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  Reihen / differenzieren |
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ALmiGhTy
Aktiv 
Dabei seit: 30.09.2002
Mitteilungen: 36
Aus:
 |      Themenstart: 2003-02-05 21:20
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Ich beschäftige mich seit kurzem mit Reihen und bin in diesem zusammenhang auf dies hier gestoßen (es geht darum eine gegebene Funktion in eine Potenzreihe zu entwickeln) :
Entwicklungspunkt x0 = 0;
sin x = a0 + a1*x + a2*x² + a3*x³ + ...an*x^n + ...
x=0: 0 = a0
"Nun differenzieren wir die Funktion und ihre Reihe und vergleichen wieder am Entwicklungspunkt; dies liefert einen Wert für a1. Dieser Vorgang wird wiederholt, bis man wunschgemäß viele Koeffizienten bestimmt hat:"
cos x = a1 + 2*a2*x + 3*a3*x² + ...
x = 0: 1 = a1
-sin x = 2*a2 + 6*a3*x + ...
x = 0: 0 = 2*a2
-cos x = 6*a3 + ...
x = 0: -1 = 6*a3
...wie kommt man 1. auf die Reihen und 2. damit auf die Potenzreihe sin x = x - x³/3! + x^5/5! - ... + (-1)^n*x^(2*n+1)/(2*n+1)!
?
...wir sind in der Schule noch nicht so weit. Bin für jede Hilfe dankbar.
In dem zusammenhang könnte mir gleich mal jemand erklärn, was genau eine Ableitung ist
Greetz & thx ALmiGhTy
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N-man
Senior 
Dabei seit: 15.10.2002
Mitteilungen: 2566
Aus: Zürich
 | Beitrag No.1, eingetragen 2003-02-06 00:42
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Hallo.
In dem zusammenhang könnte mir gleich mal jemand erklärn, was genau eine Ableitung ist
Wie meinst du das? Kannst du schon ableiten? Willst du nur eine geometrische Deutung oder Anwendungen oder...
Oder hast du noch nie etwas mit Ableitungen zu tun gehabt?
Dann muss ich dir sagen, dass es vielleicht nicht so sinnvoll wäre die Reihe herzuleiten. Ich würde dir raten, besorg die ein gutes Buch zur Differentialrechnung, dass den Stoff verständlich(!) und anschaulich erklärt.
Um die Reihe herzuleiten gehört eigentlich gar nicht so viel Analysis dazu, aber es gehört halt etwas dazu.
Gruß
Manuel
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Das ist eine Grußzeile.
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N-man
Senior 
Dabei seit: 15.10.2002
Mitteilungen: 2566
Aus: Zürich
| Beitrag No.2, eingetragen 2003-02-06 01:27
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Hallo... ich nochmal 
Alles was man für die obige Aufgabe wissen muss, ist:
Wenn man sin(x) ableitet, erhält man den cos(x). Man schreibt das so:
[sin(x)]' = cos(x)
Die Ableitung des cos(x)...
[cos(x)]' = -sin(x)
Die Ableitung von xn, wobei n eine beliebige reelle Zahl ist..
[xn]' = n*xn-1
Hat man eine Summe und möchte man diese ableiten, muss man jeden Summanden einzeln ableiten, z.B. ist
[x³+cos(x)]' = 3*x²-sin(x)
Steht ein Faktor vor einem von x-abhängigen Ausdruck, zieht man den einfach mit, z.B.
[3*sin(x)]' = 3*cos(x)
[3*x²]' = 3*2*x = 6x
[2*x²+3*x]' = 4*x+3
Die Ableitung einer einzelnen Zahl ist null...
[4]' = 0
Also man möchte sin(x) in eine Potenzreihe entwickeln...
Und man sucht deshalb die unbekannten Koeffizenten ai.
sin(x) = a0 + a1*x + a2*x² + a3*x³ + ...
Da kann man sich eines Tricks bemühen, man setzt für x einfach mal null und glücklicherweise fällt dann fast alles weg
sin(0) = a0 + a1*0 + a2*0² + a3*0³ ===> 0=a0
der erste Koeffizent ist bekannt... Hurra.
Jetzt leitet man einmal ab, da man weiß, dass a0 dann einfach wegfällt. Das darf man in diesem Fall machen auch wenn eine unendliche Summe vorliegt. Die Ableitung des sinus ist der cosinus und dann gilt noch, dass die Ableitung von xn gleich n*xn-1 ist. Man erhält also eine neue Reihe.
cos(x) = a1 + 2*a2*x + 3*a3*x² + 4*a4*x³ + ...
Man setzt wieder 0 ein...
1 = a1
Jetzt leitet man wieder ab, wobei man beachtet, dass die Ableitung des cosinus der minus sinus ist und man erhält...
-sin(x) = 2*a2 + 6*a3*x +12*a4*x² + 20*a5*x³ + ...
Wieder 0 einsetzen...
0 = 2*a2 = (2!)*a2
Wieder ableiten...
-cos(x) = 6*a3 + 24*a4*x + 60*a5*x² + 120*a6*x³ + ...
Null einsetzen ...
-1 = 6*a3 = (3!)*a3 ===> a3 = -1/(3!)
usw...
Jeder zweiter Koeffizient ist 0, da nach jeweils zweimal ableten der sinus auftaucht. Und dannn gibts halt regelmäßig ein Minus, weshalb die Reihe alterniert.
Gruß
Manuel
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ALmiGhTy
Aktiv 
Dabei seit: 30.09.2002
Mitteilungen: 36
Aus:
|  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2003-02-06 16:22
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vielen dank für die ausführliche Erklärung N-man...
Jetz versteh ich es...
Naja, wird aber wahrscheinlich ned die letzte Frage gewesen sein, die ich zu diesem Thema gestellt habe.
Axo, hab mir jetz n Buch zur Differentialrechnung ausgeliehen.
Thx & Greetz ALmiGhTy
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Martin_Infinite
Senior
Dabei seit: 15.12.2002
Mitteilungen: 33136
Aus: Münster
 |  Beitrag No.4, eingetragen 2003-02-06 20:05
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Für solche Reihen kannst du diesen Link benutzen:
http://www.mathe.braunling.de/Taylor.htm
[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 2003-02-06 20:07 ]
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