: 7003
Aus: Schi'Kahr/Vulkan
 | Beitrag No.3, eingetragen 2003-01-23 09:12
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Hallo Marcus,
ich hab noch Probleme Deine Frage richtig einzuordnen. Die "Eulersche Geschwindigkeitsformel" und die Euler Lagrange Bewegungsgleichungen beschreiben die Dynamik des starren Körpers und nicht die Statik.
Zur "virtueller" Arbeit und Statik, vielleicht hilft Dir das:
www.mechanik.uni-duisburg.de/braun/tm2/tm2-14.ps
Gruss
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krueger
Junior
Dabei seit: 18.12.2002
Mitteilungen: 13
Aus: Deutschland
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2003-01-24 09:48
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Hallo nochmal,
erstmal schönen Dank für den Link, aber leider kann ich das Dokument nicht öffnen.
Nun nochmal mein Problem:
z.B. ist ein Balken mittig auf einem Lager gelagert und an der rechten Seite des Balkens greift die Kraft F an. Wenn ich eine virtuelle Drehung im Uhrzeigersinn durchführe, dann verschiebt sich der Kraftangriffspunkt der Kraft F um u ("Verrückungsgeschwindigkeit").
Um u auszurechnen um es in die Formel der virtuellen Arbeit einzusetzen muss ich u irgentwie nach Euler ermitteln.
Für Antworten bin ich dankbar.
Marcus
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Spock
Senior
Dabei seit: 25.04.2002
Mitteilungen: 7003
Aus: Schi'Kahr/Vulkan
| Beitrag No.5, eingetragen 2003-01-24 22:45
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Hallo Marcus,
ich denke mal, ich hab jetzt so eine ungefähre Vorstellung, was Du meinst.
Es gibt bei der Anwendung der Methode der virtuellen Verschiebung in der Statik, um z.B. aufgeprägte Kräfte berechnen zu können, tatsächlich so etwas wie eine Analogie zur Eulerschen Geschwindigkeitsformel der Dynamik
Meine Notation: Vektoren sind fett, "×" ist das vektorielle Produkt, und "·" das skalare Produkt zwischen Vektoren.
Zunächst zur Eulerschen Geschwindigkeitsformel, die nicht sofort etwas mit Deinem statischen Problem zu tun hat:
Betrachte einen frei beweglichen starren Körper und ein raumfestes Koordinatensystem zu seiner Beschreibung. Sei rA der Ortsvektor zu einem beliebigen Punkt A des starren Körpers und sei rj der Ortsvektor zu einem anderen Punkt Pj des Körpers.
Die allgemeine Bewegung des starren Körpers setzt sich nach Euler zusammen aus einer reinen Translation des Massenpunktes A mit Translationsgeschwindigkeit
(1): vA = drA/dt
und einer zusätzlichen Drehung, die der Punkt Pj um A beschreibt mit der Bahngeschwindigkeit
(2): u = w×(rj - rA),
wobei der Vektor w die Richtung der momentanen Drehachse hat, und sein Betrag w ist die Winkelgeschwindigkeit der Drehung
(3): w := dj/dt
Die gesamte Geschwindigkeit vj des Punktes Pj ist dann die vektorielle Addition der Geschwindigkeiten (1) und (2),
(4): vj := drj/dt = vA + w×(rj - rA)
Das ist die Eulersche Geschwindigkeitsformel.
Betrachtet man jetzt Gleichgewichtsbedingungen des starren Körpers, und in diesem Zusammenhang das Prinzip der virtuellen Verrückungen, kann man sich an die Herleitung von (4) "anlehnen". Dazu mögen an beliebig vielen Punkten Pj des Körpers Kräfte Fj angreifen, jede dieser Kräfte bewirkt am entsprechenden Punkt eine virtuelle Verrückung, und analog zu (4) gilt dann
(5): drj = drA + dj×(rj - rA)
Die virtuelle Arbeit des Kräftesystems ist dann
(6): dW := åFj·drj = drA·åFj + dj·å(rj - rA)×Fj
Jetzt kann man das Prinzip der virtuellen Arbeit anwenden, welches besagt, daß im Gleichgewichtszustand bei beliebigen virtuellen Verschiebungen die virtuelle Arbeit identisch Null ist.
Frage an Dich: was folgt dann aus Gleichung (6) und wie verwendest Du das bei Deinem Balken?
Gruß
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krueger
Junior
Dabei seit: 18.12.2002
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2003-01-26 12:57
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Hallo Juergen,
erstmal schönen Dank für Deine ausführliche Antwort.
Ich steige teilweise durch, aber die Parallelen zu meiner bisherigen Lösung der Aufgaben kann ich noch nicht kann ziehen.
Ich bin derzeit noch so vorgegangen:
Zuerst habe ich ein Ersatzsystem gebildet, das zum Original leicht verrückt ist.
Nun muss ich diese kleinen Verrückungen berechnen, um diese dann in die Formel der virtuellen Arbeit einzusetzen. Und genau hier hatte ich ja das Problem.
Wir haben sie auf 2 Weisen ausgerechnet.
a. Wir berechnen die Verrückung an der eingeprägten Kraft F, indem wir die Kraft multiplizieren mit dem durch die Verrückung entstandenen Winkel phi. Das Ergebnis konnte ich dann direckt in die Formel einsetzen(Summe der eingeprägten Kräfte multipliziert mit der Verrückung + eingeprägte Momente multipliziert mit der Verrückung.
Hier haben wir angeblich die Eulerformel verwendet. Wobei ich jetzt verwundert bin, das die Formel nur aus "Kraft mal Winkel" besteht.
b. Die andere Möglichkeit ist, den Ortsvektor der eingeprägten Kräfte zu ermitteln, diesen nach dem Winkel phi abzuleiten und als Ergebnis die Verrückung herauszubekommen, die dann auch direkt in die Formel eingetragen werden kann. Diese Methode hat meiner Ansicht nach nichts mit Euler zu tun, oder?
Mir ist bisher auch unklar, wann wir welche Methode verwenden. b. hatten wir z.B. bei einem komplexen Stabwerk verwendet, aber wieso weiss ich nicht.
Deine Formeln hatte ich so auch schon mal gesehen, aber ich habe z.B noch nie das Kreuzprodukt angewendet, daher sehe ich den Zusammenhang nicht.
Vielleicht hast Du jetzt eine Idee, wo hier der Zusammenhang besteht.
Über eine Antwort würde ich mich freuen, sitze schon eine ganze Weile an dem Problem.
Marcus
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