Mathematik: Die regula falsi - Adam Ries` wichtigste Rechenregel
Released by matroid on Di. 26. Juni 2007 20:42:10 [Statistics]
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Bildung

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Wie bereits in meinem Artikel zum Leben des "Rechenmeisters" Adam Ries angedeutet, hat sich jener besonders um die Rechenfähigkeiten des gemeinen Volkes verdient gemacht. Er hat seine Werke in Deutsch verfasst und die Verwendung der arabischen Ziffern, die die römischen Ziffern verdrängt haben, vorangetrieben.

Hier möchte ich nun die vielleicht wichtigste Regel Adam Ries` aufgreifen, darstellen und kurz beweisen. Es handelt sich hierbei um die sogenannte "regula falsi", die dem zweiten Buch Ries` entnommen ist, dem Werk "Rechnung auff der linihen und federn" (1522).


(1) Die "regula falsi" - historisch

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In "Rechnung auff der linihen und federn" lautet die Vorschrift zur Anwendung der "regula falsi" wie folgt:

"wird angesetzt mit zwei falschen Zahlen, die der Aufgabe entsprechend gründlich überprüft werden sollen in dem Maße, wie es die gesuchte Zahl erfordert. Führen sie zu einem höheren Ergebnis, als es in Wahrheit richtig ist, so bezeichne sie mit dem Zeichen + plus, bei einem zu kleinen Ergebnis aber beschreibe sie mit dem Zeichen -, minus genannt. Sodann ziehe einen Fehlbetrag vom anderen ab. Was dabei als Rest bleibt, behalte für deinen Teiler. Danach multipliziere über Kreuz jeweils eine falsche Zahl mit dem Fehlbetrag der anderen. Ziehe eins vom anderen ab, und was da als Rest bleibt, teile durch den vorher berechneten Teiler. So kommt die Lösung der Aufgabe heraus. Führt aber eine falsche Zahl zu einem zu großen und die andere zu einem zu kleinen Ergebnis, so addiere die zwei Fehlbeträge. Was dabei herauskommt, ist dein Teiler. Danach multipliziere über Kreus, addiere und dividiere. So kommt die Lösung der Aufgabe heraus."


(2) Die "regula falsi"

Zunächst möchte ich versuchen, die Vorgehensweise in zeitgemäßem Deutsch wiederzugeben.

Die "regula falsi" ist nach Adam Ries ein Verfahren, bei dem man die richtige Lösung durch Probieren mit zwei Versuchszahlen erhält. Diese müssen in die Aufgabenstellung eingesetzt werden. Führen sie zu einem höheren Ergebnis als verlangt, so soll man ein + davor setzen, bei einem niedrigeren Ergebnis ein -. Was Ries nicht erwähnt - es ist ja auch offensichtlich - wenn sich bereits bei einer der beiden Versuchszahlen das richtige Ergebnis einstellt - hat man schon die Lösung der Aufgabe gefunden.
Nun schreibt man die falschen Zahlen mit ihren "lugen", das sind die Fehlbeträge, auf. Nun muß man zwei Fälle unterscheiden.

Beide Ergebnisse sind zu groß oder zu klein (Fälle 1 und 2)

Man multipliziert nun kreuzweise die angenommenen Zahlen mit ihren Fehlbeträgen, beginnend mit der zweiten Zahl und dem Fehlbetrag der ersten, bildet daraus die Differenz und dividiert diese durch die Differenz zwischen dem ersten und zweitem Fehlbetrag. So ergibt sich die gesuchte Lösung.

Ein Ergebnis ist zu groß, das andere zu klein (Fall 3)

Man bildet die Summe, deren beide Summanden die kreuzweisen Produkte zwischen einer angenommenen Zahl und dem Fehlbetrag der anderen Zahl sind, und dividiert diese durch die Summe der Fehlbeträge. So erhält man in diesem Fall die gesuchte Lösung.

(3) Rechenbeispiele

Anhand einiger Rechenbeispiele aus dem zweiten Buch von Adam Ries möchte ich nun die Vorgehensweise noch einmal veranschaulichen.

Fall 1: Beide Ergebnisse sind zu groß

Eine sogenannte "Gott grüß Euch"-Aufgabe. Ein Aufgabentypus aus der Unterhaltungsmathematik, der sich bereits in der griechischen Antike nachweisen läßt:

"Einer spricht: Gott grüße euch, ihr 30 Gesellen. Einer antwortet: Wenn wir noch einmal so viele und halb so viele wären, so wären wir 30. Die Frage: Wie viele sind es gewesen?"


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Fall 2: Beide Ergebnisse sind zu klein

Wiederum ein traditioneller Aufgabentypus, eine sogenannte "Schachtelaufgabe":

"Einer hat Geld, verspielt davon 1/3, verbraucht vom übrigen 4 Gulden, handelt mit dem Rest, verliert 1/4 und behält 20 Gulden. Wieviel hat er zu anfang mit sich geführt?"


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Fall 3: Ein Ergebnis ist zu groß, das andere zu klein

Wieder ein zur damaligen Zeit bekannter Aufgabentyp:

"Einer nimmt einen Arbeiter 30 Tage unter Vertrag. Wenn er arbeitet, gibt er ihm 7 Pfennig pro Tag. Wenn er aber faulenzt, rechnet er ihm 5 Pfennig pro Tag ab. Und als die 30 Tage vorbei sind, ist keiner dem anderen etwas schuldig geblieben. Die Frage: Wieviel Tage hat er gearbeitet und wieviel Tage hat er gefaulenzt?

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(4) Nicht-Anwendbarkeit auf nicht-lineare Probleme

Adam Ries erwähnte nie explizit, daß das Verfahren der "regula falsi" nicht auf nicht-lineare Gleichungen angewendet werden kann. Er ging stillschweigend davon aus, daß diejenigen Bevölkerungsschichten, für die er seine Rechenbücher konzipiert hatte, nicht mit quadratischen, kubischen oder Gleichnugen noch höheren Grades rechnen bräuchten, von trigonometrischen Gleichungen oder gemischten Gleichungen ganz zu schweigen.

Zum Nachweis der Nicht-Anwendbarkeit sei die wohl einfachste nicht-lineare Gleichung ein Beispiel:

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(5) Beweis der "regula falsi"

Adam Ries veröffentlichte niemals einen Beweis der "regula falsi". Wie bereits mehrfach betont, sah er die Aufgabe seiner Volksrechenbücher darin, allen Bevölkerungsschichten einen Zugang zum Rechnen zu verschaffen und ihnen bei alltäglichen rechnerischen Fragen Hilfestellungen anzubieten.

Ich werde nun für jeden der drei Fälle einen einfachen Beweis durch Nachrechnen liefern. Weiter gibt es noch eine geometrische Begründung für die Richtigkeit der "regula falsi", die auf den byzantinisch-arabischen Mathematiker Quasta ibn Luqua, der um 900 nach Christus in Armenien und Syrien gelebt hat, zurückgeht.

Fall 1


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Fall 2

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Fall 3

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(6) Bedeutung der "regula falsi" heute

Da das Verfahren der "regula falsi" recht unzweckmäßig ist, hat es beim Lösen von linearen Gleichungen heutzutage keinerlei Bedeutung mehr, weil sich ebensolche Gleichungen wesentlich einfacher durch simple algebraischen Umformungen lösen lassen.

Anders als zur Zeit Adam Ries` sind heute solch einfache Umformungen weitestgehend jedem bekannt, so daß ein Verfahren mit Versuchszahlen nicht mehr von Nöten ist.

(7) Schlußbemerkungen

In diesem Artikel habe ich nun die wichtigste von Adam Ries` Rechenregeln vorgestellt.

Ich hoffe, dem ein oder anderen von Euch hat der Artikel gefallen und Ihr freut Euch schon auf den nächsten Artikel zur Thematik "Adam Ries".

Bevor ich auf die Literatur, die mir beim Erstellen dieses Artikels hilfreich war, verweise, möchte ich noch kurz darauf hinweisen, daß es in der Numerik ein Approximationsverfahren namens "regula falsi" gibt, mit dem man näherungsweise die Nullstellen einer Funktion bestimmen kann.



Als Quellen für diesen Artikel dienten:

Wußing, H.: Ries, Adam
Wußing, H.: Ries in Adam in "Lexikon bedeutender Mathematiker"
Rochhaus, P.: Rechnen auf dem Abacus
Deschauer, S.: Das erste Rechenbuch von Adam Ries
Deschauer, S.: Das zweite Rechenbuch von Adam Ries
Hase, W. und Dethlefs, G.: Damit mussten sie rechnen.....

Euer HiP
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Die regula falsi - Adam Ries` wichtigste Rechenregel [von Hans-im-Pech]  
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"Mathematik: Die regula falsi - Adam Ries` wichtigste Rechenregel" | 9 Comments
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Re: Die regula falsi - Adam Ries` wichtigste Rechenregel
von: Hans-im-Pech am: Mi. 27. Juni 2007 14:47:56
\(\begingroup\)
Danke für die Korrektur meiner Rechtschreibfehler!

Grüße,
HiP\(\endgroup\)
 

Re: Die regula falsi - Adam Ries` wichtigste Rechenregel
von: FlorianM am: Mi. 27. Juni 2007 17:46:30
\(\begingroup\)
Hi Hans,
was soll ich sagen? Ein schöner Artikel, der sich gut lesen lässt.

Gruss Florian\(\endgroup\)
 

Re: Die regula falsi - Adam Ries` wichtigste Rechenregel
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 27. Juni 2007 19:55:05
\(\begingroup\)
Aber erst nachdem Ihr meine Tippfehler beanstandet habt. ;-)

HiP(nicht mehr eingeloggt)\(\endgroup\)
 

Re: Die regula falsi - Adam Ries` wichtigste Rechenregel
von: dax_riggs am: Mi. 27. Juni 2007 22:09:00
\(\begingroup\)
Toller Artikel :-)

Ich werde das Verfahren in Zukunft auch anwenden :-D.\(\endgroup\)
 

Re: Die regula falsi - Adam Ries` wichtigste Rechenregel
von: Bernhard am: Fr. 29. Juni 2007 23:33:19
\(\begingroup\)
Schön, was Du da herausgekramt hast - man lernt doch auch aus den alten Zeiten immer was neues!
Du hast angedeutet, daß es für die "regula falsi" eine geometrische Entsprechung gibt. Kannst Du die uns - vielleicht beim nächsten Mal auch noch zeigen?

Vielen Dank!
Bernhard\(\endgroup\)
 

Re: Die regula falsi - Adam Ries` wichtigste Rechenregel
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 11. November 2007 09:44:48
\(\begingroup\)
gesucht gesucht aber net des richtige gefunden.
:(:?

\(\endgroup\)
 

Re: Die regula falsi - Adam Ries` wichtigste Rechenregel
von: Hans-im-Pech am: Mo. 12. November 2007 16:51:53
\(\begingroup\)
Hallo Bernhard,

ich arbeite daran.....

Viele Grüße,
HiP
\(\endgroup\)
 

Re: Die regula falsi - Adam Ries` wichtigste Rechenregel
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 28. April 2008 09:59:41
\(\begingroup\)
Netter Artikel,

was allerdings fehlt, ist dass die regula falsi immernoch sehr wichtig ist, und oft verwendet wird - und zwar zum numerischen Lösen nichtlinearer Gleichungen. Dort ist zwar das Ergebnis normalerweise nach einem Durchlauf noch nicht richtig, sondern dient als Basis eines weiteren Durchlaufs. Das macht man dann solange, bis das Ergebnis zufriedenstellend ist. In der Schule wird dafür zwar oft das Newton-Verfahren gelehrt, aber es erfordert das Bilden und Berechnen der Ableitung. Für einen Computer ist deswegen die regula falsi schneller (=besser).\(\endgroup\)
 

Re: Die regula falsi - Adam Ries` wichtigste Rechenregel
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 26. August 2014 10:38:42
\(\begingroup\)
Jede Formelsammlung enthält die Regula falsi. Sie soll laut Formelsammlung auch auf nichtlineare Fälle angewendet werden. Dann ist die Regula falsi allerdings ein Rekursionsverfahren (ähnlich dem Newton-Verfahren) zur näherungsweisen Bestimmung einer Nullstelle. Im nichtlinearen Falle sind durchaus Fallunterscheidungen bedeutungsvoll. Im linearen Falle sind Fallunterscheidungen überflüssig - zumindest wenn man sich genau an Adam Ries Anweisungen hält. Es lohnt sich, auf diese Anweisungen ganz detailliert einzugehen (was in dem Artikel leider nicht geschieht). Adam Ries schildert nämlich die Konstruktion einer Zuordnungsvorschrift "falsche Lösungsannahme" zu "Lüge" (nicht "lugen", wie der Artikel behauptet). Im Rahmen dieser Konstruktionsvorschrift lässt Ries erkennen, dass er 2x2-Matrizen und die Berechnung ihrer Determinante kennt. Der überaus wortreiche Artikel hätte wesentlich komprimiert werden können, wenn man Ries vollständig verstanden hätte.  \(\endgroup\)
 

 
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