Hallo

Ich habe heute versucht mir das Flächenmoment 2.er Ordnung für das Dreieck herzuleiten.

Dazu habe ich das Koordinatensystem in den Schwerpunkt des Dreiecks gelegt und habe gesagt:

Iyy=int(z^2,A,A)

dA = dx*dy*(1/2)

und habe dann meine Grenzen in das Integral eingesetzt:


Iyy=int(,,-a/2,a/2) int(z^2,z,-h/3,(2*h)/3) dy*(1/2)


ich komme dann auf Iyy=(h^3*a)/18, herauskommen soll aber (h^3*a)/36

kann muir jemand helfen? ich weis nicht was ich falsch mache und finde im internet keine passende herleitung für das dreieck. beim rechteck gehe ich ja nicht anders vor. ich lege mein koordinatensystem in den schwerpunkt, sage dA=dy*dz, und meine grenzen -b/2 bis +b/2 und -h/2 bis + h/2. integriere, setze die grenzen ein und bin fertig.

lg philipp

 

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dA = dx*dy*(1/2) und nicht dA = dx*dy ?

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Iyy=int(z^2,A,A)

dA = dx*dy

Iyy=int(,,-a/2,a/2) int((1/2 *z)^2,z,-h/3,(2*h)/3) dy

Hallo elmio,

es mag vielleicht das korrekte Ergebnis rauskommen, aber die Argumentation mit der du aus dem z^2 ein (1/2 z)^2 machst, kann ich nicht nachvollziehen.

@Phillipp

wenn du den Satz von Steiner kennst und ihn auch benutzen darfst, würde ich bei einem gleichschenkligen Dreieck das Koordinatensystem wie eingezeichnet festlegen.

Jetzt kann man das Moment für das blaue Teildreieck berechnen. Dort ist die gesuchte Geradengleichung die Gleichung der Hypothenuse und nimmt die einfachste Form an, sodaß die Integration am unkompliziertesten ist. Anschließend kann man mit dem Satz von Steiner dieses Moment auf den \(roten\) Gesamtschwerpunkt umrechnen. Verbleibt dann nur noch das erhaltene Ergebnis mit 2 zu multiplizieren um das FM für das gesamte Dreieck zu erhalten. \(dies ist wegen der Symmetrie möglich\)

Kannst du jetzt das Integral berechnen?

Bedenke, daß du zuerst über z integrieren mußt, da z von y abhängt. Hier ist es also nicht möglich die Integrationsreihenfolge zu vertauschen.

lg
Georg

Hallo Phillip,

ein Integral ist nichts anderes als eine Summe über alle ''Elemente''
Betrachtet man ein festes y und summiert über alle z, fängt man bei z=0 an und ''wandert'' nach ''oben'' bis man an die obere Grenze \(hier die Hypothenuse des roten Dreiecks\) stößt.
Diese Grenze ist bei einem Dreieck für verschiedene y nicht konstant, sondern variiert. Deswegen z(y) als obere Integrationsgrenze bei der Integration über z.

Die Gleichung einer Geraden z(y) lautet

z(y)=m*y+b

wobei m die Steigung und b der Schnittpunkt mit der z-Achse ist.

Hier ist b=0, weil die Gerade durch den Koordinatenursprung geht.

Für m ergibt sich

m=(\Delta\ z)/(\Delta\ y)=h/(a//2)

Zu deiner abschließenden Frage : Ja, das kann man so sagen.

lg
Georg 

int(z^2 * b(z),z,0,H) 

b(z) müsste in disem Fall a/2H * z sein, oder täusche ich mich da?
(Annahme : b(0) = 0 und b(H) = a/2)

eingesetzt also :

int(z^2 * a/2H * z,z,0,H)  = a/2H int(z^3,z,0,H) 
= a/2H * (H^4/4) = (a*H^3)/8. 

Mit dem Ansatz von George komme ich allerdings auf (H^3*a)/24 - wo ist mein Fehler?

dA=b(z) dz ist nicht korrekt! 

Du hast die infinitesimalen Flächenelemente dA=dy dz in rechteckförmige Flächenelemente \(halbinfinitesimal oder endlich, ich habe keine Ahnung. Das ist was für Mathematiker) zerlegt.

Korrekt wären aber trapezförmige Flächenelemente.

Das wäre nur bei einem Rechteck mit\stress konstanter\normal Breite b zulässig