Mathematik: Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme & Co.
Released by matroid on Di. 29. August 2006 20:07:17 [Statistics]
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Lineare Algebra

\(\begingroup\) FlorianM und hugoles schreiben: Logo: Oberstufenmathematik leicht gemacht

Lineare Gleichungssysteme & Co.

Liebe Matheplanetarier, hugoles und ich wollen den Matheplaneten mit einer Serie erweitern, die sich mit dem Thema Lineare Algebra und Analytische Geometrie befasst. Wir werden in unserem Kapitel 1 auf Lineare Gleichungssysteme eingehen und nach und nach auf das weite Gebiet der Vektoren vorstoßen. Ziel dieser Serie soll es sein, Schülern das große Gebiet der Analytischen Geometrie auf verständliche Art und Weise näher zu bringen und anhand zahlreicher Beispiele die (Rechen-) Verfahren im Umgang mit Vektoren vorzuführen.

1 Einführung 2 Grundlagen aus der Mittelstufe 2.1 Einzelne lineare Gleichungen 2.2 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen 2.3 Lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen 3 Gaußsches Eliminationsverfahren 3.1 Einführung 3.2 Welche Umformungen sind erlaubt? 3.3 Anwenden auf das Beispiel 3.4 Schema 4 Matrixform 4.1 LGS in Matrixforum 4.2 LGS hat keine Lösung 4.3 LGS hat unendlich viele Lösungen 5 Abschluss
by hugoles
[Edit]
1 Einführung
Die Artikelserie, die wir hiermit beginnen wollen, erhebt keinerlei Anspruch auf Vollständigkeit und verzichtet der Übersichtlichkeit halber überwiegend auf Beweise der verwendeten Sätze und Gesetzmäßigkeiten. Die Artikel werden daher nicht unbedingt der mathematischen Exaktheit gerecht, die für derartige Arbeiten sonst gefordert wird. Daraus ergibt sich schon, dass sich diese Artikelserie nicht an die „ausgebildeten Mathematiker“ richtet, sondern an diejenigen, die „nur“ einen Streifzug durch die Analytische Geometrie machen wollen oder die bestimmte Verfahren nochmals nachlesen möchten. Zum Adressatenkreis sollen ausdrücklich Schüler der oberen Mittelstufe bzw. der Oberstufe gehören. Unsere Artikel sollen zum einen unterhaltsam und locker sein und zum anderen jedoch so umfangreich, dass ein Oberstufenschüler hier möglichst viele Beispiele, Regeln und Anwendungen findet.
2 Grundlagen aus der Mittelstufe
Um auch das zentrale Thema dieses Artikels, das Gaußsche Eliminationsverfahren, nachvollziehen zu können, wollen wir in diesem Abschnitt die Grundlagen aus der Mittelstufe etwas auffrischen.
2.1 Einzelne lineare Gleichungen
Die einfachsten "linearen Gleichungsysteme", die man zu Beginn der Mittelstufe kennen lernt, sind "lineare Gleichungen mit einer Variablen". Als Beispiel wollen wir folgende Gleichung betrachten: 6x+5x-15=x+5 Diese Gleichung wird durch äquivalente Umformungen in eine Form gebracht, bei der man die Lösung sehr einfach ablesen kann: 6x+5x-15=x+5 | \|-5 => 6x+5x-20=x | \|-x+20 => 10x=20 | \|:10 => x=2 => \IL={2} In diesem Beispiel haben wir alle Verfahren angewendet, die beim Umformen einzelner Gleichungen erlaubt, also äquivalent sind: Addieren/Subtrahieren von Termen auf beiden Seiten der Gleichung, sowie das Multiplizieren oder Dividieren von Termen, ungleich Null, auf beiden Seiten der Gleichung.
2.2 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen
Auch hier wollen wir uns dem Thema mit einem einfachen Beispiel nähern. Gegeben sei folgendes Gleichungssystem: 3x+2y=5 (1) x-4y=9 (2) Hierbei müssen Zahlen x und y so gefunden werden, dass beide Gleichungen erfüllt sind. Aus diesen Gleichungen kann man noch keine Lösung für x und y ablesen. Ziel ist es also geeignete Gleichungen aufzustellen, bei denen die Lösungen abgelesen, bzw. sehr einfach berechnet werden können. Dazu habt ihr in der Mittelstufe drei Verfahren kennen gelernt. Wir vollen dieses Gleichungssystem mit all diesen Verfahren lösen.
  • Das Einsetzungsverfahren
  • Beim Einsetzungsverfahren wird eine Gleichung nach einer Variablen aufgelöst und das Ergebnis in die andere Gleichung eingesetzt. Wollen wir dies also einmal tun: Gleichung (1) formen wir nach x um und setzen das Ergebnis in Gleichung (2) ein: 3x+2y=5 => 3x=5-2y => x=5/3 -2/3* y Einsetzen von x in (2) liefert den gesuchten y-Wert: 5/3 -2/3* y -4*y=9 => 5/3- 14/3*y=9 => -14/3*y=22/3 => y=-11/7 Nun haben wir den y-Wert berechnet. Diesen Wert brauchen wir nun nur noch in x=5/3 -2/3* y einsetzen und wir erhalten den fehlenden x-Wert. x=5/3 -2/3* (-11/7)=5/3 +22/21=35/21 +22/21=57/21=19/7=2 5/7 Als Lösungpaar erhalten wir also x=19/7 und y=-11/7, die Lösungsmenege ist \IL = {(19/7,-11/7)} \(Vergesst am Ende nie die Probe zu machen, indem ihr die Werte in die Gleichungen einsetzt und überprüft, ob wahre Aussagen entstehen. Gleichung (1): 3x+2y=5 mit x=19/7 und y=-11/7 folgt: 3* 19/7+2* (-11/7)=(57-22)/7=35/7=5 w.A. Gleichung (2): x-4y=9 mit x=19/7 und y=-11/7 folgt: 19/7-4*(-11/7)=(19+44)/7=63/7=9 Auch hier erhalten wir eine wahre Aussage. Die Probe hat uns also gezeigt, dass unsere Rechnung richtig ist.)
  • Das Gleichsetzungsverfahren
  • Beim Gleichsetzungsverfahren löst man beide Gleichungen nach der selben Variablen auf und setzt die Terme dann gleich. Letztendlich ist das Gleichsetzungsverfahren aber nur ein Spezialfall des Einsetzungsverfahrens. Als Gleichungen nehmen wir die selben Gleichungen wie beim Einsetzungsverfahren. 3x+2y=5 (1) x-4y=9 (2) Wir formen Gleichung (1) und (2) nach x um. Wir erhalten x=5/3 -2/3* y für die erste Gleichung und x=9+4*y für die zweite Gleichung. Terme gleichsetzen (daher hat das Gleichsetzungsverfahren seinen Namen), möglich da auf beiden Seiten links dasselbe steht, nämlich das x, liefert: 5/3 -2/3* y=9+4*y Diese Gleichung lösen wir nach y auf: 5/3 -2/3* y=9+4*y => -22/3 -2/3* y=4*y => -22/3 =14/3 *y => y=-11/7 Den y-Wert setzen wir entweder in Gleichung (1) oder (2) ein, um den x-Wert zu berechnen: x=9+4*(-11/7) => x=9-44/7 => x=(63-44)/7=19/7=2 5/7 =>\IL = {(19/7,-11/7)} Wir erhalten dieselben Lösungen wie beim Einsetzungsverfahren, somit können wir uns die Probe sparen.
  • Additionsverfahren
  • Das dritte Verfahren, das euch in der Mittelstufe begegnet sein sollte, ist das Additionsverfahren. Hierbei addiert oder subtrahiert man zu der einen Gleichung ein Vielfaches der anderen Gleichung, so dass eine der Variablen aus der neu entstehenden Gleichung heraus fällt. Nehmen wir wieder das gleiche Gleichungssystem: 3x+2y=5 (1) x-4y=9 (2) Zunächst müssen wir dafür sorgen, dass eine Variable in den Gleichungen (1) und (2) gleich oft vorkommt. Deshalb multiplizieren wir die erste Gleichung mit 2 und erhalten: 6x+4y=10 (3) Wir erhalten also folgende beide Gleichungen: 6x+4y=10 (3) x-4y=9 (2) Jetzt werden die beiden Gleichungen addiert (daher kommt der Name "Additionsverfahren) und wir bekommen folgenden Ausdruck: 6x+4y=10 +(x-4y=9) ---------- 7x=19 Wir sehen, dass auch hier x=19/7 ist. y können wir berechnen, indem wir den x-Wert in eine der beiden Gleichungen einsetzen. Dies erfolgt analog zum Gleichsetzungsverfahren und wir können hier darauf nun verzichten.
  • Welches Verfahren eignet sich am besten für welches Gleichungssystem
  • In diesem Abschnitt wollen wir euch kurz Beispiele zeigen, dass man sich zuerst das Gleichungssystem anschauen sollte, um dann zu entscheiden, welches Verfahren am schnellsten zum Ziel führt. I. 4x-9y=3 II. -8x-4y=12 Das Additionsverfahren führt hier am schnellsten zum Ziel, denn man braucht Gleichung I. nur noch mit zwei multiplizieren und kann das das Additionsverfahren durchführen. I. x=-4y+9 II. -7y-8=x Das Gleichsetzungsverfahren führt hier am schnellsten zum Ziel, denn man sieht, das beide Gleichungen schon nach x umgeformt sind.
    2.3 Lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen
    In diesem Abschnitt möchten wir keine Beispiele mehr anführen. Denn bei linearen Gleichungssysteme mit drei Variablen muss man zuerst zwei Gleichungen erzeugen, in denen nur noch zwei bestimmte Variablen vorkommen. Diese beiden Gleichungen müsste man dann wie im Abschnitt „2.2 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen“ auflösen. Allerdings dürfen in den beiden Gleichungen nur noch zwei verschiedene Variablen enthalten sein. Lange Rede, kurzer Sinn: Die Wahrscheinlichkeit dort Fehler zu machen, ist sehr groß. Deshalb müssen wir ein anderes Verfahren entwickeln, bei dem solche Probleme nicht auftreten. Ein solches Schema zur Anwendung des Additionsverfahren ist das \big\ Gaußsche Eliminationsverfahren\normal\ , das wir im nächsten Abschnitt behandeln werden.
    3 Gaußsches Eliminationsverfahren
    3.1 Einführung
    Zunächst wollen wir einige Definitionen aus der Linearen Algebra etwas auffrischen und wiederholen. \black\frame\black\big\ Definition: Unter einer "linearen Gleichung mit n Variablen" versteht man eine Gleichung, die durch Äquivalenzumformungen auf die Form a_1*x_1+a_2*x_2+...+a_n*x_n=r (mit a_1, a_2, ..., a_n, r \el\ \IR) gebracht werden kann. Die Zahlen a_1, a_2, ..., a_n nennt man \big\ Koeffizienten, die Zahl r heißt \big\ absolutes Glied. \black\frame\black\big\ Definition: Unter einem "linearen Gleichungssystem" versteht man eine Aussageform, in der m lineare Gleichungssystem mit n Variablen \big\ konjunktiv mit einander verknüpft sind. Allgemein schreibt man ein Gleichungssystem wie folgt auf: a_1_1*x_1+a_1_2*x_2+...+a_1_n*x_n=r_1 a_2_1*x_1+a_2_2*x_2+...+a_2_n*x_n=r_2 ... a_m_1*x_1+a_m_2*x_2+...+a_m_n*x_n=r_n Man spricht in dem Fall, wenn alle absoluten Glieder 0 sind, von einem \big\ homogenen Gleichungssystem. Gilt dagegen für wenigstens eine Zahl auf der rechten Seite r_k!=0, so spricht man von einem \big\ inhomogenen Gleichungssystem. Eine Anwendung dieses Lösungsschemas ist die Untersuchung von Vektoren a^>_1, a^>_2,..., a^>_n auf lineare Abhängigkeit oder Unabhängigkeit. Sie führt auf ein Gleichungssystem, bei dem das absolute Glied 0 ist, also, wie wir eben gelernt haben, auf ein homogenes LGS. Mit Vektoren und Linearer (Un-)Abhängigkeit werden wir uns im 2. Artikel dieser Serie beschäftigen.
    3.2 Welche Umformungen sind erlaubt?
    Bei einem Linearen Gleichungssystem sind folgende Umformungen stets Äquivalenzumformungen: 1) Vertauschen von Gleichungen 2) Multiplizieren einer Gleichung mit einer von Null verschiedenen Zahl 3) Ersetzen einer Gleichung durch die Summe aus dieser und einer anderen Gleichung Dies werden wir im Laufe des Artikels noch mehrmals anwenden, also gut merken!
    3.3 Anwenden auf das Beispiel
    Kommen wir nun aber endlich zum Gaußschen Eliminationsverfahren: Wir führen ein Beispiel eines aufgelösten LGS an: \align x+2y-4z=-6 -3y+11z=17 59z=59 \stopalign Man sagt dieses LGS hat \big\ Dreiecksform. Diese Form ist dadurch gekennzeichnet, dass die Koeffizienten unterhalb der so genannten \big\ Hauptdiagonalen sämtlich den Wert 0 haben. Dreiecksform Ziel des Gaußschen Eliminationsverfahren ist es also, ein geeignetes LGS auf diese Dreiecksform zu bringen. Man erreicht dieses in der Regel dadurch, dass man die Gleichungen mit geeigneten Zahlen multipliziert und dann addiert: Beispiel: \align x-y-3z=1 -2x+2y+7z=0 3x+2y+2z=5 \stopalign Wir multiplizieren die erste Gleichung mit 2, addieren diese zu der zweiten Gleichung und ersetzen die zweite Gleichung durch dieses Ergebnis. Danach multiplizieren wir die erste Gleichung mit –3, addieren dieser zur dritten Gleichung und ersetzen die dritte Gleichung durch dieses Ergebnis. So haben wir das LGS auf Dreiecksform gebracht. Hier die Schritte im Einzelnen: Beispiel Wir müssen die beiden letzten Gleichungen nur noch vertauschen und schon haben wir die gewünschte Dreiecksform: \align x-y-3z=1 5y+11z=2 z=2 \stopalign Die Lösung für z können wir ablesen, die anderen Variablen ergeben sich durch Rückwärtseinsetzen: Einsetzen von z in die zweite Gleichung ergibt: 5y+22=2 <=>y=-4 Einsetzen von y und z in die erste Gleichung ergibt: x+4-6=1 <=>x=3 Die Lösung ist also: \IL={(3,-4,2)}
    3.4 Schema
    Wir können erst einmal festhalten, wie oben erwähnt, dass das Ziel des Gaußschen Eliminationsverfahren ist, das LGS durch Äquivalenzumformungen auf die Dreiecksform zu bringen.
    4 Matrixform
    4.1 LGS in Matrixform
    Wie ihr gesehen habt, ist das Gaußsche Eliminationsverfahren mit einer erheblichen Schreibarbeit verbunden. Im eigenen Interesse muss eine Vereinfachung der Schreibweise her: Gegeben sei folgendes linearen Gleichungssystem: \align -x-2y+4z=6 2x+y+3z=5 3x+3y-2z=-2 \stopalign Bei den Umformungen eines LGS nach dem Gaußschen Eliminationsverfahren haben wir stets nur mit den Koeffizienten und den Absolutgliedern gerechnet, nicht aber mit den Variablen. Deshalb lassen wir die Variablen nun weg und schreiben in einer Matrix (Plural Matrizen) nur die Koeffizienten und die absoluten Glieder. \[Wenn alle absoluten Glieder 0 sind kann man eine Koeffizientenmatrix schreiben, das heißt man lässt die absoluten Glieder weg, da sie 0 sind: (-1,-2,4;2,1,3;3,3,-2). Schreibt man auch die absoluten Glieder in die Matrix, erhält man eine erweiterte Matrix. Um Verwechslungen auszuschließen, trennt man die absoluten Glieder von den Koeffizienten mit einem Strich: Matrix1 \black\frame\black\big\ Definition: Zu einem linearen Gleichungssystem a_1_1*x_1+a_1_2*x_2+...+a_1_n*x_n=r_1 a_2_1*x_1+a_2_2*x_2+...+a_2_n*x_n=r_2 a_3_1*x_1+a_3_2*x_2+...+a_3_n*x_n=r_3 gehören die Koeffizientenmatrix (a_1_1,a_1_2,...,a_1_n;a_2_1,a_2_2,...,a_2_n;a_3_1,a_3_2,...,a_3_n) und die erweiterte Matrix (a_1_1,a_1_2, ..., a_1_n, \|r_1;a_2_1, a_2_2, ..., a_2_n, \|r_2; a_3_1, a_3_2, ...,a_3_n, \|r_3) Wir möchten uns hier aber auf drei Gleichungen mit drei Unbekannten beschränken. Berechnen wir also das am Anfang gegebene lineare Gleichungssystem mit der Matrixdarstellung und dem Gaußschen Eliminationsverfahren aus: Matrix 2 Auch hier ist wieder das Ziel des Gaußschen Eliminationsverfahren, die Dreiecksform herzustellen. Damit kann man direkt die Werte für die Parameter x, y und z ablesen. Denn die Matrix liefert: III.: -1z=-1 <=>z=1 II.: -3y+11=17 <=>y=-2 I.: -x+4+4=6 <=>x=2 \IL={(2, -2, 1)} \big\ Das erweiterte Gaußverfahren: Von dem Gaußschen Eliminationsverfahren am Beispiel bleibt uns: Matrix 2 Die letzte Matrix können wir nun noch so umformen, dass wir auf der Hauptdiagonalen nur noch 1 und im Rest 0 stehen haben. Das Vorteilhafte darin ist, dass man die Werte für x, y und z direkt aus der Matrix ablesen kann: Matrix 3 Die Matrix liefert: III.: z=1 II.: y=-2 I.: x=2 \IL={(2, -2, 1)} Diese Matrix hat Diagonalform, weil nur die Hauptdiagonale \(von links oben nach rechts unten) mit von Null verschiedenen Zahlen besetzt ist. In diesem Falle haben die Zahlen in der Hauptdiagonalen sogar den Wert 1. Daher nennt man diese Matrix auch Einheitsmatrix.
    4.2 Klassifikationen / Fallunterscheidungen
    \big\ 1. Fall: LGS eindeutig lösbar: Beispiel einer Matrix: 1. Fall Die Matrix bzw. das LGS ist eindeutig lösbar. Die Matrix liefert: III.: 5z=15 <=>z=3 II.: 6y-9=-15 <=>y=-1 I.: x+1+3=6 <=>x=2 \IL={(2, -1, 3)}
    \big\ 2. Fall: LGS nicht lösbar: Beispiel einer Matrix: 2. Fall Die letzte Zeile stellt eine falsche Aussage dar, denn 0!=-11. Damit ist das LGS nicht lösbar. \IL={}
    \big\ 3. Fall: Unendlich viele Lösungen: Beispiel einer Matrix: 3. Fall Die letzte Zeile der Matrix liefert 0=0. Es gibt also unendlich viele Lösungen. Aus den ersten beiden Gleichungen können wir einen weiteren Zusammenhang zwischen den drei Variablen x, y, z ableiten: aus 10y - z = -4 wird z = 4 + 10y Damit wird 3x - y + z = 1 zu 3x - y + 10y + 4 = 1 => 3x + 9y = -3, also x = -1 + 3y Wir haben es jetzt geschafft, die Variablen x und z alleine durch y auszudrücken. Leicht erkennt man, dass für beliebige y diese beiden Werte dann festgelegt sind. Weil es nun unendlich viele Möglichkeiten für y gibt, hat das LGS unendlich viele Lösungen, die man in Abhängigkeit von y aufschreiben kann: \IL={(-1+3y, y, 4 + 10y) \| y\el\IR} Diese Darstellung wird uns im 3. Kapitel ebenfalls nochmals begegnen und dort eine weitere Deutung erfahren.
    5 Abschluss
    Dies soll uns im Moment als Grundwissen reichen. Wer noch mehr über LGS und das Gauß-Eliminationsverfahren erfahren möchte, dem sei der Artikel von Siah ans Herz gelegt. In diesem Kapitel haben wir ein wichtiges Hilfsmittel aus der Analytischen Geometrie bereit gestellt, das wir in den folgenden Abschnitten, zu denen wir noch kurz einen kleinen Überblick geben wollen, intensiv nutzen werden. Trennlinie
  • Kapitel 1: Lineare Gleichungsysteme & Co
  • Kapitel 2: Einführung in die analytische Geometrie
  • Kapitel 3: Geraden und Ebenen
  • Kapitel 4: Das Skalarprodukt und seine Anwendungen
  • Kapitel 5: Das Vektorprodukt und seine Anwendungen
  • Kapitel 6: Das Spatprodukt und seine Anwendungen
  • Kapitel 7: Exkurs: Die Plückerform
  • Kapitel 8: Abstandsberechnungen
  • Kapitel 9: Lageuntersuchungen
  • Kapitel 10: Kreise und Kugeln
  • Kapitel 11: Wichtige Formeln fürs Abitur
  • Der Name "Oberstufenmathematik leicht gemacht" dieser Artikelreihe stammt von dem beim pd-Verlag erschienenden Buch Oberstufenmathematik leicht gemacht. Ein verständliches Buch, das die Themen der Oberstufenmathematik anschaulich und präzise erklärt.
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    Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen:
    : Lineare Algebra :: Analytische Geometrie :: Schule :: Schüler aufwärts :
    Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme & Co. [von FlorianM]  
    Auftakt der Serie "Lineare Algebra und Analytische Geometrie" für Oberstufenschüler. Der erste Teil behandelt Lineare Gleichungssysteme und das Gaußsche Eliminationsverfahren und legt den Grundstein für die kommenden Teile.
    [Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

     
     
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    "Mathematik: Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme & Co." | 21 Comments
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    Re: Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme & Co.
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 29. August 2006 21:14:11
    \(\begingroup\)Ich finde, dein Unterfangen hat großes Lob verdient! Du könntest bloß noch die Sterne aus dem Logo wegmachen, das Logo sieht mit den Kreisen ("Tellern") im Hintergrund aus wie Werbung für Klarspüler :D\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme & Co.
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 29. August 2006 21:47:17
    \(\begingroup\)Der Artikel ist sehr gut, ich freue mich schon auf die nächsten, werde mich damit auf das Abitur vorbereiten!! DICKES LOB!!!\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme & Co.
    von: Spock am: Di. 29. August 2006 21:50:50
    \(\begingroup\)Hallo Florian, hallo Sven, die Idee find ich super, die Aufteilung in die einzelnen Kapitel sieht für mich didaktisch sehr gut aus, und Deine Umsetzung des ersten Kapitels, Florian, ist gelungen. Ich kann Euch da nur ermutigen, das so durchzuziehen, sofern Euch nicht irgendein Schulbuchverlag ein Angebot macht, das ihr hoffentlich ablehnt, 😄 @Anonymous: ich finde das Logo hübsch, sind nicht Sterne so eine Art Symbol für "man beginnt zu verstehen"? Gruß Juergen\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme & Co.
    von: Nodorsk am: Di. 29. August 2006 22:39:36
    \(\begingroup\)Hallo, ich finde das ein tolles Projekt und glaube, dass es vielen fürs Abi oder sogar für den Studienanfang helfen wird. Gruß Nodorsk\(\endgroup\)
     

    Re: Lineare Gleichungssysteme & Co.
    von: matroid am: Di. 29. August 2006 22:49:56
    \(\begingroup\)Ein guter Anfang, ein klarer Anfang und ein großer Plan. Ich bin auf die nächsten Teile schon (positiv) sehr gespannt. Viele Grüße Matroid\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme & Co.
    von: FlorianM am: Mi. 30. August 2006 14:02:17
    \(\begingroup\)Hallo, boah... mit so einem überwältigendem Lob hätten wir nicht gerechnet. 😄 Darum ist das jetzt noch schöner zu hören, das es euch gefällt. Vielen Dank dafür. :) @Spock Natürlich würden wir ein Angebot eines Verlags ablehnen, wir schreiben nur für den Matheplaneten. 😁 @Anonymous An dem Logo habe ich Stunden gearbeitet, sag nicht sowas. 😁 Jetzt sind wir bemüht, die anderen Artikel auch so schön hinzubekommen. 😄 Gruss Florian\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme & Co.
    von: magic_carpet am: Mi. 30. August 2006 14:47:19
    \(\begingroup\)Wow, wer hätte gedacht dass lineare Gleichungssysteme so spannend sein können? ;) Auf jeden Fall freu ich mich jetzt schon auf die nächsten 10 Episoden, mit meinem Mathe-LK kann ich die bestimmt gut gebrauchen. Weiter so, eure magic_carpet\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme & Co.
    von: Doro am: Mi. 30. August 2006 23:12:22
    \(\begingroup\)Super Idee! Eigentlich schreibe ich ungern das, was andere schon vor mir geschrieben haben aber bei der Wahrheit muss ich wohl bleiben :-). Freu mich jetzt schon fats für's Abi zu lernen :-). Ganz großes Lob Doro Ps. Habt ihr nicht Lust sowas für Physik auch noch zu machen? 😉\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme & Co.
    von: hugoles am: Do. 31. August 2006 09:14:26
    \(\begingroup\)Hallo Doro, was hättest Du denn gerne in der Physik für einen Artikel? Vielleicht lässt sich da was einrichten, bin grad im Artikelschreibfieber 😉\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme & Co.
    von: da_bounce am: Do. 31. August 2006 15:34:43
    \(\begingroup\)moin Leute, oh ich muss sagen der erste ist sehr gelunge, wie immer sehr ausführlich und man versteht alles gleich dickes Lob an Flo hugoles weiter so freue mich scon auf die nächsten greetz\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme & Co.
    von: FlorianM am: Do. 31. August 2006 18:48:46
    \(\begingroup\)Hi Doro und George, vielen Dank für das Lob! Freut uns sehr, dass für vielen helfen können. :) Gruss Florian\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme & Co.
    von: CptH am: Sa. 02. September 2006 21:39:34
    \(\begingroup\)Hallo, Im Abschnitt 2.1 Einzelne lineare Gleichungen ist ein Fehler. Bei der Gleichung muss als letzter schritt durch 7 und nicht durch 3 geteilt werden. Ciao CptH\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme & Co.
    von: fru am: Sa. 02. September 2006 23:28:21
    \(\begingroup\)Danke für Deine Aufmerksamkeit und den Hinweis, CptH ! Die entsprechende Änderung habe ich beantragt und sie wird sicher bald freigeschaltet werden. Wenn Du auf "Bearbeiten" unterhalb eines Abschnitts klickst, kannst Du übrigens auch selbst Änderungsvorschläge zu einem Artikel direkt einbringen. Falls sie sinnvoll genug sind, werden sie dann wahrscheinlich auch umgesetzt werden. Liebe Grüße, Franz \(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme & Co.
    von: FlorianM am: So. 03. September 2006 13:49:08
    \(\begingroup\)Auch von mir nochmal: Danke für den Hinweis, CptH. Ist nun von mir freigegeben, warten wir es ab bis matroid die Änderung frei gibt. Gruss Florian\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme & Co.
    von: Sebastian_Wild am: Mo. 04. September 2006 10:16:30
    \(\begingroup\)Hi, du solltest mit dem Titel "Oberstufenmathematik leicht gemacht" vorsichtig sein, da es bereits ein Buch mit diesem Titel gibt und du dich sehr nah an diesem Titel orientierst. Sprich die Beispiele sind teilweise dieselben, manchmal auch nur leicht abgeändert. Ich kenne mich in diesem Fall zu wenig mit dem Recht aus, aber du solltest, falls du dieses Buch als Quelle verwendet hast, es wenigstens als solche angeben. Falls ich den Quellenhinweis übersehen haben sollte, bitte ich vielmals um Entschuldigung. Das Buch erschien beim PD-Verlag: www.pd-verlag.de Gruss Sebastian \(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme & Co.
    von: FlorianM am: Mo. 04. September 2006 17:56:01
    \(\begingroup\)Hi Sebastian, danke für den Hinweis. Dieses Buch diente zwar nicht als Quelle, sondern Schulaufzeichnungen, aber ein Beispiel ist dasselbe, da hast du Recht. Habe das entsprechende Beispiel verändert. Mit dem Namen weiß ich nicht, ob das Probleme geben kann. Ich denke "Oberstufenmathematik leicht gemacht" ist nicht geschützt. Belehrt mich gern eines besseren... Gruss Florian\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme & Co.
    von: weserus am: Mo. 04. September 2006 18:56:05
    \(\begingroup\)Hi, warum so ängstlich? 'Wer nicht wagt, der nicht gewinnt'.... sagt der Volksmund. 1.Ob ein Urheberrecht von Herrn Peter Dörsam auf die Titelreihe 'Oberstufenmathematik leicht gemacht' vorliegt, kann geprüft werden, wobei dann der Begriff 'Schöpfungshöhe' im Rahmen des Urheberrechts eine Rolle spielt. 2.Im MP-Review wurde 'Peter Dörsam; Oberstufenmathematik leicht gemacht, Lineare Algebra und Analytische Geometrie' bereits am 30.12.2005 zufällig von einem 'zufälligen Planetarier' besprochen. Böswillig ist, wer dort einen Zusammenhang sieht. Dieser MP-Review einerseits und der 1. Artikel dieser Reihe: 'Lineare Gleichungssysteme & Co'andererseits findet man bereits bei Google; vielleicht liest beides dort Herr Peter Dörsam und ist gleichwohl nicht abmahnungsfreudig. 'Ruhe ist die 1. Bürgerpflicht' sagt der Volksmund. Matroid würde es Herrn Peter Dörsam danken ! 3. Ausserdem: Der MP ist ein Mathematik-Forum und kein Jura-Forum. Wo kommen wir dahin, wenn Urheberrechte und anderer 'Kackelatüt' hier Platz greifen. Wie löst ein Mathematiker dieses von Sebastian angesprochene Problem? Wir definieren, dass ein Verstoss -gleich welcher Art und gleich aus welchem Rechtsgrund- 'hier' nicht gegeben ist. So einfach könnte es vielleicht sein, wobei hier die Betonung auf 'vielleicht' liegt. Liebe urheberrechtliche Grüsse Peter \(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme & Co.
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 22. Mai 2007 21:10:11
    \(\begingroup\)Hallo, ich habe noch zwei Fehler gefunden. Und zwar steht unter Einsetzungsverfahren: Als Lösungpaar erhalten wir also x=11/7 und y=1/7, Hier müßte aber stehen: x=19/7 und y=-11/7, Ansonsten ein gut verständlicher Artikel für Schüler. Viele Grüße, Nadja\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme & Co.
    von: hugoles am: Di. 22. Mai 2007 22:03:15
    \(\begingroup\)Hallo Nadja, danke für die Aufmerksamkeit. Es wird geändert. Gruß!\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme & Co.
    von: Ernie am: Mi. 06. Juni 2007 14:26:09
    \(\begingroup\)Ich kann nur positives über diesen Artikel ausschütten. Sehr gute Arbeit, hat mir sehr gefallen. Gute Übersicht. Danke\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme & Co.
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 08. September 2007 12:43:54
    \(\begingroup\)Mann Ihr seid klasse! Ich bereite mich gerade als nicht frischer Schulabgänger (..zahle seit vielen Jahren brav Steuern) nun auf mein in kürze beginnendes BWL-Studium vor. Der Artikel ist mir dabei eine sehr große Hilfe. Vielen vielen Dank!!! 😄 \(\endgroup\)
     

     
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