Die Mathe-Redaktion - 20.05.2013 06:50
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    Autor
    Kein bestimmter Bereich Eine Halbgruppe?
    kiwi
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    Aus: Austria
    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2002-04-29 20:21


    Hi!

    Frage: Man zeige, dass ñZ, oÙ mit der Operation

      aob=a+b-ab, für alle a,b ÎZ

    eine Halbgruppe ist. Gibt es ein neutrales Element? Wenn ja, welche Elemente haben Inverse?

    cu

    o ist eine Verknüpfung
    Z sind die ganzen Zahlen

      Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
    matroid
    Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
    Dabei seit: 12.03.2001
    Mitteilungen: 12353
    Aus: Solingen
    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2002-04-29 21:28


    Hi kiwi,

    wenn es eine Halbgruppe ist, dann ist die Verknüpfung abgeschlossen (zu zeigen!) und assoziativ (z.z.) und
    falls ein neutrales Element e existiert, dann gilt eoa=aoe=a für alle a ΠZ.

    Abgeschlossen bedeutet, daß für alle a,bΠZ auch aob in Z ist. Das ist aufgrund der Verknüpfung, die nur addiert und multipliziert gegeben.

    Zum Nachweis der Assoziativität setze an
       (aob)oc
    und forme gemäß der Vorschrift um, nämlich
       (aob)oc = (aob)+c - (aob)c
                  = (a+b-ab)+c - (a+b-ab)c
    Multipliziere das aus,  sortiere um und klammere aus, bis Du bei ao(boc) herauskommst.

    Und wenn es ein neutrales Element gibt, dann ist
        a = eoa = e+a-ea
    Daraus folgt, daß e*(1-a) = 0
    Diese Gleichung ist mit e=0 zu erfüllen. Und da vermutlich auch aoe = a gilt, ist 0 das neutrale Element dieser Halbgruppe.

    Und welche Elemente haben Inverse?
     Wenn b das Inverse zu a ist, dann gilt
     boa = e
    bzw.
     boa = 0
    <=> b+a-ba = 0
    <=> b(a-1) = a
    und für a!=1: b = a / (a-1)
    Ein Inverses haben alle die Elemente der Halbgruppe, für die a / (a-1) eine ganze Zahl ist. (Es gibt 2 Lösungen, a=2 und a = 0)
    Das inverse zu 2 ist 2 (Probe: 2o2 = 2+2-2*2 =0 stimmt) und das Inverse zu 0 ist die 0, denn 0 ist das neutrale Elementund dafür gilt ja eoe=e.
    Nun noch mal über a=1 nachdenken, ob wir da etwas ausgelassen haben? Teilen durft man nicht, betrachten wir also: b+1-b = 0. Nein, das hat keine Lösung.

    Gruß
    Matroid



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