Es seien n \el\ \IN-{1} und p_1, p_2,...,p_n paarweise verschiedene Primzahlen und L=\IQ(sqrt(p_1),sqrt(p_2),...,sqrt(p_n))<=\IR.
Zu zeigen ist:

(i) (\IQ,L) ist galoissch
(ii) Gal(\IQ,L) ist eine elementar abelsche Gruppe(d.h. eine Gruppe, in der jedes von 1 verschiedene Element die Ordnung 2 hat) der Ordnung 2^n.
(iii) L=\IQ(sqrt(p_1)+sqrt(p_2)+...+sqrt(p_n))

für (i) muss ich ja zeigen, dass die Erweiterung endlich, normal und separabel ist. Das Minimalpolynom einer solchen Primzahlwurzel ist ja gerade t^2. Mein Problem ist nun zu zeigen, dass wenn ich eine der Zahlen adjungiere, dass die anderen dann nicht in dem entstandenen Körper sein können. Irgendwie ist mir  das ja auch klar, aber im Moment weiß ich nicht so recht, wie ich das vernünftig zeigen soll. Wenn das so ist ist dan ''normal'' ja klar. Bei der Separabilität komme ich dann allerdings auch nicht weiter.

bei (ii) weiß ich nicht wie ich das elementar abelsch zeigen soll (das |G|=2^n folgt ja mit (i))

bei (iii)  ist die Richtung \IQ(sqrt(p_1)+ ... +sqrt(p_n)) \subsetequal\ \IQ(sqrt(p_1), ... ,sqrt(p_n)) klar, für die andere Richtung müsste ich doch zeigen, dass jedes der sqrt(p_i) als Linearkombination des einen Elementes darstellbar ist. Das kriege ich allerdings nícht hin.

(\IZ_2)^n

Sei der Kürze halber s:=sqrt(p_1)+...+sqrt(p_n).

Wir betrachten das Polynom
p:=produkt((X-\phi(s)),s\el\Gal(L\|\IQ))\el L[X]

Wenn man Gal(L\|\IQ) auf L[x] operieren lässt, stellt man fest, dass dieses Polynom ein Fixpunkt der OP ist, denn:
\forall\psi\el\ Gal(L\|\IQ):
\psi(p)=produkt(\psi(X-\phi(s)),\phi\el\ Gal(L\|\IQ))
=produkt((X-(\psi\circ\phi)(s)),\phi\el\ Gal(L\|\IQ))
=produkt((X-\phi(s)),\phi\el\Gal(L\|\IQ))=p

Insbesondere liegen alle Koeffizienten von p im Fixkörper von Gal(L\|\IQ). Da L\|\IQ nun aber Galois'sch ist, ist dieser Fixkörper genau \IQ. Es ist also p\el\IQ||[X].

Der Witz ist: p ist irreduzibel, denn gäbe es nichttriviale Faktoren, so würde die OP der Galoisgruppe die Nullstellen dieser Faktoren nur untereinander permutieren. Die Nullstellen würden also in mindestens zwei Bahnen zerfallen.
Wir haben p aber so gewählt, dass die Galoisgruppe gerade transitiv auf den Nullstellen operiert. Es kann nur eine Bahn geben. p ist irreduzibel.


p hat außerdem den Grad abs(Gal(L\|\IQ))=2^n. Daher ist s ein primitives Element von L.

ich hatte mal gemeint die sachen hier zu verstehen, aber entweder bin ich blind oder es sind hier tatsächlich fehler gemacht worden:
 
i\) ist ok.
ii\) warum sollte denn jede wahl von vorzeichen einen automorphismus liefern? setzt man da die behauptung, dass der grad 2^n ist, nicht schon irgendwie voraus?
iii\) die gestalt von s wird nirgendwo verwendet, dieselbe argumentation ergäbe: 
ist L\/K galoisch mit galoisgruppe G und a \in L, so ist prod((X-\phi(a)),\phi \in G) das minimalpolynom vom a und hat grad abs(L : K). und das ist so allgemein natürlich falsch. das stimmt genau dann, wenn L = K(a).
 
man müsste die bahn Ga = menge(\phi(a) : \phi \in G) betrachten, dann ist das minimalpolynom prod(X-b,b \in Ga). das stimmt mit dem obigen nicht überein, weil dort die elemente der bahn mehrfach gezählt werden - entsprechend muss das polynom nicht mal koeffizienten in K haben.
  
also frage ich mich nun: wie beweist man ii und iii richtig?  wenn man die gestalt der galoisgruppe aus ii kennt, ist iii natürlich klar: die bahn von s muss man ganz G sein.

wie wär's damit: G ändert nur die vorzeichen der wurzeln, und lässt sich damit offenbar in (\IZ\/2)^n einbetten. wenn man

benutzt, ist klar dass G die ordnung 2^n hat, also zu (\IZ\/2)^n isomorph ist und jeder vorzeichenwechsel vorkommt ...

n>=1, und a_1\,...\,a_n sind rationale Zahlen > 0, und a_i*a_j ist kein Quadrat einer rationalen Zahl, für alle 1<=i<j<=n.
Dann ist sum((+-sqrt(a_i)),i=1,n)!=0 für alle möglichen Vorzeichenkombinationen,

\
Verallgemeinernd gilt:
Seien a_1, a_2, ..., a_n positive rationale Zahlen und m_1, m_2, ..., m_n natürliche Zahlen so, dass mindestens eine der Zahlen a_i^(1/m_i) irrational ist.

Dann ist a_1^(1/m_1) + a_2^(1/m_2) + ... + a_i^(1/m_n) irrational.

Verschärfend gilt \IQ[a_1^(1/m_1) + a_2^(1/m_2) + ... + a_n^(1/m_n)] = \IQ[a_1^(1/m_1), a_2^(1/m_2), ..., a_n^(1/m_n)].

Die Automorphismen kann man wie folgt als solche erkennen:
Wir betrachten \IQ||[](sqrt(p_1), ..., sqrt(p_n)) als \IQ||[](x_1, ..., x_n)\/(x_1^2-p_1, ..., x_n^2-p_n).

Dann definiert jedes \s\el{-1,+1}^n durch \s(x_i):=\s_i*x_i einen Ring\-Automorphismus von \IQ||[](x_1, ..., x_n), der das Ideal (x_1^2-p_1, ..., x_n^2-p_n) auf sich selbst abbildet. Also induziert \s auch einen Ring\-Automorphismus von \IQ||[](sqrt(p_1), ..., sqrt(p_n)), der natürlich eindeutig zu einem Körper\-Auto von \IQ(sqrt(p_1), ..., sqrt(p_n)) fortgesetzt werden kann.