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int(tan(x), x) = int(sin(x)/cos(x), x) kann ja mittels Substitution berechnet werden, wenn man folgenderweise vorgeht:

g(x) = cos(x) = z
f(z) = 1/z
g'(x) =  -sin(x)

int(tan(x),x) = - int(1/z, z) = - ln(abs(z)) + C = - ln(abs(cos(x))) + C

Interessehalber haben wir jetzt mal für

g(x) = 1/cos(x) = z
f(z) = z
g'(x) = sin(x)/cos^2(x)

gesetzt. Rechnet man nun weiter, so kommt man auf folgendes:

int(tan(x), x) = -int(sin(x) * z * cos^2(x)/sin(x), z)

sin(x) kürzt sich also raus und cos^2(x) lässt sich durch Umformung von g(x) zu cos^2(x) = 1/z^2 umformen.

Oben eingesetzt, ergibt das nun wieder:

int(z* 1/z^2, z) = int(1/z, z) = ln(abs(z)) + C

D.h. also irgendwo ist ein Minus verloren gegangen. Die Frage ist, nur wo ;-) Seht ihr meinen Fehler?

Hallo.

Es gilt im zweiten Fall doch:
ln(abs(z)) + C = ln(abs(1/cos(x))) + C = ln(1) - ln(cos(x)) + C = - ln(cos(x)) + C

Also kein Widerspruch.

Gruß, Stego