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   Einführung von reellen Zahlen (über quadratische Gleichungen) |
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DerHesse2
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Dabei seit: 31.05.2007
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 |      Themenstart: 2007-06-23 12:42
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Moin zusammen,
ich bin gerade dabei für einen Klasse den Übergang von rationalen- zu reellen Zahlen vorzubereiten, hat jemand Erfahrungen was für Fehlvorstellungen es bei Schülern gibt über diese Zahlenbereiche? Oder auf welche Probleme man stoßen kann?
Danke im Voraus
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SchuBi
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Aus: NRW
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2007-06-23 12:48
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Hallo, Hesse!
Ich kann mir nicht vorstellen, daß du noch Schüler bist. Bei dieser Fragestellung bleibt nur noch Referendar oder Lehrer. Dann solltest du auch dein Profil aktualisieren.
Als (angehender) Lehrer solltest du auch einen verständlicheren Threadtitel schreiben können (und die Rechtschreibung beherrschen). das war unberechtigt :(
Wie möchtest du denn die reellen Zahlen einführen - z.B. in Klasse 9 über die Berechnung von Quadratwurzeln?
Welches Wissen haben denn deiner Meinung nach Schüler über rationale Zahlen?
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Wenn Null besonders groß ist, ist es beinahe so groß wie ein bißchen Eins.
Tadeln ist leicht, deshalb tun es so viele; mit Verstand loben ist schwer, darum versuchen es so wenige. (Anselm Feuerbach)
[ Nachricht wurde editiert von SchuBi am 23.06.2007 14:13:14 ]
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Ex_Mitglied_8798
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| Beitrag No.2, eingetragen 2007-06-23 12:55
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Meiner Erfahrung als Schüler nach, wurden doch die reellen Zahlen gar nicht eingeführt (als Grenzwerte von Zahlenfolgen...). Mir wure einfach gesagt, daß man in den reellen Zahlen nun auch alle Wurzeln von nichtnegativen Zahlen kann, und das wars dann.
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DerHesse2
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2007-06-23 13:03
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Hi,
möchte nicht unverschämt sein –bitte nicht falsch verstehen- aber Reelle Zahlen schreibt man mit 2 „l“ und was ist „solletst“ oder wolltest du solltest schreiben –gilt auch für ratioanle-
Bin noch Student, und mach gerade ein Praktikum!
Ok ich wollte in einer 8ten Klasse Umgang mit quadratischen Gleichungen und das Wurzelziehen einführen
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
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Buri
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Aus: Dresden
 | Beitrag No.4, eingetragen 2007-06-23 13:15
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2007-06-23 12:42 - DerHesse2 schreibt:
... Erfahrungen was für Fehlvorstellungen es bei Schülern gibt ...
Hi DerHesse2,
ja, solche Fehlvorstellungen gibt es, schau hier.
Es gibt vier Methoden, die reellen Zahlen einzuführen:
- Intervallschachtelungen
- Dedekind-Schnitte
- Cauchyfolgen
- b-adische Brüche mit einer Basis b > 1.
Jede hat ihre Vorzüge und Nachteile.
Gruß Buri
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Cette question nous entraînerait trop loin. (Diese Frage würde uns zu weit führen)
Henri Poincaré (1854-1912)
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
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DerHesse2
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2007-06-23 13:34
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owk
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Dabei seit: 10.01.2007
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| Beitrag No.6, eingetragen 2007-06-23 13:39
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Wie wäre es denn mit:
- reelle Zahlen sind Längen von Strecken sowie die zugehörigen negativen Zahlen
Mit einer geeigneten Axiomatisierung der Geometrie sollte das doch kein Problem sein? Zumindest ist es bei diesem Ansatz wesentlich leichter, die Multiplikation zu definieren, als bei b-adischen Folgen. owk
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SchuBi
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Dabei seit: 13.03.2003
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Aus: NRW
| Beitrag No.7, eingetragen 2007-06-23 13:54
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Hallo, Hesse!
Ich glaube nicht, daß man bei Schülern über einen solchen Weg die reellen Zahlen einführen kann.
Ein Grund bei jeder Erweiterung des Zahlbereichs liegt darin, daß man bestimmte Rechenarten umkehren möchte.
- Addition bei der Erweiterung von IN nach IZ
- Multiplikation bei der Erweiterung von IZ nach IQ
Dazu muß man erkennen, daß man mit seinen bisherigen Zahlen nicht mehr weiterkommt.
Der gebräuchlichste Weg in Schulbücher ist: 1) Einführung von Wurzeln 2) quadratische Gleichungen und Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck.
Schüler können (ausgehend von binomischen Formeln) quadratische Gleichungen lösen. Die meisten Aufgaben in Schulbüchern sind ja so konzipiert, daß die Lösungen Brüche oder ganze Zahlen sind.
Dann sollte an einer Stelle die Frage auftauchen, was geschieht, wenn der Term unter der Wurzel keine Quadratzahl ist.
PS: Ein Problem ist auch, ob du laut Curriculum in der 8. Klasse quadratische Gleichungen bzw. Wurzelziehen behandeln darfst.
@owk Eine geeignete Axiomatisierung der Geometrie findet in der Schule kaum noch statt.
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Wenn Null besonders groß ist, ist es beinahe so groß wie ein bißchen Eins.
Tadeln ist leicht, deshalb tun es so viele; mit Verstand loben ist schwer, darum versuchen es so wenige. (Anselm Feuerbach)
[ Nachricht wurde editiert von SchuBi am 23.06.2007 14:04:53 ]
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owk
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Dabei seit: 10.01.2007
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| Beitrag No.8, eingetragen 2007-06-23 13:58
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@SchuBi: Genausowenig wie eine geeignete Axiomatisierung von irgendetwas anderem, auf dem die anderen Definitionen aufbauen könnten. Man könnte natürlich die reellen Zahlen direkt axiomatisch einführen, wie Heuser das vormacht, aber das hängt ja auch irgendwie in der Luft. owk
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Keiran
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| Beitrag No.9, eingetragen 2007-06-24 17:14
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ehm... man sollte denke ich daran denken, dass es um Schüler geht... Da ist eine Axiomatische Einführung doch wirklich nicht sinnvoll.
Was man machen kann:
Ziel: Umkehrung des Quadrierens.
Dabei hat man dann folgendes Problem: x^2 = 2
Und dann kann man es ja erst mal über "ausprobieren" lösen. So eine Art Intervallschachtelung:
  
1.4^2 < 2 < 1.5^2 1.41^2 < 2 < 1.42^2 1.414^2 < 2 < 1.415 1.4142^2 < 2 < 1.4143
Dabei sollte man dann merken, dass esben KEINE rationale Zahl gibt, die das Problem löst. Ansonsten hätte das verfahren eine periodische Dezimalzahl ergeben müssen! Damit muss also der Zahlenbereich erweitert werden! und zwar um nicht-rationale Zahlen. Das sind offensichtlich Zahlen, die man nicht als Bruchdarstellen kann.
Soweit ich das weiß löst man quadratische Gleichungen nämlich erst, nachdem man die reellen Zahlen eingeführt hat.
Nun ja, vllt hilft das ja. Ich weiß, das es auch noch viele viele andere möglichkeiten gibt, zu zeigen, dass man mit den rationalen Zahlen nicht auskommt. MMn sind die für die 8.Klasse aber nicht geeinet.
LG
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Rene42
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Dabei seit: 22.06.2007
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| Beitrag No.10, eingetragen 2007-06-24 17:36
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Hi
Die reellen Zahlen. Ich hab es auch durch so eine Art Intervallschachtelung gelernt. Genau mit dem Problem
x²=2
Das is gar nicht so schlecht, weil man da selber merkt was an den irrationalen Zahlen anders is.
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cyrix
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Dabei seit: 31.07.2004
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 | Beitrag No.11, eingetragen 2007-06-24 17:56
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@schubi: Der Weg (über Wurzeln usw.) ist aber an sich nicht gerade sinnvoll, da man damit nur eine (echte) Teilmenge der algebraischen Zahlen, und bei weitem noch nicht alle reellen erhält (sind ja immernoch abzählbar, und damit sogar eine Lebesgue-Nullmenge)...
Daraus könnte der falsche Eindruck entstehen, jede reelle Zahl wäre entspr. algebraisch (bzw. Lösung einer quadratischen Gleichung mit Koeffizienten, die "weniger" Wurzeln in ihrer Darstellung "benötigen") sind.
Und algebraisch abgeschlossen ist unser Körper, den wir erhalten wollen (IR) ja auch nicht. Das quadrieren ist eben nicht "umkehrbar" gemacht worden...
Über Intervallschachtelungen läuft die Sache doch sehr anschaulich (wie bei Dedkind-Schnitten auch), man muss nur schauen, dass sich auch alle "Rechengesetze" übertragen. Das ist ja eigentlich das Interessante.
Cyrix
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SchuBi
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Aus: NRW
|  Beitrag No.12, eingetragen 2007-06-24 18:33
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Hallo, cyrix!
Mir ist klar, daß man damit noch nicht alle reellen Zahlen erhält. Allerdings muß man auch den bekannten Zahlenraum der Schüler (und die ihnen bekannten Lösungsverfahren für Gleichungen) berücksichtigen.
(Irrationale) Quadratwurzeln sind ja nur die ersten echten reellen Zahlen, die sie kennenlernen. In dem Zusammenhang tauchen mit der Umkehrung der Potenzfunktionen Wurzeln mit höheren Exponenten auf. In der Stufe 10 taucht mit PI die erste transzendente Zahl auf, eventuell noch die Eulersche Zahl e im Zusammnehang mit e-Funktionen.
Wenn der Begriff der reellen Zahlen in diesem Zusammenhang fällt, kann er ja nur propädeutisch sein, da viele der angesprochenen Fragen deutlich über den Horizont der Schüler hinweggehen.
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Wenn Null besonders groß ist, ist es beinahe so groß wie ein bißchen Eins.
Tadeln ist leicht, deshalb tun es so viele; mit Verstand loben ist schwer, darum versuchen es so wenige. (Anselm Feuerbach)
[ Nachricht wurde editiert von SchuBi am 24.06.2007 18:34:14 ]
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Keiran
Aktiv
Dabei seit: 19.06.2007
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| Beitrag No.13, eingetragen 2007-06-24 19:00
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Sry, aber wir sprechen hier trotzdem über anschaulich für Schüler. Da kann man nicht zwischen algebraischen und transzendenten reellen Zahlen unterscheiden. Lösungen einer Gleichung reichen hier vollkommen aus. Man kann ohne Probleme in Mathe sein Abi machen, auch wenn man die reellen Zahlen nicht mathematisch einwandfrei hergeleitet hat.
Das kann schließlich jeder (wenn er will) im Mathestudium noch machen.
FG
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cyrix
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Dabei seit: 31.07.2004
Mitteilungen: 1745
Aus: Jena, Thüringen
| Beitrag No.14, eingetragen 2007-06-24 19:11
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Sorry, aber das ist ein "für dumm verkaufen" der Schüler, wenn man sie gezielt anlügt, bzw. ihnen schwammige Erklärungen vorsetzt, die sogar falsche Sachen andeuten...
Man kann die ganze Sache, wie gesagt, schön anschaulich über z.B. Intervallschachtelungen erklären. Und dann entspr. zeigen, dass sich alles entspr. erhält (also Addition, Multiplikation jeweils assoziativ und kommutativ sind, usw.) Und auch zeigen, was man gewonnen hat (nämlich die Vollständigkeit).
Und natürlich muss man darauf eingehen, dass man dadurch "viele" Zahlen gewonnen hat. Im Beispiel von sqrt(2) als konkreten Wert und auch allgemein, in dem man z.B. zeigt, dass die rationalen Zahlen abzählbar sind, aber die reellen überabzählbar.
Niemand braucht dabei auf algebraische oder transzendente Zahlen eingehen, aber allein schon die Intuition, wie die Kinder reelle Zahlen verstehen und sich vorstellen, sollte doch eher in die richtige Richtung gelenkt werden. Besser macht man die sache nicht, wenn man sich da aus pädagogischen Gründen versucht durch eine Betrachtung eines Beispiels (was man für den allgemeinen Begriff verkauft) aus der Affaire zu ziehen. Bekanntestes Beispiel dazu ist wohl der ziemlich verquere Vektor-Begriff, den man in der Schule lernt ("Die Menge aller Pfeile im Raum mit gleicher Richtung, gleochem Richtungssinn und gleicher Länge"...).
Ich meine, sie sollen sich die reellen Zahlen ruhig als "unendliche Dezimalbrüche" oder so vorstellen, denn das geht in die richtige Richtung. Falsch hingegen ist aber die Vorstellung, dass reelle Zahlen sowas wie Lösungen von ganz bestimmten Gleichungstypen sind, was aber passieren würde, wenn man die reellen Zahlen so einführt...
Cyrix
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Martin_Infinite
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 | Beitrag No.15, eingetragen 2007-06-24 19:15
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da möchte ich cyrix entschieden zustimmen. und das anfangs angesprochene "für dumm verkaufen" passiert viel zu oft, und die legitimation "abi schaffen" geht ja wohl total am lernziel vorbei. die konsequenzen machen sich dann im studium bemerkbar.
[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 24.06.2007 19:17:04 ]
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owk
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| Beitrag No.16, eingetragen 2007-06-24 19:36
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Ganz abgesehen von der Frage, wieviele Lehrer dazu in der Lage wären, das pädagogisch wie fachlich zu bewältigen, halte ich das nicht für den richtigen Weg. Vielleicht sollte man das Fach umbenennen, damit es keine Missverständnisse gibt. Aber der Sinn des Mathematikunterrichtes liegt darin, Techniken zu lehren, die im natur- und ingenieurwissenschaftlichen Bereich benötigt werden. Für ein Mathematik- oder Physikstudium genügt das natürlich nicht, da muss man nochmal ganz von vorne anfangen. (Und die Märchen von "logischem Denken" stehen nur in den Lehrplänen, weil sich sonst keiner zuständig fühlt und das den Mathelehrern so gut tut.) Die eigentlichen Probleme des Mathematikunterrichtes liegen doch nicht darin, dass kaum einer nach der Schule weiß, was reelle Zahlen sind, sondern vielmehr in der mangelnden Fähigkeit, die gelernten Techniken auf reale Probleme zu übertragen, und seien es auch nur irgendwelche Rätsel, die auf ein simples LGS hinauslaufen. owk
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Ex_Mitglied_8798
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Dabei seit: 00.00.0000
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| Beitrag No.17, eingetragen 2007-06-24 19:47
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2007-06-24 19:00 - Keiran schreibt:
Sry, aber wir sprechen hier trotzdem über anschaulich für Schüler. Da kann man nicht zwischen algebraischen und transzendenten reellen Zahlen unterscheiden. Lösungen einer Gleichung reichen hier vollkommen aus. Man kann ohne Probleme in Mathe sein Abi machen, auch wenn man die reellen Zahlen nicht mathematisch einwandfrei hergeleitet hat.
Das kann schließlich jeder (wenn er will) im Mathestudium noch machen.
FG
Ich selbst habe es als Nachteil empfunden, die reellen Zahlen "nicht" richtig eingeführt bekommen zu haben, obwohl ich es nochmal im Studium gemacht habe, weil ich es so wollte. Es ist einfach unsauber. Mein persönlicher Eindruck ist, daß die "unsaubere" Argumentation von (manchen) Lehrern dazu beiträgt, daß Schüler die Mathematik ein großes, unzugängliches Rätsel wahrnehmen.
Man wird es auch als Schüler mit transzendenten Zahlen zu tun bekommen, z.B. Pi und e. Deshalb wäre ich dafür, daß ganze mit Intervallschachtelungen einzuführen. Was ist daran unverständlich, wenn man sagt, daß es eben auch Zahlen gibt, deren Nachkommastellen "nie aufhören"?
man kann das Ganze ja über die Quadratwurzeln motivieren. Und auch der Beweis der Irrationalität von Wurzel 2 kann man denke ich einem 8.-Klässler zumuten. Geht man aber immer mit der haltung ran, "die Schüler raffen das sowieso nicht", dann trägt man wenig zur Förderung der Schüler bei, denke ich.
[ Nachricht wurde editiert von Jonathan_Scholbach am 24.06.2007 19:47:55 ]
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goeba
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Aus: Göttingen
| Beitrag No.18, eingetragen 2007-06-25 08:26
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Hallo,
ich habe es (ganz grob) so gemacht:
- zuerst die Flächensätze, insbesondere Pythagoras
- dann damit etwas ausrechnen wollen->man benötigt Wurzeln
- jetzt tritt das Problem auf, dass man manche Wurzeln nicht ziehen kann
- Erarbeiten von einem oder zwei Näherungsverfahren für Wurzeln (Intervallhalbierung reicht eigentlich schon, Differenzierung: Programmiere den Algorithmus für die, die das können)
- das Näherungsverfahren führt auf eine Intervallschachtelung
- man beweist: Wurzel 2 ist irrational (über den bekannten Widerspruchsbeweis, man sollte vorher aber schon mal einen anderen Widerspruchsbeweis gemacht haben)
(der Widerspruchsbeweis ist durchaus schwierig, da brauchen viele Hilfe, ist nicht vollständig schülerzentriert durchzuführen)
Jetzt kommt die philosophische Diskussion: Einerseits sind die auftretenden Wurzeln, die man ja als Längen in Dreiecken deuten kann (einfachstes Beispiel: Wurzel 2 = Diagonale im Einheitsquadrat). Andererseits kommt man (wie man bewiesen hat) mit den "normalen" Zahlen nicht hin. Also muss man fordern: Zahlen, die sich beliebig genau durch eine Intervallschachtelung einschachteln lassen, sollen auch "richtige" (also reelle) Zahlen sein.
Da ist dann für jeden was dabei. Wenn man genug zeit hat, kann man noch Zahlen wie 1,1010010001... betrachten, für die man auch eine Intervallschachtelung angeben kann. Diese sind dann keine Wurzeln - damit vermeidet man die Vorstellung, dass irrationale Zahlen = Wurzeln sind.
Das große Problem für den Threadersteller: Früher hat man das in Klasse 9 gemacht, jetzt ist es (eigentlich) Stoff von Klasse 8 (in den Ländern mit 12jährigem Abi). Da ist es höchst fraglich, ob man so viel "Background" noch machen kann oder ob man den Schülern nur behutsam die Wurzeltaste auf dem Taschenrechner zeigt.
Viele Grüße,
Andreas
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Rene42
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Dabei seit: 22.06.2007
Mitteilungen: 24
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| Beitrag No.19, eingetragen 2007-06-25 09:16
|
Hi Leute,
Ich halte diese schwammigen Erklärungen für den korrekten Weg. Es ist zwar sehr ärgerlich wenn man an die Uni kommt und diese "Lügen" entdeckt, aber so ist's besser.
Die die hier posten gehören doch zu den besseren in ihrem Matheunterricht. Natürlich könnte man euch, dass sofort richtig beibringen. Aber zwei Fragen:
1. Hat's euch wirklich geschadet?
2. Hätten mehr als 10% aller Schüler euerer Klasse es verstanden?
mfg René
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Keiran
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Dabei seit: 19.06.2007
Mitteilungen: 40
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| Beitrag No.20, eingetragen 2007-06-25 09:27
|
@ goeba: Ja, das war auch ungefähr der Weg, den ich mir vorgestellt habe. So wurden auch bei mir die reelen Zahlen eingeführt und bisher bin ich im Studium trotzdem klar gekommen.
@Rene42: Danke, das sehe ich auch so.
Ich sage gar nicht, dass alle Schüler dumm sind. Aber es ist nun einmal nicht so, dass man in der Schule genug Zeit hat, alles vollständig und konsistent zu behandeln. Dazu ist einfach nicht genug Zeit. Dann ist natürlich die Frage, auf welche Bereiche man sich konzentrieren sollte. Und da bin ich der Ansicht, es ist besser/wichtiger quadratische Gleichungen im Schlaf zu lösen, als i'gend eine axiomatische Einführung von Zahlensystemen. In der 8.Klasse kann man ja noch nichtmal davon ausgehen, dass die Schüler die Oberstufe machen wollen! Und dann ist eben das "rechnen" wichtig.
Und um "für dumm verkaufen" geht es hier auch nicht! Nicht zu zeigen, wie man die reellen Zahlen aus den Axiomen der natürlichen Zahlen herleiten kann, ist mMn kein belügen.
Ok, Abi schaffen ist (sollte) nicht das erste Ziel (sein), aber die Anforderungen im Abitur sind nicht willkürlich so entstanden. Da hat sich schon jemand was bei gedacht...
Ist aber meine Meinung, ihr dürft gerne eine andere haben.
Ich denke eben daran, dass die Schüler später im Beruf und im Alltag klar kommen. Eine vollständige Mathematik ist dafür keine notwendige Bedingung! Gleichungen lösen schon eher, auch wenn vieler meiner Nachhilfeschüler selbst das nicht eingesehen haben.
LG
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.18 begonnen.]
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Keiran
Aktiv
Dabei seit: 19.06.2007
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Aus:
| Beitrag No.21, eingetragen 2007-06-25 09:30
|
@DerHesse2:
Du kannst ja dann berichten, auf welchem Weg du es gemacht hast und wie es klappte...
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mire2
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Dabei seit: 29.08.2006
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Aus: Köln-Koblenz
| Beitrag No.22, eingetragen 2007-06-25 09:37
|
Hallo,
jetzt möchte ich auch meinen unqualifizierten Senf dazugeben und zwar in Form von Zitaten:
1. Man kann auch mit dreckigem Wasser Geschirr sauber spülen.
(Grüße an die Physiker, von denen ich das geklaut habe.  )
2. Berühmt wurden Konrad Adenauers - vielen hier noch bekannt als ehemaliger OB der Stadt Köln und da war doch noch was: ach ja, Bundeskanzler soll er auch mal in seinem zweiten Leben so nebenbei gewesen sein - kreative Interpretationen von Wahrheit. So sagte er einmal vor der CDU/CSU-Bundestagsfraktion:"Wie mein Freund Pferdmenges unterscheide ich drei Stufen der Wahrheit: die einfache, die reine und die lautere Wahrheit. Jetzt will ich Ihnen mal die reine Wahrheit sagen..."
So ähnlich sagte es auch einmal ein Prof:"An die Lehramtler hier. Sie sollen die Schüler nicht belügen, aber sie müssen ihnen auch nicht gleich die volle Wahrheit sagen."
In diesem Sinne sendet entspannte Grüße zum Wochenanfang 
mire2
[ Nachricht wurde editiert von mire2 am 25.06.2007 11:16:55 ]
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Wauzi
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Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 8437
Aus: Bayern
 | Beitrag No.23, eingetragen 2007-06-25 10:19
|
Hallo,
bitte nicht vergessen, daß hier keine Studenten die wahre Mathematik kennenlernen sollen, sondern daß man Schülern etwas Neues beibringen will.
Deshalb ist der oben angedeutete Weg mit Wurzel 2 wohl der sinnvollste. (und schon schwierig genug).
Ich selber habe das Ganze dann mit Zahlen wie zB 0,1010010001.... erweitert, bin dann zu Pi übergegangen und habe das Ganze mit der Zahlengeraden abgeschlossen. (Mit Ausnahme des Widerspruchbeweises alles nur in Form der Lehrermitteilung)
Gruß Wauzi
-----------------
Nur noch Ferien......
...und der frühe Vogel kann mich mal
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Ex_Mitglied_8798
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Dabei seit: 00.00.0000
Mitteilungen: 2161
Aus:
| Beitrag No.24, eingetragen 2007-06-25 11:47
|
2007-06-25 09:16 - Rene42 schreibt:
Ich halte diese schwammigen Erklärungen für den korrekten Weg. Es ist zwar sehr ärgerlich wenn man an die Uni kommt und diese "Lügen" entdeckt, aber so ist's besser.
Die die hier posten gehören doch zu den besseren in ihrem Matheunterricht. Natürlich könnte man euch, dass sofort richtig beibringen. Aber zwei Fragen:
1. Hat's euch wirklich geschadet?
2. Hätten mehr als 10% aller Schüler euerer Klasse es verstanden?
zu 1.: Wer weiß... (-: Vielleicht in dem Sinne, daß es mir nichts genützt hat
zu 2.: Ich denke, es hätten vielleicht 75% verstanden.
Ich bin zwar kein Lehrer (das ist vielleicht das Problem an der Sache), aber ich hätte als Lehrer ein sehr ungutes Gefühl, aus den Gründen, die ich oben schon genannt habe. Mir ging es nämlich vor allem im Chemie-Unterricht so, daß ich den Eindruck hatte, daß es sich da um einen Wust von Regeln handelt, die man gar nicht verstehen kann, und die "total unlogisch" sind. Deshalb hat mich Chemie dann nicht mehr interessiert - Genauso geht es, denke ich, vielen, die in Mathe nicht durchblicken. Ich halte es für einen falschen Weg, die Schüler auf ihren Taschenrechner zu trainieren, damit sie das Abi schaffen.
Ich verstehe nicht, warum man Schülern keine Intervallschachtelung erklären können soll, wenn man sie ein Approximationsverfahren an ein, zwei Sachen ausprobieren lassen hat. "Aber so ist's besser" ist in meinen Augen kein Argument.
Außerdem denke ich, daß es jedem Schüler nützt, wenn er nicht nur Aufgaben des folgenden Typs abverlangt bekommt: "Rufen Sie den Algorithmus, den Sie für das Verfahren XY gelernt haben ab, und führen Sie ihn mit den folgenden Parametern aus: a,b,c", sondern auch eigenständiges Begreifen gefördert wird. Solche Aufgaben können nämlich Rechner lösen, und einen Sachverhalt zu begreifen kann niemals schaden, weder in der Wissenschaft, noch in der Technik, noch im Handwerk, noch in der Kunst, etc.
Wenn man von einem Schüler nichts erwartet, dann wird er aber i.d.R. nicht viel leisten.
Viele Grüße,
Jonathan
PS. Ich hatte übrigens in der achten Klasse eine 4 in Mathe.
[ Nachricht wurde editiert von Jonathan_Scholbach am 25.06.2007 11:48:04 ]
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cyrix
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Mitteilungen: 1745
Aus: Jena, Thüringen
| Beitrag No.25, eingetragen 2007-06-25 12:04
|
Hallo!
Nun, da müssen mal die (zukünftigen) Lehrer etwas zu sagen: Ist wirklich das Ziel des Mathematik-Unterrichts Rechenaufgaben lösen zu können und die Prüfung zu bestehen?
Wenn ja, dann gute Nacht.
Die Prüfungen sind ein Mittel um zu schauen, inwieweit der behandelte Stoff verstanden wurde, aber doch nicht das bestimmende Ziel des ganzen Unterrichts! (So zumindest habe ich Schule verstanden...)
Und wenn die Schüler aufgrund dieser ewig gleichen Aufgabentrainiererei schon Probleme bekommen, wenn die zu bestimmende Variable mal a anstatt x lautet, dann frage ich mich, was der Unterricht bis dahin gebracht hat.
Ich hatte mal die Illusion, dass es im Mathematik-Unterricht darum geht, den Schülern abstraktes Denken, losgelöst vom konkreten Problem, aber auf jene übertragbar, beizubringen. Dies wird aber garantiert nicht dadurch geleistet, dass man quadr. Gleichungen bis zum Erbrechen löst. Viel wichtiger ist doch die Herleitung der entspr. Lösungsformeln!
Ich wüsste auch nicht, wozu man in der Zukunft von einem beliebigen ehemaligen Abiturienten erwarten sollte, dass er integrieren kann. Das wird er nie wieder brauchen. Genau deswegen schalten viele ab (weil sie sich halbwegs sicher sind, die behandelten Sachen nie wieder zu brauchen). Deshalb sollte auch nicht auf dem Auswendig-Pauken von Integrationsregeln der Schwerpunkt liegen, und Seitenweise irgendwelche bestimmten und unbestimmten Integrale ausrechnen zu lassen, sondern viel mehr in der Theorie, die dahinter steckt, denn Denken wird der Abiturient auch in Zukunft noch müssen!
Analog sehe ich dies hier...
Cyrix
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Dave_
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Dabei seit: 04.05.2007
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Aus: Saarbrücken, Deutschland
| Beitrag No.26, eingetragen 2007-06-25 12:44
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hi!
muss mich jetzt auch mal hierzu aeussern.
ich sehe das aehnlich wie viele andere hier. die schulische ausbildung die ICH "genossen" habe, was speziell den bereich mathematik angeht, war mehr als unbefriedigend. hatte bis in die 9. klasse meist eine 2.hab aber im prinzip nur die oft zitierten kochrezepte abgespult, und sobald mal etwas ein klenig anders war, da war ich draussen. dies jedoch, so wie ich das jetzt sehe, aus dem grund, weil ich mich nur daran orientiert habe, was mir IN der schule beigebracht wurde. hatte dann in der 10.. klasse bei meinem spaeteren oberstufen lehrer im mathe lk eine 5. als ich dann in der 11. klasse mein intresse fuer die "serioese" mathematik erkannte, und bemerkte, dass nicht alles voellig aus der luft gegriffen ist, sondern dass eben definitionen, axiome und logische schluesse und dergleichen im vordergrund stehn, da fing ich an, mir den stoff meiner gesamten schullaufbahn selbst noch einmal von vorne an klar zu machen. ab diesem zeitpunkt hatte ich im prinzip nur noch die note 15 im fach mathe, einschliesslich im mathe lk bei dem lehrer, bie dem ich vorher eine 5 (03) hatte.
der grund liegt meiner meinung nach auch darin, dass angenommen wird, "der schueler" verstehe die klaren schlussregeln, die definitionen usw nicht. deswegen wird schwammig erklaert und einfach gesagt, wenn blabla, dann machst du blbalba und das was rauskommt, das ist dein ergebnis. wenn dann aber mal eine minimal variierte aufgabenstellung vorgelegt wird, bei der vlt noch eine kleine umformung oder wirklich eine (wenn auch noch so kleine) denkleistung gefordert wird, dann ist man mit seinen eingefahrenen kochrezepten schnell am ende.
ich schliesse mich deswegen hier der meinung derjenigen an, die ebenfalls fuer eine saubere, und gerade deswegen nachvollziehbare, mathematische ausbildung in der schule plaedieren.
mfg!
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„Es gibt zwei gefährliche Abwege: die Vernunft schlechthin abzulegen und außer der Vernunft nichts anzuerkennen.“
Blaise Pascal
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goeba
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Dabei seit: 24.03.2006
Mitteilungen: 1315
Aus: Göttingen
| Beitrag No.27, eingetragen 2007-06-25 22:59
|
Hallo,
mal davon abgesehen, dass ich es ja auch mit der Intervallschachtelung machen würde (aber daraus kein Axiom ableiten würde): Es sollte niemand, der Mathestudent ist, aber nicht ein paar Jahre Lehrerfahrung hat, den Fehler machen, von sich auf andere zu schließen. Wenn ich den Unterricht so mache, dass ich ihn als Schüler super gefunden hätte, dann kapieren das in einer durchschnittlichen Klasse ca. 1 - 4 Leute.
Es gibt im Matheunterricht verschiedene Anforderungsbereiche, und die muss man alle bedienen. Zu einer derart strengen Denkweise, wie es die axiomatische Methode erfordert, sind die meisten Schüler nicht fähig. Und ausgerechnet die, die jetzt erfolgreich Mathe studieren, können darüber sicher kein Urteil fällen, denn die können es ja.
Ich bin mit sehr vielen Dingen, als ich frisch von der Uni kam, kräftig auf die Nase gefallen. Ich mache immer noch einen anspruchsvollen Matheunterricht, aber man muss die Kirche im Dorf lassen.
Viele Grüße,
Andreas
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Keiran
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Dabei seit: 19.06.2007
Mitteilungen: 40
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| Beitrag No.28, eingetragen 2007-06-25 23:16
|
Es ist auch schwer so etwas in einem Forum zu diskutieren, in dem sich alle für Mathe interessieren. (Sonst wären sie ja nicht hier..)
Ich habe zwar Erfahrungen in Mathe-Nachhilfe, aber da hat man dann natürlich auch wieder die eher schlechteren Schüler.
Trotzdem bleibe ich bei meiner Meinung:
Es geht in der 8.Klasse genau darum: Rechenaufgaben lösen. Gerade weil es dabei schon so viele Probleme gibt, weiß ich nicht warum man dann mit komplexeren Problemen besser klar kommen sollte?! Ja, ok, Ausnahmen gibt es immer.
Zu Prüfungen: Ja genau, damit testet man, ob der Stoff verstanden wurde. Also: "Prüfung bestanden" impliziert "Stoff verstanden"
Jedenfalls wenn die Prüfungen gut gemacht sind.
D.h. aber doch man sollte sich darauf konzentrieren die Klausuren zu schaffen oder? Spaß an der Mathematik wecken ist natürlich noch besser, ist aber nicht jedermans sache..
Aber wie gesagt:
Ich glaube, dass die meisten hier (ohne Lehrerfahrung; mich eingeschlossen) nicht wirklich qualifiziert über das können von Schülern urteilen können.
LG
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shadowking
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Dabei seit: 04.09.2003
Mitteilungen: 3135
Aus:
| Beitrag No.29, eingetragen 2007-06-25 23:38
|
Viele, die hier posten, machen sich ganz offenbar völlig
falsche Vorstellungen über den Mathematikunterricht an den
meisten Schulen von heute.
Nicht nur bezüglich des "real existierenden" MU (der häufig
ausfällt, häufig torpediert wird und oft schon an mangelndem
Vorwissen und Vorstellungskraft der Schüler scheitert),
sondern bereits bezüglich der Zielvorgaben, die von seiten
der Kultusbehörden und der Schulleiter gesetzt werden. An den
Universitäten und in den Fachbereichen Mathematikdidaktik kocht
sich jeder sein eigenes Süppchen von Idealvorstellungen, wie
"der bestmögliche MU" auszusehen hätte, und trichtert sie seinen
Studenten ein. Im besten Fall können sie ganz wenige Anteile
davon in eine ernüchternde Unterrichtspraxis retten, der Rest
scheitert deshalb, weil die Fachbereiche den Kontakt zu den
Niederungen der Realität längst verloren haben. Das gilt zwar
auch für die Kultusbehörden, doch dort scheint man wenigstens
noch an pragmatischen Zielen interessiert - wenn auch die
Umstände, unter denen die verfolgt werden, immer mehr vom
Finanzministerium determiniert werden.
So werden angehende Lehrer in Wolkenkuckucksheimen
ausgebildet, um dann in einer Vorhölle Dienst zu tun. Oftmals
sieht es in den Schulen nämlich so aus, dass mindestens die
Hälfte der Unterrichtszeit dafür verwendet werden muss,
überhaupt Lernatmosphäre herzustellen, und der kleine Rest
muss so genutzt werden, dass möglichst viele Schüler ein
lebensnotwendiges Minimum des Stoffs verstehen. Denn der
Sinn des Mathematikunterrichts ist es, Schüler ausbildungsfähig
zu machen. Feinsinnige Ansprüche wie fachliche Stringenz werden
da zuallererst geopfert. Solches nützt ohnehin nur denjenigen
Schülern, die gegebenenfalls sich den Stoff auch ganz ohne
Unterricht selbst aneignen könnten und würden.
Gruß shadowking
[ Nachricht wurde editiert von shadowking am 26.06.2007 00:29:02 ]
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sExY-boY
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Dabei seit: 24.01.2005
Mitteilungen: 1098
Aus:
 | Beitrag No.30, eingetragen 2007-06-26 13:55
|
Hallo!
Dann will ich auch mein Senf dazugeben.
Ich weiß leider nicht mehr, ob ich mit meiner jetzigen Vermutung richtig liege, aber ich versch's trotzdem.
In der 9. Klassenstufe wurde auf Intervallschachtelungen verzichtet. Wir haben direkt mit dem Wurzelausdruck begonnen und geschlußfolgert, dass man aus der Zahl 2 zwar die Wurzel ziehen kann, jedoch man eine irrationale Zahl erhält, die nicht exakt als Bruch darstellbar ist. Aus diesem Grund wurde der Zahlenbereich um die reellen Zahlen erweitert, in dem nun auch Wurzelausdrücke vorkommen können.
Die Einführung zum Lösen von quadratischen Gleichungen hat sich so ereignet, dass unsere Lehrerin mit uns über die bisherigen (linearen) Gleichungen sprach und uns darauf hinwies, dass immer eine Lösung für eine Gleichung erster Ordnung zu bestimmen war. Quadratische Gliede, die evtl. bei linearen Gleichungen auftauchten, wurden durch äquivalentes Umformen eliminiert, so dass nur eine zu bestimmende Variable (in den meisten Fällan das x) übrigblieb. Dann kam der Wendepunkt, als sie uns sagte, dass "ab jetzt" quadratische Gliede nicht mehr zu eliminieren seien. Dann stellte man sich natürlich die Frage, wie solche Gleichungen gelöst werden müssen. Wir bearbeiteten daraufhin einige einfache quadratische Gleichungen, bei denen die zu bestimmende Variable bereits auf der linken Seite isoliert stand und wir lediglich die Quadratwurzel zu ziehen hatten, um die Lösungen zu erhalten. Da wir jedoch eine quadratische Gleichung hatten, mussten zwei Lösungen gefunden werden. Deshalb fragten wir uns , was passieren würde, wenn wir beispielsweise die Gleichung x^2=4 hatten. Setzten wir x=2 ein, so erhielte man 4, woraus eine richtige Aussage abzuleiten ist. Setzten wir stattdessen x=-2 ein, so ergab sich aus (-2)^2 wieder 4! Daraus resultierte die Annahme, dass eine quadratische Gleichung maximal zwei Lösungen besitzt. In dem Zusammenhang behandelten wir den nicht allzuoft auftretenden Fall, dass der Radikand plötzlich eine negative Zahl war, deren Quadratwurzel (zumindest in der Schule) nicht zu ermitteln war. Dazu müsste man den bisherigen Zahlenbereich um die komplexen Zahlen erweitern, erst dann hätte man eine algebraisch abgeschlossene Zahlenmenge. Mit der Zeit behandelten wir komplizierter werdende quadratische Gleichungen, die man mithilfe bestimmter Lösungsformeln lösen konnte.
Nun ja, das sollte es gewesen sein. Also ihr seht, dass die Einführung von reellen Zahlen und das Lösen von Gleichungen zweiter Ordnung etwas "vereinfacht" vonstatten ging.
@owk: Wie sieht denn eine Axiomatisierung der Geometrie aus?
Gruß
sb
[ Nachricht wurde editiert von sExY-boY am 26.06.2007 13:57:38 ]
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owk
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Aus:
| Beitrag No.31, eingetragen 2007-06-26 15:51
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Das bekannteste System ist von Hilbert, siehe Wikipedia. owk
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