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Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Gruppen » Gruppe der Ordnung 8, und nun?
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Autor
Universität/Hochschule J Gruppe der Ordnung 8, und nun?
Gammel
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 28.10.2003
Mitteilungen: 142
Aus: Paderborn
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2006-02-15


Hallo an alle Matheplanet-User!!

Ich hab mir heute mal so meine Gedanken zu dem Thema gemacht: "Wie sieht theoretisch eine Gruppe der Ordnung 8 aus? Wie sehen die Elemente aus?"

Und ich hab da einige Probleme, vielleicht könnt ihr mir ja helfen!

Zunächst einmal PFZ von 8 = 8/2 = 4 = 4/2 = 2 = 2/2 = 1

Also 2^3. Also weiss ich, dass ich ne 2-Sylowuntergruppe der Ordnung 8 habe (folgt aus Sylowsätzen).

Dann schau ich mir mal die Anzahl der 2-Sylowuntergruppen an.

Ich weiss, dass es {1,2,4,8} geben kann, prüfe nun noch

p/ Anzahl - 1

=> nach ausprobieren, dass ich nur eine 2-Sylowuntergruppe der Ordnung 8 habe.

Nun will ich mal auf die Elemente genauer eingehen.

Ich hab erst mal ein Element der Ordung 1, nämlich das Neutrale.

Nach Cauchy-Lemma weiss ich auch, dass es ein Element der Ordnung 2 gibt, nenne es mal a.

Dann kann ich aus {e,a} auch ne Gruppe der Ordnung 2 machen.

So, nun weiss ich nach dem 1.Sylowsatz auch, dass ich ne UG (Untergruppe) der Ordnung 4 haben muss.

Und ich glaube hier scheitert es nun schon ein wenig bei mir. Kann ich hier noch genauere Aussagen über diese UG der Ordnung 4 treffen?

Ich würd einfach mal behaupten, dass ich auch nur eine UG der Ordnung 4 haben kann; und zwar in der Form:

{e,a,b,c}, wobei c das Inverse von b ist. b und c haben doch dann die Ordnung 4, oder?

Weiss nun auch, dass ich keine UGs der Ordnung 5,6,7 haben kann, nach Lagrange. Und hier muss ich doch nun genauer unterscheiden, oder?

Ich KANN nun beispielsweise 4 Elemente der Ordnung 8 haben, muss aber nicht!! Denn wenn ich z.B. die Gruppe Delta 4 habe, weiss ich, dass diese nicht abelsch ist. Würde ich aber generel sagen, ich hätte immer Elemente der Ordnung 8, wäre meine Gruppe immer zyklisch => immer abelsch => Widerspruch zu Delta 4, welche Gruppe der Ordnung 8 ist aber NICHT abelsch ist.

Is das soweit eigentlich alles korrekt? Gibt es noch genauere Methoden hier zu differenzieren zwischen den Ordnungen der Elemente? Wäre für Tips und Anregungen dankbar,

Ciao, Gammel



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Martin_Infinite
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 15.12.2002
Mitteilungen: 39133
Aus: Münster
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2006-02-15


Hi,

Betrachtungen mit Sylowgruppen sind bei p-Gruppen nutzlos. Es gibt doch nur eine p-Sylowgruppe, nämlich die Gruppe selbst. Hier mit p = 2. Deine Begründung, dass es eine Untergruppe der Ordnung 4 gibt, ist unzureichend. Eine Klassifikation der Gruppen der Ordnung 8 findest du hier.
 
 Gruß
Martin
[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 15.02.2006 19:35:57 ]



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