Mathematik: Von den reellen Zahlen zu den Oktonionen
Released by matroid on Mo. 12. März 2007 23:16:17 [Statistics]
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Mathematik

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Von den reellen Zahlen zu den Oktonionen



Hallo, Algebrafreunde.

Es wurde vor längerer Zeit einmal gewünscht, Martin_Infinites Konstruktion der Zahlenmengen über fed-Code einblenden hinaus fortzusetzen und komplexe Zahlen, Quaternionen und Oktonionen einzuführen.
Genau dies soll dieser Artikel leisten. Ich will dabei nicht sehr auf die Eigenheiten dieser Strukturen eingehen, sondern ich möchte vielmehr ihre Konstruktion nach Cayley-Dickson sowie den Beweis, dass fed-Code einblenden die einzigen normierten, reellen Divisionsalgebren sind, vorführen.


Inhalt




Algebren



Vor allem für den Eindeutigkeitsbeweis möchte ich kurz noch ein paar Begrifflichkeiten einführen:

fed-Code einblenden


Normierte Algebren



Es gibt eine ziemliche Vielfalt von Algebren, so ist beispielsweise jeder Matrizenring eine unitäre, assoziative Algebra. Selbstverständlich ist auch jeder Körper eine Algebra über sich selbst.
Die vier Algebren, für die wir uns hier interessieren, haben aber eine Zusatzstruktur, die sie so einmalig macht: Sie sind so genannte normierte Divisionsalgebren.

fed-Code einblenden

Es ist Vorsicht geboten auch bei diesem Begriff! In anderen Bereichen der Mathematik wie der Funktionalanalysis ist mit einer normierten Algebra z.B. immer ein reeller Vektorraum mit einer multiplikativen Norm gemeint. Das ist ein Unterschied zu unserer Definition!
Zum einen lassen wir beliebige Körper zu, zum anderen entspricht selbst über fed-Code einblenden unser N eher dem Quadrat einer Norm im analytischen Sinne.

Ähnliches wird auch bei späteren Definitionen der Fall sein. Man sollte unbedingt in jeder Quelle nachlesen, welche der diversen Varianten wirklich benutzt wird und wo sie ggf. von meinen abweichen.


fed-Code einblenden


Wir halten kurz ein paar Fakten über normierte Divisionsalgebren fest:
fed-Code einblenden

Für reelle, normierte, endlich-dimensionale Divisionalgebren können wir also durch Wahl einer geeigneten Basis annehmen, dass die Norm von Standardskalarprodukt erzeugt wird.

fed-Code einblenden

Die Verdopplungskonstruktion nach Cayley-Dickson



Schlüssel zum Verständnis ist die so genannte Cayley-Dickson-Konstruktion, die aus einer normierten Algebra eine weitere normierte Algebra mit doppelter Dimension macht.

fed-Code einblenden
Was sich nicht ohne Weiteres übertragen lässt, sind Kommutativität, Assoziativität, Multiplikativität der Norm und die Eigenschaft, eine Divisionalgebra zu sein, wie wir noch sehen werden.


Soweit, so unspektukulär. Es stellen sich aber jetzt zwei Fragen:
1.) Ist diese Konstruktion überhaupt interessant für uns, d.h. gibt es solche Antiautomorphismen überhaupt bei den Algebren, die wir betrachten wollen?
2.) Wozu macht man sowas überhaupt, welche Vorteile ergeben sich daraus, gerade diese Konstruktion zu betrachten?


fed-Code einblenden


fed-Code einblenden

Besonders Lemma 2 und 3 werden wir gleich noch brauchen, um ohne Assoziativ- und Kommutativgesetz gewisse Umordnungen und Umklammerungen durchzuführen.

Warum nur Zweierpotenzen?



fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden


fed-Code einblenden


Anmerkungen:
fed-Code einblenden


Der Beweis zeigt uns vor allem, dass jede endlich-dimensionale, reelle, normierte Divisionsalgebra aus den reellen Zahlen durch iterierte Anwendung des Cayley-Dickson-Verfahren hervorgeht. Insbesondere kann es bis auf Isomorphie immer nur höchstens eine normierte, reelle Divisionsalgebra endlicher Dimension geben.

Was uns noch zu zeigen bliebe, wäre, dass unsere vier Lieblinge - die reellen und komplexen Zahlen, die Quaternionen und die Oktonionen - tatsächlich die einzigen normierten Divisionsalgebren sind, die dabei herauskommen können und man den Verdopplungsprozess nicht beliebig fortsetzen kann.

Warum nicht alle Zweierpotenzen?

"Es geht nicht, noch eine Oktave höher zu singen als fed-Code einblenden sonst geht alles den Banach runter." - Tobi Pfanner

fed-Code einblenden
Welche Beziehungen das konkret sind, habe ich versucht, in dieser Tabelle zu veranschaulichen:
fed-Code einblenden

fed-Code einblenden fed-Code einblenden fed-Code einblenden  
  N+A fed-Code einblenden   ND: Divisionsalgebra
N: normiert
A: assoziativ
K: kommutativ
T: Konjugation=idB
D+N+A fed-Code einblenden D+N
D+N
  N+A+K fed-Code einblenden   N+A
D+N+A+K fed-Code einblenden D+N+A
D+N+A
  N+A+K+T fed-Code einblenden   N+A+K
D+N+A+K+T fed-Code einblenden D+N+A+K
D+N+A+K


fed-Code einblenden


fed-Code einblenden


fed-Code einblenden

Das große Finale



Mit den Sätzen 5 und 6 haben wir nun alles, was wir brauchen, um die Eindeutigkeit der vier reellen, normierten Divisionalgebren zu zeigen.

fed-Code einblenden


fed-Code einblenden

Man kann das hier bewiese Resultat noch geringfügig verschärfen, indem man genau untersucht, wozu wirklich welche Voraussetzung benutzt wurde.
Für die Lemmata 3 und 4, Satz 5 sowie den Schluss von N auf N+A haben wir von der Divisionsalgebra im Wesentlichen die Nicht-Ausgeartetheit der von N induzierten Bilinearform benutzt. Für N+A=>N+A+K mussten wir einmal kürzen.

Wenn man also "normierte Divisionalgebra" durch "normierte, nullteilerfreie Algebra mit nicht-ausgearteter Norm" ersetzt, kann man die Beweise übernehmen.

Abschluss



So, das soll es bis hierhin gewesen sein. Man kann natürlich noch mehr zu den hier neu gewonnen Strukturen sagen, etwa über die algebraische Abgeschlossenheit von fed-Code einblenden , die physikalischen und computergraphischen Anwendungen von fed-Code einblenden oder die geometrische Interpretation der Räume fed-Code einblenden .
Eine Zusammenhang zwischen den drei- und vierdimensionalen Drehungsgruppe und den Quaternionen habe ich früher schon einmal in meinem Notizbuch beschrieben:
Die orthogonale Darstellung von SU(2)xSU(2)
Die orthogonale Darstellung von SU(2)

Doch damit möchte ich es hier bewenden lassen. Ziel war ja vor allem der Beweis der Eindeutigkeit der vier reellen, normierten Divisionsalgebren und der ist erbracht. Ich hoffe, er hat euch gefallen.

fed-Code einblenden
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: Mathematik :: Algebra :: Quaternionen :: Oktonionen :: Sedenionen :: Komplexe Zahlen :: Architektur der Mathematik :: Reine Mathematik :
Von den reellen Zahlen zu den Oktonionen [von Gockel]  
Artikel über die Konstruktion von IC, IH und IO aus den reellen Zahlen durch die Verdopplungskonstruktion von Cayley-Dickson. Es wird beweisen, dass IR, IC, IH, IO die einzigen reellen, normierten Divisionsalgebren sind.
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