Mathematik: Finite Time Blowup
Released by matroid on Do. 31. Mai 2007 07:04:00 [Statistics]
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Analysis

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Finite Time Blow-up
Oder "Hey! Da geht was mächtig in die Hose."

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Viele Gleichungen gehen schief

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Abschluss


Um den ganzen Artikel abzurunden, möchte ich am Ende noch kurz erwähnen, dass man zeigen kann, dass immer ein "Blow-up" ähnliches Verhalten bei ODEs eintritt, wenn keine globale Existenz der Lösung vorliegt.
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Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen:
: Analysis :: Differentialgleichungen :: Physik :: Grundstudium Mathematik :
Finite Time Blowup [von cow_gone_mad]  
Finite Time Blow-up oder "Hey! Da geht was mächtig in die Hose." - Über die Differentialgleichungen y'(x) = y(x)^2 und Varianten davon
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"Mathematik: Finite Time Blowup" | 2 Comments
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Re: Finite Time Blowup
von: Spock am: Do. 31. Mai 2007 22:05:22
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Hej Helge,

einverstanden, bei qualitativen Randbedingungen gehen manche Differential- Gleichungen schief. Aber das ist nicht wirklich neu, oder?

Wäre schön, wenn Du etwas mehr über Deine (physikalischen?) Beweggründe schreiben könntest, ich bekomme "Finite Time Blow-up" noch nicht so richtig eingeordnet, und ich frage Dich auch nicht, was im Moment Deine Lieblings-Hosen sind, :-)

Gruß
Juergen
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Re: Finite Time Blowup
von: cow_gone_mad am: Do. 31. Mai 2007 22:24:47
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Hallo Juergen :-)

Das Problem wirklich physikalisch motivierte Beispiele sind deutlich schwieriger. Ein Beispiel wäre zum Beispiel die Beschreibung von Flachwasserwellen durch die Camassa-Holm Gleichung (Google gibt keine vernünftigen Links aus ... 😉 ). Dort modelliert man eine Welle durch ihre Höhe u(x,t) an einer Stelle x zum Zeitpunkt t.

Nun gibt es hier kein "Blowup" Verhalten von u(x,t), sondern von der Ableitung nach x u_x(x,t) in endlicher Zeit. Dies entspricht den Punkten, wo die Welle unendlichen Anstieg hat, und somit der wirklichen Wellenbrechung (siehe <a target=_top href="http://www.polarfoto.com/galerie_ansicht/meer//seite2/foto_6203">hier, das ist ein Bild).

Das wäre ein Beispiel von der physikalischen Motivation dahinter solche Phänomene zu untersuchen.

Ein anderes wären Schwarze Löcher, aber hier tretten noch mehr Aspekte   in den Vordergrund, da man nicht mehr die Evolution einer skaleren Funktion, sondern die einer Metrik betrachtet.

Der Vorteil des obigen Beispiels ist seine Einfachheit. 😉 Man sollte vielleicht noch anmerken, dass alle obigen Beispiele nicht lineare PDEs sind, und deswegen schon um einiges schwerer zu handhaben, als was ich oben mache.

Liebe Grüsse,
cow_
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