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   Beweis, dass 2 Vektoren parallel sind |
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Ehemaliges_Mitglied
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 |      Themenstart: 2007-12-19 13:31
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Hallo,
für eine Programmierung musste ich überprüfen, ob 2 Vektoren übereinander liegen (sprich auch parallel sind). Hierfür habe ich die Vektoren normalisiert und anschließend das Skalarprodukt von den beiden gebildet und geprüft, ob es ungefähr 1 ist.
Dies hat alles auch wunderbar geklappt.
Nun muss ich das ganze schriftlich beschreiben und ich bin auf der Suche nach einem Beweis für 'Vektoren a und b parallel, wenn Skalarprodukt von a und b, nahe 1' leider nicht fündig geworden.
Nun ist die Frage: Gibt es da überhaupt einen Beweis dafür. Geht meine Vermutung gar nicht und ich hatte nur zuflällig Glück (aber dann hatte ich bisher permament Glück, denn es funktioniert einfach).
Helft mir doch bitte auf die Sprünge, wie man diese Annahme beweisen kann (oder ob das überhaupt geht)
Danke,
kklex05
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Luke
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Dabei seit: 19.10.2006
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Aus: Hannover
 | Beitrag No.1, eingetragen 2007-12-19 13:38
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da die aussage falsch ist gibt es keinen beweis.
das hat hoechstens im numerischen kontext sinn und der ist ja hier gefragt.
wenn das skalarprodukt 2er einheitsvektoren 1 ist, dann sind sie kollinear. das kann man zeigen. das steckt auch zb im = der cauchy-schwarz-ungleichung.
ich denke dann ist es auch legitim zu sagen, dass vektoren dann kollinear sind, wenn das in der numerischen berechnung ungefaehr stimmt. allerdings ist das natuerlich nicht sicher.
ich wuerde auch ueberlegen wie man das am besten mit dem normieren macht. vielleicht laesst man die division weg und vergleicht lieber das skalarprodukt mit dem produkt der betraege. ich bin aber kein spezialist, was die genauigkeit solcher rechenoperationen betrifft.
[ Nachricht wurde editiert von Luke am 19.12.2007 13:39:31 ]
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Ex_Mitglied_8798
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Aus:
| Beitrag No.2, eingetragen 2007-12-19 13:43
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Hallo kklex05, Den Beweis wirst Du nirgends finden, weil die Aussage falsch ist. Ich weiß zwar nicht genau, was Du mit ''nahe 1'' meinst, aber das Skalarprodukt paralleler Vektoren ist nur dann ''nahe 1'', wenn das Produkt der Länge der Vektoren ''nahe 1'' ist. Um zu überprüfen, ob die Vektoren parallel sind, mußt Du eigentlich prüfen, ob (x\circ\ y)/(abs(x)*abs(y)) = 1 gilt. Das Ganze kann man übrigens auch auf andere Art und Weise prüfen: Wenn x_i, y_i i\el I die Komponenten der Vektoren sind, dann gilt: x_1 = \lambda * y_1 nun mußt Du nur überprüfen, ob x_i = \lambda * y_i \forall i\el\ I gilt. Falls ja, dann sind die Vektoren parallel. Viele Grüße, Jonathan
PS. Meinst Du vielleicht mit "normalisiert", daß Du die Vektoren normiert hast? Dann hast Du ja genau das gemacht, was nötig ist, nämlich durch das Produkt der Längen der Vektoren geteilt. Dein Vorgehen ist dann richtig. Der Beweis funktioniert über die Definition des Skalarprodukts:
x\circ y = abs(x)*abs(y)*cos(\alpha) Dann ist, falls x,y != 0 (x\circ\ y)/(abs(x)*abs(y)) = 1 genau dann, wenn cos(\alpha) = 1 also, wenn die Vektoren parallel sind.
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
[ Nachricht wurde editiert von Jonathan_Scholbach am 19.12.2007 13:59:35 ]
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Ehemaliges_Mitglied
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Aus:
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2007-12-19 14:11
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Danke, Jonathan. Genau das meinte ich.
Für mich waren bisher die Begriffe normalisieren und normieren gleichwertig. Aber anscheinend nutzt 'ihr' in der Mathematik nur normieren?!
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2013-05-25 23:29 U
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