\(\begingroup\)Über die Leere Menge und die Null
Das Folgende schließt an FlorianM's kürzlich erschienenen Artikel über Georg Cantor an und erweitert ihn ein Stück.1)
Die dort zitierte Definition Cantors lautet:
"Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedlicher Dinge unserer Anschauung oder unseres Denkens, welche Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen."
Problematisch wird das bei der leeren Menge. Da sie keine Elemente besitzt, paßt sie nur schlecht dazu, denn eine "Zusammenfassung" von nichts, weder von materiellen oder nur vorgestellten Dingen, ist keine Zusammenfassung.
Dieser Begriff läßt sich vermeiden, wenn man von einer Bemerkung auf der Wikipedia-Seite [1] Gebrauch macht:
"Eine Veranschaulichung des Mengenbegriffs, die Richard Dedekind zugeschrieben wird, ist das Bild eines Sackes, der gewisse Dinge enthält. Nützlich ist diese Vorstellung zum Beispiel für die leere Menge: ein leerer Sack. Die leere Menge ist also nicht 'nichts', sondern ein Behältnis, das nichts enthält."
Hiermit kommt man, von einer beliebigen anderen Menge ausgehend, zur leeren Menge, indem aus dem "Sack" nach und nach alle Dinge herausgenommen werden.
Eine Entsprechung findet dieses Vorgehen bei den Zahlen. Als in der menschlichen Entwicklung eine bestimmte Kulturstufe erreicht war, fingen Kaufleute und staatliche Behörden an, Geld- und Warenvorräte listenmäßig zu erfassen. Wenn durch fortlaufende Entnahmen ein Konto oder Magazin geleert war, ließ man in den Listen an den betreffenden Stellen zunächst einfach eine Lücke frei. Dann aber wurde es üblich, diese durch ein besonderes Merkzeichen auszufüllen, zum Beispiel einen Punkt oder Kreis. Damit war die Null geboren. (Die mittelamerikanischen Maya verwendeten für sie, so heißt es in [2], als Symbol ein leeres Schneckenhaus. Dort wird auch beschrieben, wie sie rechneten, was für sich interessant ist.)
In arabischer Schrift wird die Null noch heute durch einen Punkt wiedergegeben, während ein eiförmiges Zeichen die Fünf bedeutet:
(entnommen aus einem Briefmarkenangebot bei ebay)
Die Römer mit ihrem unhandlichen Zahlensystem kannten die Null nicht, jedoch stammt unser Wort für sie vom lateinischen "nullus", was "keiner" bedeutet. Das arabische Wort "sifr" steht ursprünglich für "leer"; es lebt als "Ziffer" bei uns und abgewandelt in mehreren europäischen Sprachen fort. Auch das englische "zero" und das französische "zéro" gehen darauf zurück.
Wann die Null "erfunden" wurde, von wem und in welchem Land, steht nicht fest; angenommen wird Indien im 5. Jahrhundert. Dagegen läßt sich die Entstehung des Begriffs "leere Menge" zeitlich und personell gut zurückverfolgen.
Vor rund hundert Jahren stellte sich heraus, daß die Cantorsche Mengendefinition zu weit gefaßt ist. Zu den "Dingen unseres Denkens" gehören zweifellos auch Mengen, deren Elemente selber Mengen sind. Insbesondere kann man sich die Menge aller nur möglichen Mengen vorstellen sowie Mengen, die sich selbst als Element enthalten. Solche Mengen führen, wie als erstem dem britischen Logiker Bertrand Russell (1872 bis 1970) auffiel, zu Paradoxien und unauslöschlichen Widersprüchen, die es zu vermeiden gilt.
Deshalb entstanden in den ersten Jahrzehnten des 20. Jahrhunderts neue
Mengenlehren, die den Begriff "Menge" gegenüber seiner Bedeutung bei Cantor einschränkten. Sie gehen axiomatisch vor und schließen dabei Mengen, die zu Paradoxien führen können, grundsätzlich aus.
"Das bekannteste System dieser Art ist die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, deren Grundlagen 1908 von E. Zermelo gelegt wurden. Die endgültige Fassung erfolgte 1922 aufgrund einer Arbeit von A. Fraenkel", liest man in [3]; dort werden noch weitere Systeme erwähnt und beschrieben.
Über die leere Menge heißt es im Zweitem Axiom des Zermelo-Fraenkel-Systems kurz und knapp: "Es gibt eine Menge ohne Elemente."
Zwischen der Null und der leeren Menge besteht in Form der beiden folgenden Gleichungspaare eine Parallele:
a + 0 = a a · 0 = 0
M U Ø = M M ∩ Ø = Ø.
Die erste Mengengleichung bringt, anschaulich formuliert, zum Ausdruck: wenn man einer Menge M die leere Menge Ø hinzufügt, so bleibt M unverändert, weil Ø keine Elemente besitzt. Umgekehrt kann man deshalb auch sagen (und tut es): Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge.
Die zweite Mengengleichung besagt, daß M und Ø disjunkt sind, d. h. keine gemeinsamen Elemente besitzen.
Diese beiden Eigenschaften zugleich hat nur die leere Menge. Bei beliebigen anderen Mengen schließen sie sich gegenseitig aus. Die leere Menge stellt also, abgesehen davon, daß sie keine Elemente hat, in dieser Beziehung etwas Besonderes dar.
Besonderheiten besitzt auch die Null. Davon ist am bekanntesten, daß sie weder positiv noch negativ ist und daß man durch sie nicht dividieren kann. Seltener begegnet man der eigentümlichen, an Absurdes grenzenden Festlegung 0! = 1. Sie ist zweckmäßig zum Beispiel bei der Taylorreihe und scheint sonst in der Mathematik nirgends zu schaden. (Damit, daß diese Festlegung nahezu absurd ist, meine ich folgendes: n! bedeutet bekanntlich das Produkt 1·2·3· … ·n, und da ein Produkt aus mindestens zwei Faktoren besteht, fallen Bezeichnungen wie 1! und 0! aus dieser Regelung heraus. Setzt man sich über sie hinweg, könnte man annehmen, daß wenn 1! = 1 gesetzt wird, 0! entsprechend gleich 0 ist - aber nein: 0! soll ebenfalls gleich 1 sein!) Nebenbei: mutig geworden, darf man nun nicht etwa auch 00 = 1 setzen, nur weil für jede von 0 verschiedene Zahl a gilt: a0 = 1 - das ist im allgemeinen falsch. Der Ausdruck 00 kommt öfter bei der Kurvendiskussion vor, und es bedarf sorgfältiger Untersuchungen, welchen numerischen Wert er im Einzelfall hat, sofern er sich überhaupt angeben läßt.2)
Noch einmal zurück zur leeren Menge. Auf der Wikipedia-Seite [4], die die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre zum Inhalt hat, lese ich mit Erstaunen, daß die mit ZF abgekürzte Version ohne das Auswahlaxiom unendlich viele Axiome verwendet.
1) Mein Beitrag ist wiederum recht allgemein gehalten und wendet sich nicht an einzelne Spezialisten, die auf dem MP hauptsächlich die Behandlung komplizierter mathematischer Themen aus dem Universitätsbereich erwarten, welche nur wenigen Leserinnen und Lesern verständlich sind. Ich erwähne das deshalb, weil mir bei entsprechender früherer Gelegenheit in unsachlicher und unhöflicher Form der Vorwurf von zuviel Schulmathematik gemacht wurde.
2) Nachtrag (6.11.06): Anders als in dem folgenden thread wird das Thema "Was bedeutet 00?" hier sehr sachlich erneut aufgegriffen, wobei ich selber einiges hinzugelernt habe.
[1] http://de.wikipedia.org/wiki/Menge_%28Mathematik%29
[2] http://www.meinblog.ch/dateien/hochkulturen.pdf
[3] http://de.wikipedia.org/wiki/Mengenlehre
[4] http://de.wikipedia.org/wiki/Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre
Hans-Jürgen
\(\begingroup\)Hi.
Zu den Fragen nach 0! und 00... das sind schlichtweg Konventionen es hat sich durchgesetzt, leeren Produkten (das ist 0! als Produkt von 0 Faktoren ja) den Wert 1 zu zuweisen, weil 1 halt das ist, "was nichts schadet" bei der Multiplikation, es ist das Neutrale Element.
Genauso hat es sich durchgesetzt, für alle a zu definieren, dass a0=1 ist, aus demselben Grunde. Es erspart die vielen Fallunterscheidungen, die man sonst bei Potenzreihen etc. hätte.
Die wenigen Fallunterscheidungen, die noch übrig bleiben, nimmt man dafür gerne in Kauf. (Ehrlich gesagt ist mir bisher im mathematischen Alltag keine Situation begegnet, wo 00=1 nicht sinnvoll wäre)
Der Einwand mit der Kurvendiskussion ist dabei allerdings unangebracht bis falsch: Dies betrifft vor allem Grenzwertbetrachtungen, die keine Bedeutung für den Ausdruck 00 haben! Nur weil ich zwei Nullfolgen habe und den Grenzwert von anbn betrachten will, mache ich noch lange nichts mit 00, das sind zwei völlig verschiedene Sachen.
Das fällt in dieselbe Sparte wie "Gleichungen" und Sprechweisen wie 1/0=unendlich etc. Das ist undefinierter, unpräziser Unfug.
1/0=unendlich ist allerhöchstens eine Veranschaulichung eines Grenzprozesses und deshalb sollte man sich - wie bei allen Veranschaulichungen - den Grenzen des Modells bewusst sein. Denn diese Anschaulichkeit versagt gerade bei Grenzwerten oft genug.
Kurzum: Was 0! und 00 ist, ist eine Frage der Definition, ihrer Akzeptanz und Sinnhaftigkeit. Nicht mehr und nicht weniger.
Und der Stand der Dinge ist einfach der, dass 0!=00=1 definiert wurde und sich durchgesetzt hat.
mfg Gockel.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo
In dem Artikel steht:
"Hiermit kommt man, von einer beliebigen anderen Menge ausgehend, zur leeren Menge, indem aus dem "Sack" nach und nach alle Dinge herausgenommen werden."
Suggeriert diese Aussage die Abzählbarkeit einer beliebigen Menge?
Viele Grüße,
Jonathan
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi Jonathan.
Es kommt drauf an, was man unter "nach und nach" versteht. Nimmt man das wörtlich, so impliziert die Aussage in der Tat die Endlichkeit jeder Menge.
Als echter Mathematiker kann aber auch unendlich oft etwas hinausnehmen, auch überabzählbar oft 😉
mfg Gockel\(\endgroup\)
von: Hans-Juergen am: Do. 02. November 2006 22:21:31
\(\begingroup\)Hi Gockel,
mich stört, offen gesagt, Deine schroffe Art.
Grenzwertbetrachtungen, die auf die Frage hinauslaufen:
"Welchen Wert hat in einem konkreten Fall der 'unbestimmte
Ausdruck' 00?" werden ja nicht nur losgelöst für sich
durchgeführt, sondern können durchaus Bestandteil von
Kurvendiskussionen sein. Wie man das macht, ob wie Du mit
Hilfe zweier Nullfolgen an, bn oder auf andere Weise -
darüber schrieb ich nichts.
Neu ist mir jedenfalls, daß es "sich durchgesetzt" hat,
a0 pauschal gleich 1 zu setzen, auch für a=0, um sich
Fallunterscheidungen zu ersparen.
"1/0=unendlich" kommt in meinem Artikel nicht vor, und was
Du gegen den Gebrauch des Wortes "Gleichung" hast, solltest
Du erst einmal erklären.
mfg (blöde Abkürzung)
Hans-Jürgen
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi Hans-Jürgen.
Entschuldige, dass das schroff rübergekommen ist, das lag und liegt nicht in meiner Absicht.
Der Ausdruck 00 ist i.A. eben nicht unbestimmt. Er ist so gut wie immer mit 1 definiert: Es ist in der Analysis, in der Kombinatorik, in der Mengenlehre, in der Algebra immer so, dass die Definition 00=1 anderen vorgezogen wird.
Das liegt u.A. daran, dass mit 00=1 die allgemeinen Potenzgesetze (damit meine ich diejenigen für ganzzahlige Exponenten) für alle Basen uneingeschränkt gültig sind (siehe nächste Kommentare), während man sonst für die Basis 0 immer eine Ausnahme machen müsste.
Grenzwertbetrachtungen laufen im Reellen immer auf Folgen hinaus bzw. sind äquivalent zu einer Folgenbetrachtung des Ganzen:
Sei D\subseteq\IR. Für jede Funktion F: D->\IR und einen Häufungspunkt a\el\ D^- gilt:
F(x) konvergiert für x->a gegen y <=> für jede Folge ((x_n)) in D gilt (x_n->a)=>F(x_n)->y
Ob man also einen Folgengrenzwert oder einen sonstigen Grenzwert betrachtet, ist im Reellen (und Komplexen ebenfalls) gleichwertig.
Ich habe das 1/0=unendlich nicht aus deinen Artikel entnommen, sondern als Vergleich herangezogen. Die Argumente, die 00 mit Hilfe von Grenzwertbetrachtungen aller Art, "berechnen" wollen, machen denselben Fehler wie die "durch 0"-Betrachtungen: Es wird versucht, von der Anschauung, d.h. von der Vorstellung, dass Stetigkeit in irgendeiner Form die natürliche Lösung sei, etwas Handfestes zu folgern.
Daher kommt auch die Vorstellung, 00 "müsse" unbestimmt sein, da man diverse verschiedene reelle Zahlenfolgen finden kann, die anschaulich einem Grenzwert vom "Typ" 00 entsprechen.
Ein solcher Grenzwert hat wie gesagt nichts mit der eigentlichen Zahl 00 zu tun. Der Grenzwert ist eben ein Grenzwert, er beschreibt ein Asymptotisches Verhalten, etwas das "ausgedehnt" auf der Zahlengerade ist. 00 als Zahl ist nur ein einzelner Punkt.
mfg Gockel, der diese Abkürzung liebgewonnen hat. :)\(\endgroup\)
von: Hans-Juergen am: Fr. 03. November 2006 01:24:18
\(\begingroup\)Hi Gockel,
danke für Deine ausführliche Antwort.
Wenn die Potenzgesetze, insbesondere das Gesetz
am-n=am/an, für alle Basen einschließlich 0 gelten sollen,
gilt auch 0m-n=0m/0n. Für m=n=1 folgt daraus 00=0/0.
Interessant!
Wird zusätzlich 00=1 definiert, könnte man rechnen:
2=1+1=1+0/0=1*1+0/0=1*0/0+0/0=(1*0)/0+0/0=(1*0+0)/0=0/0=1|,
\mixoff
was falsch ist. Wo steckt der Fehler?
Und noch eine Frage: Was ist an dem Begriff "Gleichung" zu beanstanden?
Herzlichen Gruß,
Hans-Jürgen
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi nochmal.
Ich muss mich entschuldigen, ich habe oben leider Mist gebaut. :(
Ich hätte genauer erläutern, welche Potenzgesetze ich meine, und bei "ganzzahlig" hab ich mich auch noch verschrieben. Ich habe von vorn herein zu algebraisch gedacht.
Korrekterweise lauten die Potenzgesetze, auf die ich mich bezog, so:
a^(n+m)=a^n*a^m
(a^n)^m=a^nm
a^n*b^n=(ab)^n
Dies gilt für alle reellen a,b und natürliche n,m. Wenn a invertierbar ist \(im Reellen heißt das also nichts anderes als ungleich 0\), dann sind alle a^n invertierbar und man kann a^(m-n)=a^m/a^n aus den obigen Gesetzen ableiten.
Das wird dann als Motivation genommen, durch a^(-n):=(a^n)^(-1) die Potenzierung für beliebige ganzzahlige Exponenten zu erweitern. Die obigen Potenzgesetze einschließlich des "Neuen":
a^(m-n)=a^m/a^n für a!=0
bleiben dabei gültig.
Meine Bemerkung zu den Potenzgesetzen müsste also auf die ersten drei eingeschränkt werden, da das vierte tatsächlich für die 0 nicht konsistent ist.
Der Knusen an der Geschichte: Potenzierung ist rekursiv definiert durch
a^0:=1, a^(n+1)=a^n*a
Wollte man 0^0 einen anderen Wert zuweisen, müsste man also schon bei der Definition mit den Ausnahmeregelungen anfangen. Die würden sich dann in der Analysis, Mengenlehre, etc. fortsetzen:
Beispiel: In der Mengenlehre ist z.B. \0^\0 = {\0}. Die Potenz \(A^B ist die Menge aller Abbildungen B->A\) zweier 0-elementiger Mengen ist eine einelementige Menge. Das ist an dieser Stelle keine Definition sondern ein beweisbarer Satz.
Würde man 0^0!=1 definieren oder es völlig undefiniert lassen, dann hätte man die schöne Beziehung abs(A^B)=abs(A)^abs(B) zerstört bzw. vollkommen unnötig verkompliziert.
Analog kann man das fortsetzen, die Definition 0^0=1 ist einfach unglaublich sinnvoll, eine andere Definition oder gar keine würde viele Themengebiete verkomplizieren.
Natürlich verhält sich die 0 trotzdem eigensinnig, das wird ihr 0^0:=1 nicht abgewöhnen können, aber die "Ausnahmeregelungen" würden eben deutlich zunehmen, wenn man 0^0:=1 wegließe.
Daher hat sich diese Definition in allen Quellen, die ich in den letzten zwei bis drei Jahren gelesen habe \(und das waren etliche hundert, wenn nicht schon mehrere tausend\), durchgesetzt.
Die Frage nach 1/0 ist die umgekehrte Variante: Es hat sich als viel zu umständlich erwiesen, 1/0 einen sinnvollen Wert zuweisen zu wollen.
Wichtige Axiome der Addition und Multiplikation \(0=\inf*0=1/0*0=1 ?\) verlieren ihre Gültigkeit, wenn man 1/0 eine reelle Zahl zuweist; sie müssen unnötig verkompliziert werden, wenn man neue Symbole wie \inf und -\inf einführt, um damit zu rechnen.
Daher hat man sich in diesem Fall dafür entschieden, 1/0 undefiniert zu belassen, da die Division eben nur durch von 0 verschiedene reelle Zahlen wirklich schön ist.
\(Allgemeiner führt die Annahme, 0 wäre invertierbar zur Gleichung 1=0 und damit allgemeiner x=0 für alle Ringe und Elemente x dieser Ringe. Da man aber gerne spannendere Ringe als {0} untersucht, kann 0 in den anderen nicht invertierbar sein, das würde die grundlegenden Ringaxiome verletzen\)
Das Wort Gleichung ist im Zusammenhang mit der Zeichenkette 1/0=\inf also dahingehend mit Vorsicht zu genießen, dass 1/0 oftmals gar nicht definiert ist. Als "Gleichung" würde ich das also nicht bezeichnen wollen. Der Ausdruck 1/0 ist für mich völlig sinnlos in diesem Kontext.
Etwas anderes ist es, wenn man in speziellen Themengebieten arbeitet, wo halt die Grenzprozesse eine große Rolle spielen. Dann definiert__ man oft 1/0:=\inf, aber das ist auch wieder keine Gleichung an sich, sondern eine Definition. Das Wort "Gleichung" impliziert für mich viel zu sehr, dass mit \inf gerechnet werden kann wie mit anderen Zahlen.
Das wird zwar immer mal wieder gerne gemacht, ist aber falsch. \inf ist nicht wie andere Zahlen, man muss höllisch aufpassen, sonst kommen eben Folgerungen wie 1=\inf*1/\inf=\inf*0=0 dabei heraus. Das ist eben der Unterschied zwischen einer sauberen Definition und Anschaulichkeits\-Gewäsch.
mfg Gockel.\(\endgroup\)
von: Hans-Juergen am: Sa. 04. November 2006 00:09:06
\(\begingroup\)Hi,
das, was in meinem Artikel im Zusammenhang mit der Kurvendiskussion kurz zum Ausdruck gebracht werden sollte, ist eigentlich nur Folgendes: Wenn ein Funktionsterm die Form einer Potenz hat, f(x)=g(x)h(x), und an einer bestimmten Stelle x sowohl f(x) wie g(x) gleich Null werden, hat man den Ausdruck 00 vor sich, dessen numerischer Wert im allgemeinen nicht sofort zu erkennen ist. Mit Hilfe geschickter Umformungen und Anwendung von Regeln (L'Hospital) versucht man ihn deshalb zu bestimmen, und zwar als Grenzwert für unbeschränkte Annäherung an die bewußte Stelle. Dabei zeigt sich, abhängig vom jeweils untersuchten Funktionsbeispiel, daß der erhaltene Grenzwert 0 sein kann, aber auch gleich jeder anderen positiven oder negativen Zahl und sogar unendlich wird. Es ist deshalb in diesem Zusammenhang, d. h. bei der Funktionsuntersuchung, nicht zulässig, 00 einfach gleich 1 zu setzen. Mehr wollte ich in dem Artikel nicht sagen.
Unberührt davon bleibt, daß es in anderen Gebieten der Mathematik sinnvoll und zweckmäßig sein kann, 00=1 zu verabreden. Nur ist das dann kein Ergebnis irgendeiner Rechnung, sondern reine Konvention. Es empfiehlt sich bei den betreffenden Anwendungen, zumindest einmal deutlich darauf hinzuweisen. Andernfalls wird, was auch im Internet zu verfolgen ist, immer wieder gefragt, ob denn nun 00 "wirklich" gleich 1 ist und wenn ja, warum, und wie man sich das zu erklären hat. Gerade nachdenkliche Schüler, die den Dingen auf den Grund gehen wollen und nicht alles als selbstverständlich hinnehmen, neigen zu solchen Fragen.
Hans-Jürgen
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi Hans-Jürgen.
Anscheinend bist auch du dem "Veranschaulichungswahn" anheim gefallen. In diesem Fall in Form der Grenzwertbetrachtungen. Nur weil f(a)=g(a)=0 ist, geht f(x)g(x) für x gegen a noch lange nicht gegen 00. Das sind zwei völlig verschiedene Sachen. Die Grenzwertbetrachtung hat mit dem Wert von 00 nichts, aber auch wirklich gar nichts zu tun.
Ein Grenzwert beschreibt das Verhalten von Funktionen/Folgen in einer Umgebung um einen Punkt. Das ist absolut unabhängig von dem Wert an dem Punkt selbst.
Nur für in a stetige Funktionen gilt y(x) geht gegen y(a) wenn x gegen a geht.
Es besteht keine Veranlassung dazu, den Wert von 00 mit irgendwelchen stetigen Funktionen in Verbindung zu bringen. Vor allem, wenn man bedenkt, dass die stetigen Funktion absolut in der "Minderheit" sind.
mfg Gockel.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Nun, was folgt u.a. aus Gockels 'Kritik' an Hans-Juergens Veranschaulichungen weiter ?
Wenn -es steht wohl nicht sicher fest- die Veranschaulichung der
Zusammenfassung einer Menge 'durch einen gefüllten Sack' auf
Richard Dedekind zurückgeht, dann war eben Richard Dedekind
ein 'Veranschaulichungs-Wahnsinniger'.Von Felix Klein ist
sicher bekannt, dass er sich stark für Anschaulichkeit in der
Mathematik eingesetzt hat. Also muss er auch ein 'Veranschaulichungs-
Wahnsinniger' gewesen sein. Oder? Reizende Gesellschaft!
Und solche Typen prägten zu ihren Zeiten die Entwicklung der
Mathematik.
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi.
Du hast mich offenbar missverstanden. Es geht nicht um Kritik der Anschauung an sich. Sie ist auch für mich ein wichtiges Mittel zur Ideenfindung.
Das Problem ist, dass viele sich nicht der Grenzen der Anschauung bewusst sind, darauf will ich hinaus. Begründungen, die - offen oder versteckt - durch Anschauung argumentieren, funktionieren einfach i.A. nicht.
Es ist aber nunmal nicht jede Geometrie eine euklidische, nicht jeder Vektorraum ist endlichdimensional und nicht jede Funktion ist stetig, auch wenn uns das die Anschauung vorgauckelt.
Wenn man Mathematik betreiben will, braucht man nunmal vernünftige Beweise. Allein mit Anschauungsobjekten ist das aber einfach nicht machbar, denn prinzipiell wird zuviel vorausgesetzt, als "intuitiv klar" angenommen etc.
Das ist es, worauf ich hinaus will. Anschauung und Intuition sind sehr nützliche Hilfsmittel, die ich keinesfalls aus der Mathematik verbannen will, aber sie taugen einfach nicht als Beweismittel.
mfg Gockel.
P.S.: Das wusste bestimmt auch Dedekind. Von ihm stammt schließlich die erste formale Definition der reellen Zahlen. Vorher waren die reellen Zahlen nur anschaulich durch "Punkte auf einer Geraden" charakterisiert worden.
P.P.S.: Klein hat sich intensiv mit nichteuklidischen Geometrien beschäftigt. Das ist teilweise auch weit entfernt von anschaulicher Geometrie.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi,
der Begriff 'Veranschaulichungs-Wahn' stammt zweifelsfrei von
Dir. Er steht nicht im Brockhaus und vielleicht wird er ja das 'Unwort 2006'.
Aber bis dahin ist es unbestritten Deine Aufgabe den Begriff
und seine Grenze zu definieren. Als Schöpfer dieses Begriffes
bist Du -vermute ich mal- kompetent auf diesem Gebiet; nur so
ist Dein vorhergehender Kommentar zu interpretieren und zu würdigen. Dann los!!
Der Planet freut sich über Spezialistenwissen.
P.S. Dann beschäftige Dich einmal mit Felix Klein, seiner Biografie
und seinen Arbeiten und Du wirst mehr als nur nichteuklidische
Geometrie finden.\(\endgroup\)
von: shadowking am: Sa. 04. November 2006 15:45:20
\(\begingroup\)Hallo zusammen,
eigentlich wollte ich mich nicht zur Sache einmischen, da Gockel das schon vorbildlich tut.
Peter (weserus), inwiefern tut Dein Kommentar von 15:31 etwas zur Sache?
Warum muss man sich mit ironischem Vergnügen über jemanden hermachen, der sich bemüht, die Dinge klarzustellen? Offensichtlich passt Dir das Wort "Veranschaulichungs-Wahn" nicht, und dafür willst Du ihn jetzt niedermachen, anstatt zu akzeptieren, dass Alter nicht immer mit Weisheit korreliert.
Tut mir Leid, aber was Hans-Jürgen und Du da betreibt, ist nicht Mathematik, sondern Eristik. Es geht Euch nicht darum, Recht zu haben, sondern Recht zu behalten. Eine déformation professionelle?\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi weserus.
"Traue keinem Wort, das du nicht selbst aus dem Kontext gerissen hast" 😉
Bitte fang nicht mit solcher Wortklauberei an. Wir haben oft genug im Forum erfahren, dass das die Diskussion total ausarten lassen kann.
Das zusammengesetzte Substantiv (nicht jedes mögliche deutsche Wort steht im Duden, Brockhaus o.Ä. schon drin!) "Veranschaulichungswahn" habe ich nie völlig losgelöst benutzt, sondern im Kontext Hans-Jürgens und meiner vorangegangenen Kommentare. In diesen Kommentaren ist von mir mehrmals deutlich gemacht worden, auf was ich mich beziehe.
Nicht zuletzt in meinem letzten Kommentar habe ich das ausdrücklich gesagt.
mfg Gockel.
P.S.: Ich habe nie gesagt, dass Felix Klein nur nichteuklidische Geometrie betrieben hat. Ich wollte nur deutlich machen, dass er keineswegs so rein anschaulich orientiert war, wie man es aus deinem Kommentar hätte herauslesen können.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@shadowking:
Ich bin der Auffassung, dass Gockel kompetent genug ist, um seinen
mathematischen Standpunkt ohne den -von ihm geschaffenen- Begriff
des 'Veranschaulichungswahn' verwenden zu müssen. Gleichwohl hat er
ihn kreiiert und mit negativer Kritik grundlos eingesetzt.
Ich will 'ihn nicht niedermachen' und lasse mir auch nicht von Dir vorschreiben,
was ich zu akzeptieren habe. Diese Zeiten waren mit dem
November 1989 vorbei.
Auch im Weiteren liegst Du selbst verständlich falsch; richtig ist
nur, dass ich nicht verstehe, was der Begriff 'Veranschaulichungs-
wahn' mit Mathematik zu tun hat. Erkläre Du es mir!
\(\endgroup\)
von: shadowking am: Sa. 04. November 2006 16:45:47
\(\begingroup\)Wer nicht verstehen will, muss alle diffamieren, die anderer Meinung sind als er selbst. Egal wie gut diese ihren Standpunkt begründen. Die richtige Haltung, der richtige Glaube, das richtige Parteibuch werden wichtiger als das bessere Argument.
Es ist ja sooo leicht, andere in eine schwarze oder weiße, linke oder rechte, gute oder böse, irgendeine Ecke zu stellen als auf Argumente zu hören oder gar selbst welche vorzubringen. Das ist es, was mich an überwunden geglaubte Zeiten erinnert.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo!
Die Diskussion gleitet mal wieder in Nebensächlichkeiten ab (zum Beispiel in den Streit über vielleicht etwas unvorsichtig verwendete Begriffe, die aber im Zusammenhang erläutert und damit entschärft wurden, also nicht weiter diskutiert werden müssen). Ich kann bei Gockels erstem Beitrag nichts Schroffes entdecken, beim besten Willen nicht. Wenn man seine Beiträge regelmäßig hier im Forum liest, ist der Vorwurf ihm gegenüber wirklich völlig absurd. Inhaltlich ist den Ausführungen von Gockel nichts hinzuzufügen. Im Gegenteil, vieles davon (aus dem Bereich der Mengenlehre und ihren Konventionen) wusste ich nicht und ich freue mich etwas gelernt zu haben. Danke dafür! 😄
Liebe Grüße
Stefan\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@Peter:
Norbert liegt "selbstverständlich" falsch? Das kann doch wohl nicht dein Ernst sein!?
Warum du dich so darüber aufzuregen scheinst, dass ich ein neu geschaffenes Wort benutze, ist mir unverständlich. Es ist nunmal im Deutschen erlaubt und vollkommen üblich, aus vorhandenen neue Wörter zusammenzusetzen. Ich bin mir aber sicher, dass du nicht andeuten wolltest, ich hätte mich für die Verwendung der deutschen Sprache in meinen Kommentaren zu rechtfertigen...
Des Weiteren habe ich "meinen" neuen Begriff nicht grundlos eingesetzt. Der Grund ist einfach: Mir fiel schlicht kein besseres Wort ein. Wenn du eines kennst, dann bitte ich dich, es mir zu sagen. Ich bin sehr gerne bereit, ein passenderes Wort zu benutzen.
Warum ich dieses Wort nicht zur Kritik einsetzen sollte, ist mir allerdings schleierhaft, denn genau das ist doch meine Absicht:
Kritik zu üben an der Vorstellung, die manche Leute von Ausdrücken wie 0!, 00 und 1/0 haben und den unmathematischen Argumenten, die in diesem Zusammenhang viel zu oft auftreten.
Genau darum geht es doch in dieser Diskussion!
Ich wünschte, wir könnten uns wieder dem eigentlichen Thema widmen, denn ich kann Norberts Vorwurf der Eristik schon nachvollziehen: Deine Kommentare vermitteln nicht den Eindruck, dass es dir um dieses Thema ginge. Es erscheint viel mehr so, als ob es dir um das Diskutieren an sich ginge. Und dafür ist mir meine Zeit einfach zu schade. Ich diskutiere gerne über das eigentliche Thema, aber ich werde mich nicht weiter dafür rechtfertigen, wie ich diskutiere. Zumal ich mir die größte Mühe gebe, nicht ein missverständliches Wort zu benutzen und so sachlich wie möglich zu bleiben.
mfg Gockel.
P.S.:
"Eigentlich wollte ich mich nicht zur Sache einmischen, da Gockel das schon vorbildlich tut."
"Im Gegenteil, vieles davon (aus dem Bereich der Mengenlehre und ihren Konventionen) wusste ich nicht und ich freue mich etwas gelernt zu haben. Danke dafür! :-)"
Vielen Dank, Norbert und Stefan, für die freundlichen Worte. :)\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi Johannes,
lies Dir bitte Deinen Kommentar vom 04. November 2006, 01:15:26
noch einmal durch 'und denke Dir den 1. Satz als entfallen'.
Ich behaupte, dass Du diesen Satz für Deine mathematische Argumentation nicht benötigst.
Andernfalls sehe ich gern Deiner sachlichen Begründung entgegen.
Stefan hat grds. Recht, wenn er meint, dass diese Diskussion
sich mit einer Nebensächlichkeit befasst; anderseits habe ich nicht
vergessen, das wir erst vor kurzer Zeit eine 'Kritik-Diskussion'
geführt haben und dann daraus offensichtlich nichts gelernt haben,
wenn wir bestimmte 'Stilarten' beibehalten.
Peter \(\endgroup\)
\(\begingroup\)@Peter:
Ich hätte keines der dort vorkommenden Worte für meine mathematische Argumentation gebraucht, sie ließe sich z.B. auch so formulieren:
\forall\e>0: \not(\forall\ f,g\el\IR^(-\e,+\e): f(0)=g(0)=0 => lim(x->0,f(x)^array(g(x))=0))
Aber was tut das zur Sache? Zum einen geht es mir nicht ausschließlich um den mathematischen Fakt, sondern insbesondere auch um den Umgang mit selbigem. Zum anderen war und ist es völlig unnötig, sich an meiner Wortwahl aufzuhalten, zumal sie durch den Kontext absolut unspektakulär wird.
mfg Gockel.
EDIT (18:00)
Tut mir leid, dich so vor den Kopf zu stoßen, Peter, aber ich werde mich ab jetzt nicht mehr an dieser sinnlosen Debatte um ein einzelnes Wort beteiligen.
Es ist für mich durchaus gerechtfertigt, es in diesem Kontext so zu benutzen, wie ich es tat.
Da du keine für mich erkennbaren Versuche unternommen hast, Kompromissvorschläge zu machen oder wenigstens zu verständlich erläutern, warum ich meine Kritik nicht mit diesem Wort ausstatten darf, werde ich hier nur noch zum eigentlichen Thema antworten und der Debatte keine Chance geben, in einen Flamewar auszuarten.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi Johannes,
gut, einverstanden, Dein 1. Satz war unnötig (So sehe ich das
auch).
Gut, einverstanden, aus Deinem Kontext folgte, dass Dein 'Unwort'
unspektarkulär wurde und folglich war mein weiterer Kommentar
zu Dedekind und Klein gleiches.
Gruss Peter
P.S. Übrigens, wer mich vor den Kopf stossen will, der muss
erst noch geboren werden. Also bitte keine Sorge.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)In dem Artikel steht doch, dass es nicht so leicht ist 0^0 zu definieren und genau das bestätigt sich doch bei diesen Hahnenkämpfen hier in den Kommentaren.
Ach ja übrigens 0^0 kommt gerade mal in einem Satz des Artikel vor und hat dementsprechend wenig mit dem Artikel zu tun.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Tonar!
Nein, das steht nicht in dem Artikel. Es steht dort:
"darf man nun nicht etwa auch 0^0 = 1 setzen, nur weil für jede von 0 verschiedene Zahl a gilt: a^0 = 1 - das ist im allgemeinen falsch."
Eine Definition kann nicht falsch sein, vor allem nicht "im allgemeinen", höchstens unplausibel. Aber 0^0=1 ist plausibel.
"Der Ausdruck 0^0 kommt öfter bei der Kurvendiskussion vor, und es bedarf sorgfältiger Untersuchungen, welchen numerischen Wert er im Einzelfall hat, sofern er sich überhaupt angeben läßt."
Der Ausdruck 0^0 kommt nicht [im gemeinten Sinne] in Kurvendiskussionen vor. Was gemeint war, hat Gockel erläutert [eben entsprechende Grenzwertbetrachtungen], aber das hat nichts mit der Definition von 0^0 zu tun. Es wird 0^0:=1 gesetzt, und dies hat nichts mit Betrachtungen der Art lim((x,y)->(0,0)) x^y zu tun. Die Funktion (x,y) -> x^y ist halt in (0,0) nicht stetig, aber das ist kein Drama, sondern ein völlig natürliches Phänomen, dass diese Funktion mit vielen anderen Funktionen teilt.
Auf diese inhaltlichen Fehler wurde aufmerksam gemacht, und das war auch richtig so. Wenn das nicht mehr erlaubt ist, braucht man zu Artikeln gar keine Kommentare mehr zu verfassen. Die Diskussion, die darüber hinaus geführt wurde, war hingegen überflüssig.
Liebe Grüße
Stefan\(\endgroup\)
von: NotInterested am: So. 05. November 2006 13:20:20
\(\begingroup\)Hallo,
Alter korreliert nicht immer mit Weisheit, aber in der Regel mit Erfahrung, die man als eine Art "Weisheit" im praktischen Sinne betrachten darf. Bei allem Respekt vor mathematischen Diskussionen, ich finde eine solche Aussage in dem Kontext unverschämt und ich finde es unmöglich, dass der Autor gezwungen wird seinen Artikel wie Versicherungsverträge mit kleingedrucktem zu versehen, obwohl es ja offensichtlich ist, dass es sich um einen Artikel für Schüler/Interessierte handelt und Schüler müssen nun mal klein anfangen. Das muss wirklich nicht sein.
mfg
NotInterested
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo NotInterested!
Der Autor wurde doch nicht dazu gezwungen das Kleingedruckte hinzuzufügen.
Ich stimme mit dir überein, dass die Aussage mit dem "Alter" und der "Weisheit" so in der Form nicht in Ordnung war. Auch stimme ich überein, dass Artikel für Schüler häufig didaktische Reduktionen notwendig machen, die unter Umständen zu mathematischen Fehlern führen können. Diese Erfahrung muss ich selber andauernd machen. Aber es muss möglich sein bei einem Kommentar auf diese Fehler hinzuweisen, ohne dass man dafür der Schroffheit bezichtigt wird, wenn man argumentativ dem Artikel entgegnet, wie Gockel es getan hat. Denn wenn didaktische Reduktionen zu mathematischen Missverständnissen bei Schülern führen, sind sie sogar schädlich. Dieser Gefahr darf man doch noch begegnen.
Liebe Grüße
Stefan\(\endgroup\)
von: NotInterested am: So. 05. November 2006 14:11:39
\(\begingroup\)Hallo Stefan72,
ich habe gesagt: "Bei allem Respekt" und das meine ich auch so, ich weiß es zu schätzen, dass hier Experten sind, so ist das nicht.
Ich habe den Eindruck gehabt das Kleingedruckte wäre nachträglich eingefügt worden, aber unabhängig davon, ob das so ist oder nicht, das muss wirklich NICHT sein, dass man sich darin rechtfertigen muss, (lies mal das kleingedruckte) man kann das Fachliche auch in den Kommentaren austragen. Als Überschrift steht ja nirgends "Nur für Profis".
lg
NotInterested
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo NotInterested!
Das Kleingedruckte wurde nicht nachträglich ergänzt, nein.
Lass uns das Gemeinsame hervorheben: Es soll nach wie vor möglich sein und ist sinnvoll, für Schüler, didaktisch motiviert, fachlich reduzierte Artikel zu schreiben. Nicht jeder Artikel muss höchstes mathematisches Niveau erreichen. Die Schülerbeiträge von Florian zum Beispiel finde ich alle sehr gut, auch wenn sie inhaltlich zum Großteil Standard in der Literatur sind. Dennoch halte ich sie für wertvoll, da auf diese Weise hier viel mathematisches Know-How auf dem Matheplaneten thematisch geordnet und schön verpackt gesammelt wird. Ich gehöre also nicht zu denjenigen, die hier bei jedem Artikel hohes Niveau einfordern und andere Artikel für überflüssig halten, ganz im Gegenteil.
Aber es sollte auch im Interesse aller sein, dass sich Artikelschreiber von mathematischen Experten (zu denen ich Gockel zähle, mich selber nur mit Abstrichen) auf mathematische Fehler hinweisen lassen und diese dann anschließend auch in ihren Artikeln verbessern. Ich selber freue mich, wenn ich von mathematisch besser Bescheid wissenden Menschen korrigiert werde, denn dadurch lerne ich ja etwas. Im einen oder anderen Fall sollte die Wortwahl bei einer solchen Kritik vielleicht manchmal etwas überdacht werden, im vorliegenden Fall finde ich, dass anfangs von Hans-Jürgen bezüglich der Kritik von Gockel etwas überreagiert wurde, aber ich nehme an, dass dies auch als Folgereaktion auf frühere Diskussionen zu werten ist. Spätere Beiträge in diesem Thread hingegen waren von der Wortwahl her verletzend und nicht in Ordnung; ich werde sie jetzt nicht nochmals benennen.
Anonyme Kritiken sind zu unterlassen und sollten meiner Meinung nach grundsätzlich nicht möglich sein. Es fällt auf, dass anonyme Beiträge in der Regel unqualifiziert und verletzend sind.
Liebe Grüße
Stefan\(\endgroup\)
von: NotInterested am: So. 05. November 2006 22:58:24
\(\begingroup\)Hallo Stefan72,
ja, ich habe deinen Beitrag klar gelesen. Wie ich weiter oben schon bereits sagte, man kann das fachlich austragen, ergänzen, erweitern oder richtigstellen, aber tut mir leid für solche Aussagen habe ich keinerlei Verständnis. Das entartet wieder in ein 2-Klassen-Artikel-System (als ob das je in Frage gestanden hätte).
lg
NotInterested
\(\endgroup\)
von: calabi-yau am: Mo. 06. November 2006 01:01:20
\(\begingroup\)Ich wollte dazu eigentlich nichts sagen, aber nachdem jetzt ein Kommentar gelöscht wurde, muss ich es doch. Ich finde das grenzt an Zensur, schon deshalb weil, soweit ich mich an den anynomen Kommentar erinnern konnte, jener sehr objektiv verfasst wurde. Der Autor stellte lediglich fest, dass sich Hans-Jürgen von Gockels Beiträgen möglicherweise persönlich angegriffen fühlte und deshalb an der Diskusion nicht mehr teilnimmt. Nun, offenbar ist letzteres tatsächlich der Fall.
Solch einen Kommentar zu löschen, nur weil er anonym verfasst wurde, finde sehr daneben. Vielmehr sollte man, falls anonyme Kommentare nicht erwünscht sind, diese von vornherein nicht ermöglichen. Ist es das doch, so hat man das Recht auch diese Möglichkeit zu nutzen.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@calabi-yau: Ich habe den anonymen Kommentar gelöscht, weil er dem einen Recht gab, dem anderen Unrecht. Weil nicht alle diese Sicht des Anonymen teilten, erhielt ich bereits Änderungswünsche. Ich sah mich nicht in der Lage, einen anonymen Kommentar im Sinn umzudrehen. Ich finde aber, daß hier das volle Meinungsspektrum bereits durch die anderen mit Namen vertreten wird, so daß es nicht nötig ist, auch noch über einen anonymen Beitrag zu diskutieren.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Hans-Jürgen!
Dein zweite, nachträglích hinzugefügte Fußnote, zeigt Größe. Respekt! So wünsche ich es mir: Sachliche, respektvolle Kritik der Leser und die Bereitschaft des Artikelschreibers diese Kritik anzunehmen und selber hinzuzulernen.
Liebe Grüße
Stefan\(\endgroup\)
von: KlausLange am: Di. 07. November 2006 09:25:25
\(\begingroup\)Die Aussage:
"Problematisch wird das bei der leeren Menge. Da sie keine Elemente besitzt, paßt sie nur schlecht dazu, denn eine "Zusammenfassung" von nichts, weder von materiellen oder nur vorgestellten Dingen, ist keine Zusammenfassung."
Verstehe ich nicht. Ich finde die darin aufgestellte Behauptung "denn eien Zusammenfassung von nichts ... ist keine Zusammenfassung" nicht begründet.
Denn:
"Nichts" wird genau dadurch zusammengefasst, in dem ich feststelle, dass es keine Zusammenfassung mit anderen "materiellen oder nur vorgestellten Dingen" gibt. Ich erhalte also gerade durch die Verneinung eine Abgrenzung zu all den anderen Zusammenfassungen, die es gibt und habe somit eine negierte Zusammenfassung zu allen möglichen "Dingen". Aufgrund dieser Negation taugt ja gerade die leere Menge hervorragend als Abgrenzung zweier Mengen voneinander, in dem man eine leere Schnittmenge in Bezug zu den betrachteten Mengen erhält. Darin kann ich schon eine "Zusammenfassung" erkennen.
Es ist also nicht zu Fragen, was denn die "leere Menge" sein soll, sondern eher, was eine Zusammenfassung ist, wenn man behauptet, etwas sei keine Zusammenfassung.\(\endgroup\)
von: Hans-Juergen am: Di. 07. November 2006 20:02:39
\(\begingroup\)Hallo Klaus,
den Ausdruck "Zusammenfassung" verwendete ich in seiner natürlichen,
landläufig gebräuchlichen Weise und ging davon aus, daß auch Cantor dies tat.
Was ich meine, sei an folgenden Beispielen erklärt: Am Beginn einer wissenschaftlichen Arbeit steht häufig eine kurze Zusammenfassung ihres Inhalts; ein Redner sagt am Ende seines Vortrags "ich fasse zusammen" (und wenn er jetzt schwiege, käme das bei seinem Publikum nicht gut an); eine Inventarliste faßt Gegenstände zusammen, eine Gesetzessammlung Gesetze.
Nichts besonderes also, im Gegensatz zu Deiner Interpretation des Begriffs "Zusammenfassung". Ich bleibe dabei: wenn nichts vorhanden ist, kann man es auch nicht zusammenfassen.
Gruß,
Hans-Jürgen
\(\endgroup\)
von: NotInterested am: Di. 07. November 2006 21:20:18
\(\begingroup\)Hallo Klaus,
Nichts ist deshalb nichts, weil wenn Nichts auch etwas wäre, dann wäre es nicht mehr nichts, sondern etwas, das ich als Nichts betrachte bzw. als etwas, dem ich den Namen Nichts gebe, aber es ist immer noch Nichts. Und wenn ich dir nichts gebe, dann hast du nicht etwas oder das Nichts oder das Etwas als Nichts, sondern nichts, sofern schließe ich mich Hans-Jürgen's Meinung an. Im übrigen freut mich, dass die Diskussion wieder fachlich wird. 😄
lg
NotInterested
\(\endgroup\)
von: KlausLange am: Mi. 08. November 2006 10:01:48
\(\begingroup\)Doch genau darauf will ich hinaus:
Wenn ich nichts bekomme, dann kann ich das, was ich erhalte zusammenfassen mit Nichts.
Schreibe ich einen Artikel, der nichts enthält, dann stelle ich folgende Zusammenfassung voran:
[Zusammenfasssung]
[/Zusammenfassung]
Sie enthält halt nichts, genau wie der Artikel.
Die leere Menge ist eben deswegen aber nicht mit der Null gleichzusetzen, weil das von mir beschriebene Abgrenzbarkeitskriterium nicht erfüllt ist:
Sei n aus N, dann ist n zu n+1 dadurch abgegrenzt, dass n+1 - n = 1 ist und nicht 0. Weil ja 0 als neutrales Element der Addition gilt
mit n + 0 = n.
Mit anderen Worten, während die leere Menge durch einen geeigneten Durchschnitt bestimmter Eigenschaften eine Abgrenzung zweier Mengen vorzunehmen vermag, kann das die 0 als Zahl nicht. Im Gegenteil, sie stellt die Gleichheit zweier Zahlen a und b durch a + 0 = b fest.
Haben wir eine Eigenschaft e aus der Menge A oder B, dann zeigt die Schnittmenge {} an, dass A nicht gleich B bezüglich der Eigenschaft e ist.
Wir kommen hier auch zur Abgrenzungs- und Abzählbarkeitsdiskussion zum Artikel von trunx "Primzahlen und chemische Elemente".
Auf der anderen Seite fasst natürlich auch die 0 etwas zusammen, denn jedes Ergebnis einer Rechenoperation oder allgemeiner eines Prozesses ist ja die Zusammenfassung dieses Prozesses.
So ist die Zusammenfassung der Operation - für n x n eben gerade
n - n = 0 und so auch die leere Menge als Zusammenfassung einer Durchschnittsbildung zu einer bestimmten Eigenschaft von mehreren Mengen.
Hier gebrauchen wir das Wort "Zusammanfassung" wieder landläufig:
Unter Zusammenfassung kann man ganz gebräuchlich das Ergebnis eines Tätigkeitsprozesses betrachten.
\(\endgroup\)
von: NotInterested am: Mi. 08. November 2006 13:20:02
\(\begingroup\)Die leere Menge enthält keine Elemente, also enthält sie nichts. Man kann ohne Schwierigkeiten (ein)sehen, dass M\union\ \0 = M und M \cut\ \0 = \0
Aber du sagst, ich bekomme etwas, nämlich nichts als ein Etwas, somit ist nichts auch etwas, das stimmt nicht. Du bekommst nur das abstrakte Konstrukt \0.
Genauso gut könnte man hinschreiben M\union\ = M und M \cut\ =
Aber dann sieht man nicht unbedingt, was gemeint ist. Wenn man ein Hilfsmittel für die Logik baut, heißt es noch lange nicht, dass Nichts jetzt auf einmal auch reel Etwas sein muss, denn dann wäre alles Etwas und dann werfe ich das Nichts über Bord.
Ich kann keinen direkten Zusammenhang zwischen der leeren Menge und der Null im Artikel lesen.
Etwas kann alles mögliche sein, Aspirin, eine Batterie, Sonnencreme oder ein Auto, das kann man schon abgrenzen, aber nicht das Nichts. Nichts ist sicherlich nichts von all dem, aber es ist auch nicht etwas, sondern eben nichts.
lg
NotInterested
\(\endgroup\)
von: KlausLange am: Mi. 08. November 2006 14:17:20
\(\begingroup\)"Aber du sagst, ich bekomme etwas, nämlich nichts als ein Etwas, somit ist nichts auch etwas, das stimmt nicht. Du bekommst nur das abstrakte Konstrukt {}."
Nein, habe ich nicht gesagt.
Nichts ist nichts. Und nichts ist somit eine abstrakte Zusammenfassung von nichts.
Übrigens: Wenn Du schon so wie oben formulierst, dann musst Du Dir die Frage stellen lassen, ob nicht auch abstrakte Konstrukte, da sie ja Konstrukte sind, nicht auch ein "Ding der Vorstellung" ist? Dein Betgriff des "reellen Etwas" erscheint mir zu eingeschränkt.
Eine leere Menge ist auch eine Menge, auch wenn sie nichts enthält.
Zur Null:
Ja, ich sehe schon wie im Artikel versucht wird über Parallelisierung die Null mit der leeren Menge gleichzusetzen.
\(\endgroup\)
von: Hans-Juergen am: Mi. 08. November 2006 17:11:43
\(\begingroup\)Hallo Klaus,
die Diskussion über (das) Nichts verstehe ich nicht
und will mich nicht an ihr beteiligen. Nur Dein letzter
Satz veranlaßt mich zu einer Antwort: Du schreibst, in
meinem Artikel werde versucht "über Parallelisierung die
Null mit der leeren Menge gleichzusetzen." Dies ist nicht
der Fall. Es war und ist auch nicht meine Absicht und geht
aus dem Text auch nicht hervor.
Hans-Jürgen
\(\endgroup\)
von: KlausLange am: Mi. 08. November 2006 18:02:27
\(\begingroup\)@Hans-Jürgen:
"Gleichsetzen" mag nicht korrekt sein, aber es wird versucht eine Beziehung zu den Bedeutung der Null und der leeren Menge zu suggerieren, ansonsten wäre folgende Bemerkung ja obsolet:
"Zwischen der Null und der leeren Menge besteht in Form der beiden folgenden Gleichungspaare eine Parallele:
a + 0 = a a · 0 = 0
M U Ø = M M ∩ Ø = Ø.
Die erste Mengengleichung bringt, anschaulich formuliert, zum Ausdruck: wenn man einer Menge M die leere Menge Ø hinzufügt, so bleibt M unverändert, weil Ø keine Elemente besitzt. Umgekehrt kann man deshalb auch sagen (und tut es): Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge.
Die zweite Mengengleichung besagt, daß M und Ø disjunkt sind, d. h. keine gemeinsamen Elemente besitzen.
Diese beiden Eigenschaften zugleich hat nur die leere Menge. Bei beliebigen anderen Mengen schließen sie sich gegenseitig aus. Die leere Menge stellt also, abgesehen davon, daß sie keine Elemente hat, in dieser Beziehung etwas Besonderes dar.
Besonderheiten besitzt auch die Null... "
Gerade das Beispiel der Fakultät 0!, die ja per definitio den Wert 1 erhälst, zielt ja auf die nicht vorhandene Anzahl von Faktoren für 0! ab. Wenn ich dann die leere Menge als eine Menge ohne Anzahl von Elementen erklärt bekomme, wie im Artikel ja geschehen, sehe ich doch eine klare Aussage impliziert, zumal auf "parallele" Gleichungen - ich zitierte, hingewiesen wurde. Diese Art der "Anschauung" - oder Veranschaulichung - könnte dann aufs Glatteis führen.
Wenn also eine Beziehung von 0 und leerer Menge nicht zum Ausdruck gebracht werden sollte, dann ist m.E. dieses Unterfangen nicht ganz geglückt.\(\endgroup\)
von: continuous am: Mi. 08. November 2006 18:36:59
\(\begingroup\)Hi,
ich habe nicht alles durchgelesen. Die Kritik im letzte Kommentar verstehe ich nicht ganz.
Die Null ist schon ein Begriff für viele Dinge und aus dem Kontext weiß man was gemeint ist. Wenn man über natürliche Zahlen redet, kann man bei der Konstruktion zB. einfach 0:={} definieren. In diesem Sinne hat man schon eine Beziehung.
Natürlich ist die Null zB im Matrizenraum was anderes. Aber ich denke das hier von (natürlichen) Zahlen die Rede ist.
Im Übrigen finde ich die Diskussion etwas kleinlich, wer nun was wie in Beziehung bringen wollte oder interpretiert.
Ich benutze oft Eselbrücken, die für mich eine gedankliche Beziehung zu Dingen herstellen, die formal verschieden sind.
Was soll daran so falsch sein?
Was ich mit diesem Kommentar sagen möchte:
Keine Probleme suchen wo gar keine sind!\(\endgroup\)
von: NotInterested am: Mi. 08. November 2006 19:25:36
\(\begingroup\)Hallo KlausLange,
Wenn nichts nichts ist, dann kann nichts nicht eine abstrakte Zusammenfassung von nichts sein, sondern ich fasse nichts als eine abstrake Zusammenfassung {}, sonst wäre ja nichts schon etwas, nämlich die abstrakte Zusammenfassung selbst und das ist es nicht.
Wenn ich einen Schuhkarton als Weihnachtsgeschenk verpacke, und darin befindet sich nichts, dann bekommst du sicherlich den Karton, aber doch nicht das darinbefindliche Nichts, also kannst du auch nicht sagen, der Karton sei schon nichts.
Natürlich ist die leere Menge per Definition auch eine Menge, aber nicht nichts selbst, sondern eine Menge, die eben nichts enthält, schneide ich das imaginäre Konstrukt weg, dann habe ich nichts oder etwas, die Menge als Konstrukt {} gehört ja nicht mehr dazu.
Wenn ich ein Schuhkarton, blau mit 3 Äpfeln habe und ein Schuhkarton, rot mit 3 Birnen und diese beiden Mengen vermische, dann kann ich extrem sagen, ich habe nun Apfelbirnen, aber ich kann vorerst nicht sagen ich habe Apfelbirnen und 2 Schuhkartons als neue Menge.
lg
NotInterested
\(\endgroup\)
von: Josiflying am: Mi. 08. November 2006 21:02:54
\(\begingroup\)naja hatte damals mal ein Buch gelesen wo es sich um die selbe Frage drehte! Leider komme ich erst an das Buch am Wochenende ran, weil ich es verborgt habe! Danach kann ich zitieren!
Jedenfalls kommt es in diesem Buch auch diese philosophische Frage auf. Früher wurde einfach die null verboten und gut ist!
Jedoch ist dieses Verbot sinnlos da einfach die null (in der informatik wird auch hier unterschieden zwischen 0 und null) braucht!
Ich denke eher das sind philosophische Fragen!
PS: Ich hatte auch mal ein ganzes Semester eine VL: Was ist Zufall!\(\endgroup\)
von: NotInterested am: So. 31. Dezember 2006 16:24:23
\(\begingroup\)jaja,
früher wurde vieles verboten, aber durch die Hintertür kam alles wieder rein.
Die Null ist wieder da, das Nichts auch.
lg
NotInterested \(\endgroup\)
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Die Römer mit ihrem unhandlichen Zahlensystem kannten die Null nicht, jedoch stammt unser Wort für sie vom lateinischen "nullus", was "keiner" bedeutet. Das arabische Wort "sifr" steht ursprünglich für "leer"; es lebt als "Ziffer" bei uns und abgewandelt in mehreren europäischen Sprachen fort. Auch das englische "zero" und das französische "zéro" gehen darauf zurück.
Wann die Null "erfunden" wurde, von wem und in welchem Land, steht nicht fest; angenommen wird Indien im 5. Jahrhundert. Dagegen läßt sich die Entstehung des Begriffs "leere Menge" zeitlich und personell gut zurückverfolgen.
Vor rund hundert Jahren stellte sich heraus, daß die Cantorsche Mengendefinition zu weit gefaßt ist. Zu den "Dingen unseres Denkens" gehören zweifellos auch Mengen, deren Elemente selber Mengen sind. Insbesondere kann man sich die Menge aller nur möglichen Mengen vorstellen sowie Mengen, die sich selbst als Element enthalten. Solche Mengen führen, wie als erstem dem britischen Logiker Bertrand Russell (1872 bis 1970) auffiel, zu Paradoxien und unauslöschlichen Widersprüchen, die es zu vermeiden gilt.
Deshalb entstanden in den ersten Jahrzehnten des 20. Jahrhunderts neue
Mengenlehren, die den Begriff "Menge" gegenüber seiner Bedeutung bei Cantor einschränkten. Sie gehen axiomatisch vor und schließen dabei Mengen, die zu Paradoxien führen können, grundsätzlich aus.
"Das bekannteste System dieser Art ist die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, deren Grundlagen 1908 von E. Zermelo gelegt wurden. Die endgültige Fassung erfolgte 1922 aufgrund einer Arbeit von A. Fraenkel", liest man in [3]; dort werden noch weitere Systeme erwähnt und beschrieben.
Über die leere Menge heißt es im Zweitem Axiom des Zermelo-Fraenkel-Systems kurz und knapp: "Es gibt eine Menge ohne Elemente."
Zwischen der Null und der leeren Menge besteht in Form der beiden folgenden Gleichungspaare eine Parallele:
a + 0 = a a · 0 = 0
M U Ø = M M ∩ Ø = Ø.
Die erste Mengengleichung bringt, anschaulich formuliert, zum Ausdruck: wenn man einer Menge M die leere Menge Ø hinzufügt, so bleibt M unverändert, weil Ø keine Elemente besitzt. Umgekehrt kann man deshalb auch sagen (und tut es): Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge.
Die zweite Mengengleichung besagt, daß M und Ø disjunkt sind, d. h. keine gemeinsamen Elemente besitzen.
Diese beiden Eigenschaften zugleich hat nur die leere Menge. Bei beliebigen anderen Mengen schließen sie sich gegenseitig aus. Die leere Menge stellt also, abgesehen davon, daß sie keine Elemente hat, in dieser Beziehung etwas Besonderes dar.
Besonderheiten besitzt auch die Null. Davon ist am bekanntesten, daß sie weder positiv noch negativ ist und daß man durch sie nicht dividieren kann. Seltener begegnet man der eigentümlichen, an Absurdes grenzenden Festlegung 0! = 1. Sie ist zweckmäßig zum Beispiel bei der Taylorreihe und scheint sonst in der Mathematik nirgends zu schaden. (Damit, daß diese Festlegung nahezu absurd ist, meine ich folgendes: n! bedeutet bekanntlich das Produkt 1·2·3· … ·n, und da ein Produkt aus mindestens zwei Faktoren besteht, fallen Bezeichnungen wie 1! und 0! aus dieser Regelung heraus. Setzt man sich über sie hinweg, könnte man annehmen, daß wenn 1! = 1 gesetzt wird, 0! entsprechend gleich 0 ist - aber nein: 0! soll ebenfalls gleich 1 sein!) Nebenbei: mutig geworden, darf man nun nicht etwa auch 00 = 1 setzen, nur weil für jede von 0 verschiedene Zahl a gilt: a0 = 1 - das ist im allgemeinen falsch. Der Ausdruck 00 kommt öfter bei der Kurvendiskussion vor, und es bedarf sorgfältiger Untersuchungen, welchen numerischen Wert er im Einzelfall hat, sofern er sich überhaupt angeben läßt.2)
Noch einmal zurück zur leeren Menge. Auf der Wikipedia-Seite [4], die die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre zum Inhalt hat, lese ich mit Erstaunen, daß die mit ZF abgekürzte Version ohne das Auswahlaxiom unendlich viele Axiome verwendet.
1) Mein Beitrag ist wiederum recht allgemein gehalten und wendet sich nicht an einzelne Spezialisten, die auf dem MP hauptsächlich die Behandlung komplizierter mathematischer Themen aus dem Universitätsbereich erwarten, welche nur wenigen Leserinnen und Lesern verständlich sind. Ich erwähne das deshalb, weil mir bei entsprechender früherer Gelegenheit in unsachlicher und unhöflicher Form der Vorwurf von zuviel Schulmathematik gemacht wurde.
2) Nachtrag (6.11.06): Anders als in dem folgenden thread wird das Thema "Was bedeutet 00?" 
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Und noch eine Frage: Was ist an dem Begriff "Gleichung" zu beanstanden?
Herzlichen Gruß,
Hans-Jürgen