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Strukturen und Algebra » Gruppen » Untergruppen von Z2xZ2 und Z4
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Universität/Hochschule Untergruppen von Z2xZ2 und Z4
mitsurugi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2007-04-24


Hallo Zusammen,

stehe mal wieder auf dem Schlauch. Ich will alle Untergruppen von Z/2Z x Z/2Z bestimmen.

die Gruppe sieht ja folgendermaßen aus (soweit bin ich schon)

{(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)}

So, nun muss ich Untergruppen finden. Diese Untergruppen dürfen ja die Ordnung eins bzw zwei haben (wegen Untergruppenordnung teilt Gruppenordnung)

Jetzt weiß ich aber nicht mehr weiter.

Bitte um Tipps

Zu den Untergruppen von Z/4Z komme ich dann später

Grüße

Daniel
[ Nachricht wurde editiert von mitsurugi am 24.04.2007 23:10:36 ]



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Martin_Infinite
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2007-04-24


ordnung 4 geht auch ;). naja, die untergruppen der ordnung 2 sind hier genau die zyklischen untergruppen (überlege dir warum).

die untergruppen von Z/(nZ) entsprechen den untergruppen von Z, die nZ enthalten, also den teilern von n.



[Verschoben in Forum 'Gruppen' von Martin_Infinite]



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mitsurugi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2007-04-24


Hallo und danke für die Antwort

2007-04-24 23:21 - Martin_Infinite schreibt:
ordnung 4 geht auch ;).
Nagut :)
2007-04-24 23:21 - Martin_Infinite schreibt:
naja, die untergruppen der ordnung 2 sind hier genau die zyklischen untergruppen (überlege dir warum).

Naja, sie müssen einen Erzeuger haben, und ein inverses (also hier dann wohl selbstinvers). Das macht eine Gruppe mit zwei Elementen doch automatisch zu zyklischen Gruppen, oder ?

Da ich mit dem direkten Produkt ein wenig auf Kriegsfuss bin, könntest du (oder jeder der gern helfen möchte) mir verraten, wie denn (1,0)*(0,1) in der Gruppe aussehen würde?
   
2007-04-24 23:21 - Martin_Infinite schreibt:
die untergruppen von Z/(nZ) entsprechen den untergruppen von Z, die nZ enthalten, also den teilern von n.

Ok, aber es hat immer noch nicht klick gemacht, wie ich dann konkret auf die Untergruppen komme



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Martin_Infinite
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2007-04-25


deine begründung dafür, dass die untergruppen der ordnung 2 zyklisch sind, ist etwas eigenartig (siehst du denn überhaupt, was womit zusammenhängt?). jeweils ist doch klar, dass das einzige von 0 verschiedene element in einer solchen untergruppe schon ein erzeuger ist.
die verknüpfung auf dem direkten produkt ist komponentenweise gegeben (schreibe sie hier lieber additiv).
die beschreibung der untergruppen von zyklischen untergruppen kannst du überall nachlesen (auch mehrfach hier im forum), aber in deinem fall mit Z/4 kann man sie ja nach dem gleichen 'vorgehen' wie bei Z/2 x Z/2 hinschreiben.



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mitsurugi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2007-04-25


Danke, jetzt isz einiges klarer



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mitsurugi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2007-04-25


Nochmal zum Abschluss, mir sind gerade, so denke ich, viele Sachen Klar geworden, danke Martin.

Der Vollständigkeit halber:

Untergruppen von Z4 x Z4

1.{(0,0)}
2.{(0,0),(1,0)}
3.{(0,0),(0,1)}
4.{(0,0),(1,1)}
5.{(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)}

Untergruppen von Z/4Z
1.{0}
2.{0,2}
3.{0,1,2,3}



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Martin_Infinite
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2007-04-25


ja, das stimmt so! bei Z4 x Z4 meintest du natürlich Z2 x Z2.

[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 25.04.2007 11:59:24 ]



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