f'(x_0)=lim(x->x_0,(f(x)-f(x_0))/(x-x_0))
Du erhältst also für deine Funktion
(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=(sqrt(x)-sqrt(x_0))/(x-x_0)
Nun kennst du die dritte binomische Formel
a^2-b^2=(a+b)(a-b)
und weißt x=(sqrt(x))^2
Dadurch läßt sich der Nenner umformen
x-x_0=(sqrt(x))^2-(sqrt(x_0))^2=...
Ab hier solltest du selbständig weiterarbeiten könen.
Denke daran, daß du durch die Anwendung der 3. binomischen Formel den Zähler kürzen kannst.

f'(x_0)=lim(x->x_0,(f(x)-f(x_0))/(x-x_0))
Also bei dir
f'(x_0)=lim(x->x_0,(sqrt(x)-sqrt(x_0))/(x-x_0))

Nun erweiter ich den Bruch mit$(sqrt(x)+sqrt(x_0))$man beachtre dabei die dritte binomische Formel.
\align
f'(x_0)=lim(x->x_0,((sqrt(x)-sqrt(x_0))*(sqrt(x)+sqrt(x_0)))/((x-x_0)*(sqrt(x)+sqrt(x_0))))
=lim(x->x_0,(x-x_0)/((x-x_0)*(sqrt(x)+sqrt(x_0))))
=lim(x->x_0,1/(sqrt(x)+sqrt(x_0)))
=1/(sqrt(x_0)+sqrt(x_0))
=1/(2*sqrt(x_0)