Mathematik: Jäger der verlorenen Gruppe - Special Xtended Version
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Mathematik

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Gruppenzwang X

"Noch nie hat ein X irgendwo, irgendwann einen bedeutenden Punkt markiert." - Indiana Jones
Hallo Freunde der Gruppentheorie Dies ist nun der inzwischen zehnte Teil (und somit elfte Artikel ) der Gruppenzwang-Reihe, in dem ich euch Methoden vorstellen möchte, aus vorhandenen Gruppen neue zu basteln bzw. eine vorhandene Gruppe in kleinere zu zerlegen. Allgemein heißt das, dass wir uns mit Gruppenerweiterungen auseinander setzen werden. Speziell werde ich dabei semidirekte Produkte vorstellen.


 
Inhalt

1.) Gruppenerweiterungen und Sequenzen 2.) Semidirekte Produkte 3.) Jede Menge Beispiele 4.) Der Satz von Schur-Zassenhaus

 
Gruppenerweiterungen und exakte Sequenzen

Zuerst wollen wir uns den Begriffen "Gruppenerweiterung" und "exakte Sequenz" nähern. Was bedeutet es eigentlich, eine Gruppe zu erweitern? Grob gesprochen ist eine Gruppenerweiterung die allgemeinste Art, sich aus zwei kleineren Gruppen eine größere zu basteln. Um besser mit der formalen Definition einer solchen Erweiterung umgehen zu können, benötigen wir zuerst etwas Wissen über exakte Sequenzen.

 
Exakte Sequenzen

Hat man Gruppen G_1, G_2, G_3 und Homomorphismen \i:G_1->G_2 sowie \p:G_2->G_3, so nennt man die Folge (G_1, \i, G_2, \p, G_3) eine Sequenz. Eine solche Folge wird auch oft dargestellt durch ein Diagramm der Form G_1 -> G_2 -> G_3 Derartige Folgen kann es in beliebiger Länge geben, selbst solche, die nach rechts und\/oder links unendlich sind. Eine Sequenz (...->)G_1->G_2->G_3(->...) heißt \darkblue\ array(exakt an der Stelle G_2)__\black, wenn im(G_1->G_2)=ker(G_2->G_3) ist. Eine Sequenz der Form 1->N->G->Q->1 heißt \darkblue\ array(kurze\, exakte Sequenz)__\black, wenn sie an den Stellen N, G und Q, d.h. überall außer am Rand, exakt ist. \(Eine längere derartige Sequenz heißt analog lange, exakte Sequenz.\) Zunächst einmal ist eine (exakte) Sequenz nichts Neues, alles Nötige ließe sich auch durch Homomorphismen, Kerne und Bilder sagen. Das Arbeiten mit Sequenzen hat aber zunächst den kleinen Vorteil, durch die graphische Darstellung übersichtlicher zu sein. Der große Vorteil wird in diesem Artikel allerdings gar nicht offensichtlich werden, denn Sequenzen aller Art sind nicht nur für Gruppen interessant; man kann Sequenzen in jeder Kategorie definieren, exakte überall dort, wo es Kerne und Bilder gibt. Entsprechend allgemeine Resultate kann die Kategorientheorie dann zeigen. Wer daran Interesse hat, dem seien die Artikel über Kategorientheorie hier auf dem MP empfohlen. \big\ Beispiele für exakte Sequenzen: Direkt aus der Definition folgt, dass 1->G->H genau dann exakt ist, wenn ker(G->H)=im(1->G)={1} ist, wenn der Homomorphismus G->H also injektiv ist. Analog ist G->H->1 genau dann exakt, wenn H=ker(H->1)=im(G->H), wenn also G->H surjektiv ist. Hat man einen Homomorphismus f:G->H gegeben und ist H abelsch, so ist die Sequenz 1->ker(f)->G->H->coker(f)->1 exakt, wobei coker(f) hier für die Faktorgruppe H\/im(f) steht. Dies gilt allgemeiner immer dann, wenn im(f) ein Normalteiler in H ist. Also zum Beispiel auch, wenn man für G eine beliebige Gruppe G, H:=Aut(G) und f:G->Aut(G) als den Homomorphismus wählt, der g aus h\mapsto\ ghg^(-1) abbildet. Als Sequenz geschrieben heißt das, dass 1->Z(G)->G->Aut(G)->Out(G)->1 exakt ist. Hierbei meint Out(G):=coker(f)=Aut(G)\/Inn(G) die Gruppe der so genannten äußeren Automorphismen.

 
Gruppenerweiterungen

Formal gesprochen, ist eine \darkblue\ array(Gruppenerweiterung von Q mit N)__\black eine kurze, exakte Sequenz 1->N->G->Q->1 für eine Gruppe G. Anders formuliert heißt das nichts anderes, als dass es eine Gruppe G gibt, die einen zu N isomorphen Normalteiler hat, deren Faktorgruppe isomorph zu Q ist. Umgekehrt liefert natürlich jedes N<|G eine kurze, exakte Sequenz 1->N->G->G\/N->1 und somit eine Erweiterung von G\/N mit N. Was ist nun das Besondere an Gruppenerweiterungen? Es stellt sich heraus, dass durch die Beziehung zu den Faktorgruppen jede endliche Gruppe als iterierte Gruppenerweiterung von endlichen einfachen Gruppen zustande kommt. Hat man nämlich eine Kompositionsreihe (siehe Gruppenzwang VI) einer endlichen Gruppe G=G_n|>G_(n-1)|>...|>G_2|>G_1|>G_0={0} Dann ist jedes G_i eine Erweiterung der einfachen Gruppe G_i\.\/G_(i-1) mit G_(i-1). Dies rechtfertigt z.B. den Vergleich von einfachen Gruppen mit Primzahlen: So wie jede Primzahl sich nicht weiter in ein Produkt kleinerer, natürlicher Zahlen zerlegen lässt, dafür aber jede natürliche Zahl ein Produkt von Primzahlen ist, ist auch jede endliche Gruppe aus einfachen Gruppen aufgebaut, während sich die einfachen Gruppen nicht durch Gruppenerweiterungen in kleinere Gruppen zerlegen lassen (da sie ja keine nichttrivialen Normalteiler besitzen). Damit lässt sich eines der Hauptziele der Gruppentheorie - die Klassifikation aller endlichen Gruppen - in zwei Teilaufgaben zerlegen: 1.) Die Klassifikation aller endlichen, einfachen Gruppen 2.) Die Klassifikation aller Erweiterungen endlicher Gruppen Nach jahrzehntelanger, intensiver Arbeit ist der erste Teil inzwischen vollständig gelöst. Eine vollständige Lösung des zweiten Problems steht aber noch aus.

 
Semidirekte Produkte

Wir wollen nun spezielle Gruppenerweiterungen betrachten, nämlich solche, die durch so genannte \darkblue\ zerfallende__\black oder auch \darkblue\ spaltende__\black Sequenzen gegeben sind. Eine kurze, exakte Sequenz 1->N array(\small\i\normal;\textrightarrow;\small$\normal) G array(\small\p\normal;\textrightarrow;\small$\normal) Q->1 heißt dabei spaltend, wenn es einen Homomorphismus \phi mit \pi\circ\phi=id_Q gibt. Anders formuliert: Es gibt ein Rechtsinverses von \pi. Wir werden gleich sehen, dass zerfallende Gruppenerweiterungen in engem Zusammenhang zu den so genannten semidirekten Produkten stehen. makro(up,array(\small\ %1;$\normal)||) Seien A und B Gruppen und sei \phi ein Homomorphismus B->Aut(A). Das \(äußere\) \darkblue\ array(semidirekte Produkt von A und B bezüglich \phi)__\black ist die Gruppe, deren Trägermenge A\cross\ B mit folgender Verknüpfung ist: (a,b)(a',b'):=(a*\phi(b)(a'),bb') Bezeichnen werde ich so eine Gruppe mit N\ltimes\ Q. Doch Vorsicht: Auch wenn das die Schreibweise anders suggeriert, ist das semidirekte Produkt aber nicht eindeutig durch N und Q bestimmt. Je nach Wahl von \phi können durchaus nichtisomorphe Gruppen entstehen. Zweite, noch viel größere Falle: Viele Autoren schreiben für ein semidirektes Produkt nach unserer Definition auch N\rtimes\ Q bzw. Q\ltimes\ N. Man sollte sich stest darüber im Klaren sein, von wo nach wo der Homomorphismus \phi geht, denn anders als beim direkten Produkt ist die Reihenfolge von N und Q hier nicht egal. \(Wir werden später noch sehen, warum\) Der Homomorphismus \phi induziert eine Operation von N auf Q, wenn man up(q)n:=\phi(q)(n) setzt. Diese Schreibweise macht das Ganze, wie ich finde, sehr viel übersichtlicher, also werde ich sie durchgehend benutzen. \darkred\ll(Lemma)Sind N und Q Gruppen, so gilt: \darkred\ll(a)N\ltimes\ Q ist in der Tat bezüglich jedes Homomorphismus' Q->Aut(N) eine Gruppe. \darkred\ll(b)N\ltimes{1} ist ein Normalteiler von N\ltimes\ Q, dessen Faktorgruppe zu Q isomorph ist. \darkred\ll(c)Für alle n\el\ N und q\el\ Q gelten die Gleichungen (n,q)=(n,1)(1,q) und (1,q)(n,1)(1,q)^(-1)=(up(q)n,1) \blue\ Beweis: Da das nur Rechnerei ist und keine wesentlichen Einblicke bringt, lasse ich diesen Beweis weg. Wer ihn trotzdem sehen will, der kann sich den entsprechenden Eintrag in meinem Notizbuch anschauen. \blue\ q.e.d. Ebenso wie man oft äußere und innere direkte Produkte definiert, kann man auch eine innere Variante eines semidirekten Produkts definieren: Sei dazu G eine Gruppe, N<|G und U<=G. G heißt inneres semidirektes Produkt, wenn G=NU und N\cut\ U={1}. Genau wie sonst ist der Unterschied zwischen innerem und äußerem semidirekten Produkt recht klein: \darkred\ Für eine Gruppe G gilt G~=N\ltimes\ Q <=> Es gibt N'<|G und Q'<=G mit N~=N', Q~=Q', N'Q'=G und N'\cut\ Q'=1. \blue\ Beweis: \blue\ => Wenn man N':=N\ltimes{1} und Q':={1}\ltimes\ Q setzt, folgt aus (b) und (c) des Lemmas die Behauptung. \blue\ <== Wir definieren einen Homomorphismus Q'->Aut(N') durch q\mapsto\ (n\mapsto\ qnq^(-1)) und bezeichnen mit N'\ltimes\ Q' das semidirekte Produkt bezüglich dieses Homomorphismus'. Da N'\cut\ Q'={1} und G=N'Q' ist, lässt sich jedes Element von G eindeutig in der Form nq mit n\el\ N' und q\el\ Q' schreiben. Wegen nq*n'q'=n(qn'q^(-1))*(qq') ist dann die Abbildung G->N'\ltimes\ Q': nq\mapsto\ (n,q) ein Isomorphismus. N'\ltimes\ Q' ist offensichtlich nun zu N\ltimes\ Q isomorph. \blue\ q.e.d. Wir kommen jetzt auf den angesprochenen Zusammenhang zwischen zerfallenden Sequenzen und dem semidirekten Produkt zurück: \darkred\ll(Splitting-Lemma)Sei G eine Gruppe. Es gibt genau dann eine spaltende, exakte Sequenz 1->N->G->Q->1, wenn G zu einem semidirekten Produkt N\ltimes\ Q isomorph ist. \blue\ Beweis: Sei 1->N array(\small\i\normal;\textrightarrow;\small$\normal) G array(\small\p\normal;\textrightarrow;\small$\normal) Q->1 spaltend. Dann gibt es laut Definition einen Homomorphismus \phi:Q->G mit \pi\circ\phi=id_Q. Insbesondere ist \phi injektiv, Q also zu \phi(Q) isomorph. Wir setzen N':=\i(N) und Q':=\phi(Q) und haben genau die Situation aus dem eben bewiesenen Satz: \phi(Q) ist ein vollständiges Repräsentantensystem der Nebenklassen von \i(N). Somit gilt schonmal N'Q'=G. Für jedes \phi(q) \el\ Q'\cut\ N' gilt 1=\pi(\phi(q))=q, also ist Q'\cut\ N'={1} und G somit zu einem semidirekten Produkt N\ltimes\ Q isomorph. Sei umgekehrt G~=N\ltimes\ Q. Dann ist durch \i: n\mapsto\ (n,1) und \pi: (n,q)\mapsto\ q eine exakte Sequenz definiert, die auch spaltet, wenn man \phi: q\mapsto\ (1,q) wählt. \blue\ q.e.d.

 
Jede Menge Beispiele

Das ist ja alles schön und gut bisher, aber so richtig vom Nutzen des Ganzen habe ich euch wahrscheinlich noch nicht überzeugt. Daher möchte ich euch nun an ein paar Beispielen demonstrieren, dass sich ein sehr großer Teil der Gruppen in Form eines semidirekten Produkts darstellen lässt. makro(up,array(\small\ %1;$\normal)) Zuerst stellen wir fest, dass der Name "semidirekt" keineswegs Zufall ist: \darkred\ Jedes direkte Produkt N\cross\ Q ist auch ein semidirektes Produkt. Dies ist bis auf Isomorphie das einzige semidirekte Produkt N\ltimes\ Q, in dem auch {1}\ltimes\ Q ein Normalteiler ist. \blue\ Beweis: Wählt man als Homomorphismus Q->Aut(N) den trivialen, der alles auf id_N abbildet, so gilt offensichtlich: (n,q)(n',q')=(nn',qq') Womit N\ltimes\ Q \(bezüglich eben dieses Homomorphismus'\) offensichtlich gleich N\cross\ Q ist. Aus der Gleichung (n,1)(1,q)(n,1)^(-1)=(n,q)(n^(-1), 1)=(n*up(q)\.n^(-1), q) erkennen wir, dass {1}\ltimes\ Q genau dann ein Normalteiler ist, wenn n*up(q)\.n^(-1)=1, also n=up(q)n für alle n\el\ N und alle q\el\ Q gilt, wenn die Operation also trivial ist. \blue\ q.e.d. Anmerkung__: Wir erkennen jetzt auch, warum es so wichtig war, die Reihenfolge N\ltimes\ Q festzuhalten, denn i.A. ist nur einer der beiden Faktoren ein Normalteiler und Q\ltimes\ N ist damit i.A. eine ganz andere Gruppe als N\ltimes\ Q. Schauen wir uns noch ein paar Beispiel für semidirekte Produkte an: makro(up,array(\small\ %1;$\normal)) \darkred\ Es gilt: \darkred\ll(a)D_n~=\IZ_n\ltimes\IZ_2 für alle n>0 \darkred\ll(b)S_n~=A_n\ltimes\IZ_2 für alle n>1 \darkred\ll(c)S_4~=V_4\ltimes\ S_3 \darkred\ll(d)GL_n(R)~=SL_n(R)\ltimes\ R^x für jeden unitären Ring R und alle n>=1. \darkred\ll(e)Ist abs(G)=n und n quadratfrei, so ist G ein semidirektes Produkt zweier zyklischer Gruppen. \blue\ Beweis: \ref(a) Die Untergruppe \ der Drehungen in D_n ist ein Normalteiler. Außerdem existiert eine Spiegelung s, d.h. ein Element der Ordnung 2, das nicht in diesem Normalteiler liegt. D_n wird nun von d und s erzeugt. Weil \ ein Normalteiler ist, gilt dabei D_n=\\. Da s nicht in \ enthalten ist, muss \\cut\={1} sein. Also ist D_n~=\\ltimes\ was wiederum isomorph zu \IZ_n\ltimes\IZ_2 ist, da d die Ordnung n und s die Ordnung 2 hat. Die Operation kann man in dieser Schreibweise auch sehr direkt angeben: up(k)m=(-1)^k*m für alle k\el\IZ_2 und m\el\IZ_n. \ref(b) Wir wissen, dass A_n<|S_n und vom Index 2 ist. Nimmt man nun eine beliebige Transposition \s, so ist A_n\cut\<\s\>={id}, da \s eine ungerade Permutation ist. Außerdem folgt, wie man sich leicht klarmacht, A_n\.\<\s\>=S_n und somit: S_n~=A_n\ltimes\<\s\>~=\A_n\ltimes\IZ_2 Hier kann man allerdings nicht mehr so kanonisch die Operation von \IZ_2 auf A_n angeben, da jede Transposition einen anderen Automorphismus von A_n induziert. \(Übrigens ein schönes Beispiel dafür, dass der Homomorphismus in die Automorphismengruppe nicht unbedingt zur Unterscheidung von semidirekten Produkten taugt, da mehrere Homomorphismen isomorphe Gruppen liefern können.\) \ref(c) V_4 ist die Untergruppe menge(id,(13)(24),(14)(23),(12)(34)) und U:=menge(\s\el\ S_4 | \s(4)=4) ist eine zu S_3 isomorphe Untergruppe von S_4. Offensichtlich gilt V_4\cut\ U={id}. Außerdem ist V_4 ein Normalteiler von S_4. Da V_4 vier und U sechs Elemente enthält, ist V_4\.U=S_4. Also folgt daraus die Isomorphie S_4~=V_4\ltimes\ S_3 wobei die Operation von S_3 dadurch gegeben ist, dass in der Zyklenzerlegung die Ziffern 1,2,3 permutiert werden. S_3 ist übrigens auch zu Aut(V_4) isomorph. Wir könnten die Isomorphie also auch so schreiben: S_4~=V_4\ltimes\ Aut(V_4) mit der kanonischen Operation von Aut(V_4) auf V_4. \blue\ q.e.d. \ref(d) SL_n(R) ist immer ein Normalteiler von GL_n(R). Es sei M_a die n\cross\ n\-Diagonalmatrix, die an der Position (1,1) a und auf der restlichen Diagonale nur Einsen hat. Dann ist U:=menge(M_a | a\el\ R^x) eine Untergruppe von GL_n(R), die offenbar zu R^x isomorph ist. Es ist \det(M_a)=a und somit U\cut\ SL_n(R)={1}. Bleibt noch zu zeigen, dass U*SL_n(R)=GL_n(R) ist. Das ist aber einfach, denn hat A\el\ GL_n(R) die Determinante d, so ist M_(d^(-1))*A=M_d^(-1)*A in SL_n(R) und somit A=M_d(M_d^(-1)\.A)\el\ U*SL_n(R). => GL_n(R)=SL_n(R)\ltimes\ U~=SL_n(R)\ltimes\ R^x \blue\ q.e.d. Analog kann man weitere Matrixgruppen zerlegen, z.B. ist O_n(F)~=SO_n(F)\ltimes\{+-1} für alle Körper F, U_n(\IC)~=SU_n(\IC)\ltimes\ S^1 etc. e) bleibt hier ohne Beweis, das würde den Artikel zu sehr aufblähen. Wer trotzdem Interesse hat, den verweise ich nochmal auf mein Notizbuch und den entsprechenden Eintrag darin. Leider haben auch semidirekte Produkte ihre Grenzen. Einfache Gruppen kann man z.B. nicht weiter zerlegen, da sie keine nichttrivialen Normalteiler haben. Aber auch nichteinfache Gruppen können u.U. keine Darstellung als semidirektes Produkt besitzen. Ein klassisches Beispiel dafür ist die Quaternionengruppe Q_8={+-1,+-i,+-j,+-k}. Die Untergruppen dieser Gruppe sind \, \ und \ mit jeweils 4 Elementen, {+-1} mit 2 Elementen und natürlich die beiden trivialen. Es ist zwar jede dieser Untergruppen ein Normalteiler, aber beim Schnitt hapert es, denn \\cut\=\\cut\=\\cut\={+-1}. Wir können für die Quaternionengruppe also keine Zerlegung finden, wie wir sie für ein semidirektes Produkt bräuchten. Weitere Beispiele sind die Gruppen \IZ_(p^n) für alle p\el\IP und n\el\IN und die Gruppe \IZ.

 
Der Satz von Schur-Zassenhaus

Als Höhepunkt des Artikel möchte ich nun einen zwar vergleichsweise schweren, aber wahnsinnig nützlichen Satz vorstellen, der es einem erlaubt, bestimmte semidirekte Produkte sehr schnell als solche zu erkennen: Den Satz von Schur-Zassenhaus. Bevor wir richtig loslegen, zunächst etwas Vorgeplänkel: Ist G eine endliche Gruppe und U<=G, so nennt man U eine \darkblue\ Hall\-Untergruppe__\black von G, wenn ggT(abs(U),abs(G:U))=1 ist. Ist U sogar ein Normalteiler, so nennt man U analog einen Hall\-Normalteiler. Für den Beweis des Satzes von Schur\-Zassenhaus werden wir zwei kleine, aber ebenfalls sehr nützliche Lemmata benötigen: \darkred\ll(Frattini-Argument)Sei G eine Gruppe, die auf \Omega!=\0 operiert, und sei H<=G eine Untergruppe, die transitiv auf \Omega operiert, dann ist G=H\calS_\omega für jedes \omega\el\Omega. \blue\ Beweis: Für alle g\el\ G existiert ein h\el\ H mit$^h\.\(^g\.\omega||\)=\omega, d.h. hg\el\calS_\omega => g=h^(-1)\.hg\el\ H\calS_\omega => G=H\calS_\omega=\calS_\omega\.H \blue\ q.e.d. \darkred\ll(Lemma)Ist N<|G und C eine charakteristische Untergruppe von N, so ist C auch ein Normalteiler von G. \blue\ Beweis: Sei \phi_g der durch g\el\ G induzierte innere Automorphismus von G. Dann ist \phi_g(N)=N, da N ein Normalteiler ist. Insbesondere ist \phi_g\|N ein Automorphismus von N. Da C eine charakteristische Untergruppe von N ist, gilt also \phi_g(C)\subseteq\ C. => C<|G. \blue\ q.e.d. Weiterhin wird beim Beweis intensiv die Gleichung abs(UV)*abs(U\cut\ V)=abs(U)*abs(V) benutzt, die für alle Untergruppen U,V einer gemeinsamen Obergruppe gilt. Nun, dann können wir eigentlich direkt zum Beweis übergehen:

 
Der Beweis

\darkred\ll(Satz von Schur-Zassenhaus) \darkred\ Sei H eine endliche Gruppe und K ein Hall\-Normalteiler von H. Dann spaltet die exakte Sequenz 1->K->H->H\/K->1. \blue\ Beweis: Wir führen eine Induktion über abs(H) durch. Alle Gruppen kleinerer Ordnung erfüllen also nach Induktionssannahme die Aussage des Satzes. Wir müssen also zeigen, dass es eine Untergruppe U<=H gibt mit UK=H und U\cut\ K={1}. Da K ein Hall\-Normalteiler ist, ist es dabei schon ausreichend, wenn abs(U)=abs(H:K) ist. array(Fall 1:)__ Eine p\-Sylowgruppe P von K ist nicht normal. Da K normal ist, liegen alle p\-Sylowgruppen in K und K operiert transitiv auf ihnen. Das Frattini\-Argument liefert also H=N_H(P)K. Es ist N_H(P)\lneq\ H, da P nicht normal ist. Da abs(K) zu abs(H:K) teilerfremd ist, ist es auch abs(N_H(P)\cut\ K). Es ist weiterhin N_H(P)\cut\ K<|N_H(P) und N_H(P)\.\/N_H(P)\cut\ K~=N_H(P)K\/K=H\/K. Da N_H(P) echt kleiner als H ist, können wir die Induktionsannahme anwenden und erhalten ein Komplement zu N_H(P)\cut\ K in N_H(P), also vor allem eine Untergruppe der Ordnung abs(H:K). \checked Wir setzen also nun voraus, dass alle Sylowgruppen von K normal in H sind. array(Fall 2:)__ abs(K) hat mehr als einen Primteiler. Seien q_1, ... q_n \(mit n>1\) die verschiedenen Primteiler von abs(K) und Q_i die q_i-Sylowgruppe von K. Jedes Q_i ist normal in H. Da Q_1 und Q_2 Sylowgruppen sind, ist Q_1\.Q_2\.\/Q_2 ein Hall\-Normalteiler von H\/Q_2. abs(H\/Q_2) ist echt kleiner als abs(H), es gibt also eine Untergruppe U_1\.\/Q_2<=H\/Q_2 mit abs((H\/Q_2):(Q_1\.Q_2\.\/Q_2))=abs(H)/(abs(Q_1)*abs(Q_2)) Elementen. => abs(U_1)=abs(H)/abs(Q_1). Jetzt ist abs(Q_2) \| abs(U_1), also Q_2<|U_1\lneq\ H. Es gibt also eine Untergruppe U_2<=U_1 mit abs(U_1\.:Q_2)=abs(H)/(abs(Q_1)\.abs(Q_2)) Elementen. Indem man dies induktiv fortsetzt, erhält man eine Untergruppe U_n mit abs(H)/(abs(Q_1)*...*abs(Q_n))=abs(H:K) Elementen. \checked Ist dies auch noch falsch, so muss K gleich einer einzigen Sylowgruppe sein. array(Fall 3:)__ K ist nichtabelsch. K ist nun eine p\-Gruppe, d.h. 1!=Z(K). K ist nichtabelsch, d.h. Z(K)!=K Z(K) ist aufgrund des Lemmas außerdem normal in H, da Z(K) charakteristisch in K ist und es ist abs(H\/Z(K)) abs(U)=abs(H:K)\.abs(Z(K))K->H->H\/K spaltet: array(Letzter Fall:)__ K ist abelsch. Sei nun X ein Repräsentantensystem der Nebenklassen von K und sei x_a\el\ X der jeweilige Repräsentant von aK. =>\forall\ a,b\el\ H\/K \exists\gamma(a,b)\el\ K: x_a*x_b=x_ab*\g(a,b) \align\ =>\forall\ a,b,c\el\ H\/K: x_abc*\g(a,bc)*\g(b,c)><=x_a*x_bc*\g(b,c) ><=x_a*x_b*x_c ><=x_ab*\g(a,b)*x_c ><=x_ab*x_c*(x_c^(-1)\.\g(a,b)x_c) ><=x_abc*\g(ab,c)*(x_c^(-1)\.\g(a,b)x_c) \stopalign =>\forall\ a,b,c\el\ H\/K: \g(a,bc)*\g(b,c)=\g(ab,c)*(x_c^(-1)\.\g(a,b)x_c) Fixieren wir b und c und lassen a über ganz H\/K laufen, so ergibt sich: \forall\ b,c\el\ H\/K: produkt((\g(a,bc)*\g(b,c)),a\el\ H\/K)=produkt((\g(ab,c)*(x_c^(-1)\.\g(a,b)x_c)),a\el\ H\/K) Da K abelsch, normal und alle \g(.,.)\el\ K sind, können wir umsortieren und erhalten: \forall\ b,c\el\ H\/K: produkt(\g(a,bc),a\el\ H\/K)*produkt(\g(b,c),a\el\ H\/K)=produkt(\g(ab,c),a\el\ H\/K)*x_c^(-1)*(produkt(\g(a,b),a\el\ H\/K))*x_c =>\forall\ b,c\el\ H\/K: produkt(\g(a,bc),a\el\ H\/K)*\g(b,c)^abs(H:K)=produkt(\g(ab,c),a\el\ H\/K)*x_c^(-1)*(produkt(\g(a,b),a\el\ H\/K))*x_c Es sei nun \b(c):=produkt(\g(x,c),x\el\ H\/K), dann gilt: \forall\ b,c,\el\ H\/K: \b(bc)*\g(b,c)^abs(H:K)=\b(c)*x_c^(-1)*(\b(b))*x_c Da abs(K) und abs(H:K) teilerfremd sind, gibt es ein k mit k*abs(H:K)==1 (mod abs(K)). Wenn wir die Gleichung mit -k potenzieren und ausnutzen, dass K abelsch ist, erhalten wir: \forall\ b,c,\el\ H\/K: \g(b,c)^(-1)*\b(bc)^(-k)=x_c^(-1)*(\b(b)^(-k))*x_c*\b(c)^(-k) Jetzt setzen wir f(a):=x_a*\b(a)^(-k) und erhalten: \forall\ b,c,\el\ H\/K: \g(b,c)^(-1)*x_bc^(-1)*f(bc)=x_c^(-1)*x_b^(-1)*f(b)*x_c*x_c^(-1)*f(c). =>\forall\ b,c,\el\ H\/K: (x_bc*\g(b,c))^(-1)*f(bc)=(x_b*x_c)^(-1)*f(b)*f(c) =>\forall\ b,c,\el\ H\/K: (x_b*x_c)^(-1)*f(bc)=(x_b*x_c)^(-1)*f(b)*f(c) =>\forall\ b,c,\el\ H\/K: f(bc)=f(b)*f(c) f ist also ein Homomorphismus H\/K->H. Da offensichtlich f(a)K=x_a*\b(a)^(-k)\.K=x_a\.K=a ist, zerfällt die Sequenz wie behauptet. \checked \blue\ q.e.d. Der Beweis des letzten Falls wird sehr oft auch mit Mitteln der so genannten Gruppenkohomologie bewiesen. In der Sprache dieser Theorie wird im letzten Fall die Aussage H2(H/K,K)=1 bewiesen, wobei H2(H/K,K) die zweite Kohomologiegruppe von K ist, worauf H/K durch Konjugation operiert. Allgemein sind kohomologische Methoden ein wichtiges Mittel zur Untersuchung von Gruppenerweiterung und viele tieferliegenden Resultate wurden damit erzielt. Es gibt eine nette Ergänzung zum Satz von Schur-Zassenhaus. Man kann nämlich sogar zeigen, dass alle Komplemente von K in H zueinander konjugiert sind. Das würde aber hier zu weit führen, daher lasse ich den Beweis weg.

 
Abschluss

So, das war der zehnte Gruppenzwang. Ich hoffe, ich konnte euch die semidirekten Produkte etwas näher bringen und davon überzeugen, dass es unheimlich wichtig ist, sie zu kennen, weil sie einfach wahnsinnig oft auftreten. Ich möchte natürlich auch ganz herzlichen meinen Testleserinnen Irrlicht, jannna und quakie danken, die den Artikel für mich Korrektur gelesen haben. Beim nächsten Mal wird es wieder um Gruppenerweiterungen gehen. Wer das Thema also genauso interessant findet wie ich, darf gespannt sein, denn wir werden u.A. Kranzprodukte kennenlernen und damit die Sylowgruppen aller Sn und aller GL(n,q) klassifizieren. 1->mfg->Goc->kel->1

 
Die Gruppenzwang-Reihe

Teil 1: Wir rechnen mit allem Teil 2: Anonyme Mathematiker bieten Gruppentherapie an Teil 3: Sensation: Homo Morphismus ist ein Gruppentier Teil 4: Gruppencamper brauchen Iso(morphie)matten Teil 5: Dr.Cauchy und Dr.Sylow bitte zur GruppenOP Teil 6: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden Teil 7: Gruppen sind immer noch top! Teil 8: Konvois auf der A20: Autos nur noch in Gruppen unterwegs Teil 9: Unfall im Genlabor: (Per)mutationen in der Bevölkerung Teil 10: Jäger der verlorenen Gruppe - Special Xtended Version Teil 11: Der Gruppentheorie-Adventskranz Teil 12: Wegen guter Führung entlassen: Gruppen sind frei Teil 13: Amnestie: Auch Untergruppen frei
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: Mathematik :: Gruppentheorie :: Reine Mathematik :: Algebra :: Exakte Sequenzen :: Semidirektes Produkt :
Gruppenzwang X: Jäger der verlorenen Gruppe - Special Xtended Version [von Gockel]  
Zehnter Teil der Gruppenzwang-Reihe. In diesem Artikel werden Gruppenerweiterungen und semidirekte Produkte eingeführt. Als Anwendung wird der Satz von Schur-Zassenhaus bewiesen. Außerdem werden Darstellung häufig benötigter Gruppen als semidirekte Produkte bewiesen.
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"Mathematik: Jäger der verlorenen Gruppe - Special Xtended Version" | 2 Comments
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Re: Jäger der verlorenen Gruppe - Special Xtended Version
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 06. Dezember 2006 15:12:41
\(\begingroup\)" Allgemein sind kohomologische Methoden ein wichtiges Mittel zur Untersuchung von Gruppenerweiterung und viele tieferliegenden Resultate wurden damit erzielt. " Kannst du da ein paar Beispiele nennen?\(\endgroup\)
 

Re: Jäger der verlorenen Gruppe - Special Xtended Version
von: Martin_Infinite am: Fr. 16. Dezember 2011 15:16:30
\(\begingroup\)@Anonymus: Weibel, Introduction to homological algebra, Rezension, Kapitel 6. Vor allem 6.8 zeigt (Spektralsequenzen für Gruppenhomologie), wie nützlich die abstrakte Maschine ist, um auch konkrete Erweiterungen zu klassifizieren. Theorem 6.6.9 in loc. cit. ist der kohomologische Beweis von Schur-Zassenhaus. Im abelschen Fall hat Gockel sozusagen genau das nachgerechnet, was passiert, wenn man die vorherigen Resultate elementar zusammensetzt. Im nicht-abelschen Fall kommt man aber auch elementar ohne Fallunterscheidungen aus. Man muss nur mit irgendeiner Sylowgruppe schneiden, induzieren, und das Zentrum herausteilen, induzieren.\(\endgroup\)
 

 
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