Mathematik: Der Gruppentheorie-Adventskranz
Released by matroid on Sa. 16. Dezember 2006 20:17:16 [Statistics]
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Mathematik

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Gruppenzwang XI

Da sind wir wieder mit dem nächsten Teil der unendlichen Geschichte Gruppenzwang-Reihe.

Nachdem wir im letzten Artikel schon allerlei Interessantes über Gruppenerweiterungen und semidirekte Produkte erfahren haben, möchte ich dieses Mal über noch Interessanteres über Gruppenerweiterungen und so genannte Kranzprodukte schreiben.
Im letzten Artikel haben wir den Satz von Schur-Zassenhaus als Highlight gehabt, dieses Mal möchte ich mit Hilfe von Kranzprodukten die Sylowgruppen aller endlichen, symmetrischen und aller endlichen, allgemeinen linearen Gruppen klassifizieren.


 
Inhalt




1.) Äquivalenz von Gruppenerweiterungen
2.) Kranzprodukte
3.) Satz von Kaloujnine-Krasner
4.) Die Sylowgruppen von Sn
5.) Die Sylowgruppen von GL(n,q)

 
Äquivalenz von Gruppenerweiterungen



Im letzten Artikel haben wir schon kennengelernt, was Gruppenerweiterungen sind und einen kleinen Einblick gewonnen, warum sie so eine große Rolle spielen. Unter anderem wurde das Problem der Klassifizierung aller Gruppenerweiterungen angesprochen.
Genau wie bei so vielen anderen Strukturen ist man natürlich nur an den wesentlichen Eigenschaften einer Gruppenerweiterung interessiert und definiert daher den Begriff der Äquivalenz:
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Was "Äquivalenz" heißt, sollte auch eine sein. Prüfen wir das also nach. Zunächst ein kleiner Schlenker:
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Kranzprodukte



Wir werden in diesem Artikel eine spezielle Unterart von semidirekten Produkten verwenden, die sich als besonders nützlich herausgestellt hat: Die so genannten Kranzprodukte.

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Eine unangenehme Sache ist hierbei, dass jeder dieser Spezialfälle auch bei einigen Autoren direkt als Definition genommen wird. Was also so oft gilt, gilt auch hier: Vorsicht mit den Begriffen, man sollte sich immer vergewissern, was darunter jeweils verstanden wird.


Wir untersuchen als Nächstes ein paar Eigenschaften des Kranzprodukts:
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Kranzprodukte haben durch Teil (c) dieses Lemmas eine sehr enge Verbindung zu Gruppenoperationen und Permutationsgruppen. Wenn man z.B. daran interessiert ist, transitiven Permutationsgruppen eines bestimmten Grades zu finden(z.B. weil man Galoisgruppen berechnen möchte), kann man zunächst diejenigen finden, die primitiv operieren und dann die imprimitiven mit Hilfe eines Kranzproduktes zerlegen.

 
Der Satz von Kaloujnine-Krasner



Neben der engen Verbindung zu Permutationsgruppen besitzen Kranzprodukte auch eine enge Verbindung zu Gruppenerweiterungen. Sie sind als semidirektes Produkt nicht nur selbst eine spezielle Unterart von Gruppenerweiterungen, es ist umgekehrt nämlich sogar so, dass sich jede Gruppenerweiterung in ein Kranzprodukt einbetten lässt.

Dies ist eine wesentliche Aussage des Satzes von Kaloujnine-Krasner:
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Wir können sogar noch einen Schritt weiter gehen und sagen, dass die Konjugiertenklasse dieser Einbettung eine Invariante bezüglich Äquivalenz von Gruppenerweiterungen ist:

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Das Problem, die Gruppenerweiterungen von Q mit N zu klassifizieren ist mit dem Satz von Kaloujnine-Krasner also das Problem, bestimmte Untergruppen im Kranzprodukt von N und Q zu bestimmen.

 
Die Sylowgruppen von Sn



Neben der Anwendung in "abgehobenen" Bereichen der Gruppentheorie treten Kranzprodukte auch in sehr viel einfacheren Fragestellungen schon auf. Durch die oben angesprochene enge Verbindung von Kranzprodukten und Gruppenoperationen ist es uns z.B. möglich, die p-Sylowgruppen der Sn mit Hilfe von Kranzprodukten vollständig zu bestimmen.


Zunächst führen wir einige Bezeichnungen ein:
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Die Sylowgruppen von GL(n,q)



Für diesen Abschnitt sei p wieder eine Primzahl, q eine Potenz von p und r eine Primzahl, die von p verschieden ist. Wir werden nur die r-Sylowgruppen von GL(n,q) bestimmen, da die p-Sylowgruppen von GL(n,q) zu finden, deutlich einfacher ist. Das ist eine oft auftretende Übungsaufgabe, man findet die Lösung dazu u.A. hier in meinem Notizbuch.

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Abschluss



Ich hoffe, ich konnte euch in diesem und dem letzten Artikel von der Nützlichkeit der Gruppenerweiterungen, semidirekten und Kranzprodukte überzeugen und dass ihr Spaß hattet beim Lesen.
Ich bedanke mich nochmal ganz herzlich bei meinen Testleser(innen) für die gute Zusammenarbeit. Wenn ich mal wieder ein interessantes Thema finde, wird es sicherlich einen neuen Gruppenzwang-Artikel geben.

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Die Gruppenzwang-Reihe



Teil 1: Wir rechnen mit allem
Teil 2: Anonyme Mathematiker bieten Gruppentherapie an
Teil 3: Sensation: Homo Morphismus ist ein Gruppentier
Teil 4: Gruppencamper brauchen Iso(morphie)matten
Teil 5: Dr.Cauchy und Dr.Sylow bitte zur GruppenOP
Teil 6: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden
Teil 7: Gruppen sind immer noch top!
Teil 8: Konvois auf der A20: Autos nur noch in Gruppen unterwegs
Teil 9: Unfall im Genlabor: (Per)mutationen in der Bevölkerung
Teil 10: Jäger der verlorenen Gruppe - Special Xtended Version
Teil 11: Der Gruppentheorie-Adventskranz
Teil 12: Wegen guter Führung entlassen: Gruppen sind frei
Teil 13: Amnestie: Auch Untergruppen frei
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: Mathematik :: Algebra :: Gruppentheorie :: Permutationen :: Matrizen :: Reine Mathematik :
Gruppenzwang XI: Der Gruppentheorie-Adventskranz [von Gockel]  
Elfter Teil der Gruppenzwangreihe. Hier geht es um Kranzprodukte, Äquivalenz von Gruppenerweiterungen, den Satz von Kaloujnine-Krasner und es werden die Sylowgruppen der GL(n,q) sowie Sym(n) klassifiziert.
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
 
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