Mathematik: Zur Dynamik von Würfeltexturen
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Mathematik

\(\begingroup\) Bild \stress\ Würfeltexturen und ihre Bedeutung \big Zusammenfassung Aufbauend auf den erarbeiteten Grundlagen in den Artikeln Die Signatur der Würfelnetze [SW], Die Mechanik der Würfelnetze [MW] und Vom Würfelnetz zum Raumquant [WR] betrachtet dieser Artikel nun die Texturen der generierten Würfel und ihre Beziehungen zueinander. Insbesondere wird erörtert, welche Resultate zu erzielen sind, wenn man die Texturen in einem energetischen Rahmen fluktuieren lässt. Dabei werden für jede Textur die Kanten einer Würfelecke untereinander ausgetauscht und die resultierenden Eigenschaften aus diesen Fluktuationen analysiert.

\big Grundlegende Formalismen Es wird ein Würfel anhand seiner Flächenausrichtung betrachtet. Die Deckelfläche des Würfels bezeichnet man als Top T. Die Basisfläche, auf die der Würfel liegt, bezeichnet man als Bottom B. Stellen man sich nun vor, dass man den Würfel von oben sieht, so erblickt man die Top-Fläche. Ihre linke Seite mündet dann in die entsprechende Seiten-Fläche, die nun als West W bezeichnet wird. Desgleichen die rechte Seite als East E. Von der Draufsicht der Top-Fläche aus betrachten man dann die "obere" Seite als Anschluss an die Seitenfläche North N und die "untere" Seite an die Fläche South S. Somit besteht der Würfel aus den Flächen Top T Bottom B North N East E South S West W Die zwölf Kanten und acht Ecken werden dann aus den sie bildenden Flächen gebildet. Zwölf Kanten: TN, TE, TS, TW, BN, BE, BS, BW, NE, NW, SE, SW Selbstverständlich bezeichnet bei dieser Festlegung z.B. TN = NT die selbe Kante. Acht Ecken: TNW, TNE, BNW, BNE, TSW, TSE, BSW, BSE Auch hier bezeichnet z.B. BSW = WSB = WBS die selbe Ecke. Um nun die Textur eines gegebenen Würfels zu erfassen, werden reine Identifikationswerte den einzelnen Kanten zugeordnet. Eine Kante kann entweder den Wert einer Bindung repräsentieren oder den Wert einer Kopplung. Da es in einem Würfel fünf Kopplungen gibt, ist der Kopplungsidentifikations-Wert einfach der Gesamtkopplungswert eines Würfelnetzes 45 ([MW],3). Ein Würfel wird durch seine Textur-Gleichung eindeutig dargestellt. So besitzt beispielsweise der Würfel mit dem Würfelnetz det(W,T,E;,S,;,B,;,N,) die Kopplungstexturgleichung WT + TE + TS + SB + BN = 45 Gleichbedeutend könnte man selbstverständlich die komplementäre Bindungstexturgleichung benutzen. Der Wert für eine Bindung beträgt 1. Betrachten man nun daraus die Ecke WTS, so gilt für diese die Beziehungen: WT + TS > 3; WS = 1 Die Kanten WT und WS können zwar untreinander fluktuieren, also sich untereinander im Würfel austauschen, doch da beides Kopplungskanten sind, ergibt das keine Änderung in der Textur. Es handelt sich also um eine neutrale Fluktuation. Solche wird in den folgenden Betrachtungen außer Acht lassen. Die beiden anderen Fluktuationen ändern die Würfeltextur und damit die entsprechende Gleichung des Würfels: WT \textleftarrow\textrightarrow WS => WS + TE + TS + SB + BN = 45 TS \textleftarrow\textrightarrow WS => WT + TE + WS + SB + BN = 45 Nach diesen Vorabeiten kann man nun für alle Würfeltexturen die Eckenfluktuationen vornehmen.
\big Energetische Begründung von Kantenfluktuationen Die energetische Grundlage von Kantenfluktuationen ergibt sich aus dem Würfelinnenwert, wie er in [WR] hergeleitet wurde: Es fällt auf, dass sich die energetischen Würfelnetzwerte nur von der sich bildenden Oberfläche des Würfels, eben des Würfelnetzes, durch Kopplung, Faltung und Bindung ableiteten. Es zeigt sich ein Quantum des Raumes oder der Zeit in Abhängigkeit des gewählten Würfelnetzes bzw.,als nun schon generierter Würfel, der Würfeltextur. Wie in [MW] u.a. die Diagonalen der Würfelnetzflächen in den Rechnungen einflossen, so können auch die Raumdiagonalen der Quantenwürfel erfasst werden, die ja die kurz angesprochenen gegenüberliegenden Ecken miteinander verbinden. Dadurch entsteht in der Würfelmitte ein Schnittpunkt dieser Diagonalen. Dieser Schnittpunkt lässt sich wiederum mit den Schnittpunkten der Flächendiagonalen verbinden. Die normierte Kantenlänge der Würfel ist 1 (was physikalisch als Quant aber die Plancklänge als Einheitslänge darstellen soll) und alle Streckensummen im Schnittpunkt des Würfels werden multipliziert: Die Summe der Raumdiagonalen beträgt \ R_(d\Sigma) = 4 * sqrt(3) \approx\ 4 * 1,732 = 6,928 # ([WR],6) Von den Verbindungslinien der Schnittpunkte der gegenüberliegenden Seitenflächendiagonalen gibt es nur drei, die wiederum die normierte Kantenlänge 1 besitzen, somit gilt für diese Raumverbindungen \ R_(v\Sigma) = 3 # ([WR],7) Für den energetischen Würfelinnenwert ergibt sich somit \ W_(v*d) = R_(v\Sigma) * R_(d\Sigma) = 3 * 6,928 = 20,784 # ([WR],8)
\big Single-Fluktuationen Der maximale einzelne Kopplungswert beträgt ja (für die 5.Kopplung) 19 und ein Bindungswert hat stets den Wert 1. Bei einer Fluktuation zweier Kanten werden ja nicht wirklich die Kanten ausgetauscht, sondern ihre energetischen Werte, wodurch ein energetischer Fluß von einer Kante zur anderen (über den Punkt via der Halbdiagonalen) entsteht. Für eine Fluktuation zweier Kanten - also ein Kantenaustausch zwischen Bindung und Kopplungskante kann daher maximal nur der Wert 19-1=18 fließen, was durch den Würfelinnenwert, der nur für fertige Würfel existiert, mit 20,7 bereitgestellt wird. Folgende Kopplungskanten können theoretisch mit ihren Werten in einer Ecke untereinander fluktuieren: \ 5-3=2 7-3=4 7-5=2 11-3=8 11-5=6 11-7=4 19-3=16 19-5=14 19-7=12 19-11=8 Das sind zehn reine Kopplungs-Kanten-Fluktuationen. Hinsichtlich der Würfeltextur sind sie neutral, sie ändern ja nichts am Verhältnis von Kopplungen zu Bindungen. Hinsichtlich des energetischen Austausches aber, sind sie nicht neutral, sondern haben einen energetischen Betrag größer 0. Reine Bindungsfluktuationen sind selbstverständlich stets möglich. Da eine Bindung mit dem energetischen Wert 1 mit einer weiteren des selben Wertes nur den Fluktuationsfluß \ 1 - 1 = 0 annehmen kann, sind sie bezüglich der Textur und auch des energetischen Flusses neutral, finden also nicht statt. Mit den gemischtwertigen Fluktuationen von Bindung und Kopplungen ergeben sich fünf weitere: \ 3-1=2 5-1=4 7-1=6 11-1=10 19-1=18 Also 16 erlaubte Fluktuationen zweier Kanten in einer Ecke entsprechend des Würfelinnenwertes. Dabei fällt auf, dass der energetische Rahmen meist nicht ausgenutzt wird, wenn es sich nur um eine Single-Fluktuation im Würfel handelt. Die Summe aller energetischen legalen Single-Fluktuationswerte ergibt \ 2 + 4 + 2 + 8 + 6 + 4 + 16 + 14 + 12 + 8 + 2 + 4 + 6 + 10 + 18 = 116 # (1) Das ergibt für die 16 legalen Single-Fluktuatioenen einen Duchschnittswert von \ 116 / 16 = 7,25 # (2) Wenn man also bedenkt, dass der Höchstwert für eine Single-Fluktuation mit \ 19-1 = 18 # (3) liegt, dann zeigt sich, dass bei einer Single-Fluktuation im Durchnschnitt ein energetischer Überschuß von \ maximaler Singel Wert - Durchschnittswert = 20,78 - 7,25 = 13,53 generiert würde.
\big Synchrone Fluktuationen Postuliert man eine energetische Auslastung bei den Kantenfluktuationen in den Würfeln, dann findet man zu einem Zeitpunkt t synchrone Fluktuationen im gegebenen Würfel entsprechend seiner Textur. Diese Synchronisierung ist dadurch möglich, dass ein Würfel disjunkte Ecken besitzt. Ecken also, die keine gemeinsame Kanten haben. In einem Würfel wären das jeweils vier Ecken: Entweder die Menge der Ecken \ E_1 = {EBN; WBS; WTN; ETS} # (4) oder die Menge \ E_2 = {ETN; WTS; WBN; EBS}. # (5) Somit sind maximal vier synchrone Kantenfluktuationen im Würfel möglich, wobei das energetische Maximum von 20,78 die Grenze darstellt. Anhand des bekannten Beispiels soll das verdeutlicht werden: \ det(W,T,E;,S,;,B,;,N,) Für dieses Würfelnetz seien die Kopplungswerte wie folgt verteilt: \ WT = 19 TE = 7 TS = 11 SB = 3 BN = 5 Die restlichen Kanten haben als Bindungen im Würfel den Wert 1. \ Für die Menge E_1 = {EBN; WBS; WTN; ETS} erhält man die Kantenwerte: EBN = (EB,BN,EN) = (1,5,1) WBS = (WB,BS,WS) = (1,3,1) WTN = (WT,TN,WN) = (19,1,1) ETS = (ET,TS,ES) = (7,11,1) Woraus sich die Differenzwerte der energetischen Flüsse ergeben: Aus X = ( x_1 , x_2 , x_3 ) folgt d(X) = (abs(x_1 - x_2);abs(x_2 - x_3);abs(x_1 - x_3)) # (6) d(EBN) = (4;4;0) d(WBS) = (2;2;0) d(WTS) = (18;0;18) d(ETN) = (4;10;6) Um nun alle energetischen Summen zu berechnen, muss jede Komponente jedes Differenzvektors mit allen Komponenten der anderen Differenzvektoren summiert werden. Insgesamt sind 81 energetische Summen zu bilden. Es wird sich zeigen, dass ein bestimmter Prozentanteil der Summen die energetische Grenze von 20,78 überschreitet. Es existiert eine entsprechende Wahrscheinlichkeit, dass in diesem Würfel synchrone Fluktuationen nicht stattfinden können. Betrachtet man noch die komplementäre Menge von disjunkten Ecken \ E_2 = {ETN; WTS; WBN; EBS} mit den gegebenen Kopplungswerten WT = 19 TE = 7 TS = 11 SB = 3 BN = 5. Ergibt sich daraus die Verteilung der Kantenwerte zu ETN = (ET,TN,EN) = (7,1,1) WTS = (WT,TS,WS) = (19,11,1) WBN = (WB,BN,WN) = (1,5,1) EBS = (EB,BS,ES) = (1,3,1) mit den Differenzvektoren nach (6): d(ETN) = (6;0;6) d(WTS) = (8;10;18) d(WBN) = (4;4;0) d(EBS) = (2;2;0) Als Ergebnis erhält man zum Teil andere Differenzvektoren. \stress Wahrscheinlichkeitsverteilungen An dieser Stelle sei nur kurz angemerkt, dass das gezeigte System interessante Eigenschaften hinsichtlich der Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die Kantenfluktuationen besitzt. Aufgrund der Synchronisation der Fluktuationen zu einem Zeitpunkt hat man eine Zeitabhängigkeit und hinsichtlich der gewählten Würfeltextur eine Ortsabhängigkeit. Ferner erkennt man, dass in den disjunkten Ecken unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten für ein Zustandekommen von energetischen Flüssen vorliegt. Im gezeigten Beispiel sieht man dies für die Menge \ E_2 = {ETN; WTS; WBN; EBS} In den Ecken ETN = (ET,TN,EN) = (7,1,1) WTS = (WT,TS,WS) = (19,11,1) In ETN ist die Wahrscheinlichkeit einen energetischen Fluss zu generieren 2/3, da ja die Kantenfluktuationen in dieser Ecke die energetischen Werte (ET,TN)=7-1=6, (TN,EN)=1-1=0 und (ET,EN)=7-1=6 erzeugen können. Hingegen ist in WTS die Wahrscheinlichkeit einen energetischen Fluss zu generieren 1, da ja die Kantenfluktuationen in jener Ecke die energetischen Werte (WT,TS)=19-11=8, (TS,WS)=11-1=10 und (WT,WS)=19-1=18 bilden. Selbstverständlich gibt es auch andere Würfeltexturen, in denen drei Bindungskanten eine Ecke bilden, die Wahrscheinlichkeit zur Generierung eines energetischen Flusses ist dort 0. Interessant ist das gezeigte Beispiel auch noch in weit größerem Maße, wenn die Wahrscheinlichkeiten zur Bildung von energetisch möglichen synchronen Fluktuationen errechnet werden. Für die Menge E_1 = {EBN; WBS; WTN; ETS} haben 27 der 81 möglichen energetischen Summen einen Betrag kleiner als 20,78. Für die Menge E_2 = {ETN; WTS; WBN; EBS} haben hingegen 49 der 81 möglichen energetischen Summen einen Betrag kleiner als 20,78. In dem Würfel gibt es also keinen einheitlichen Wahrscheinlichkeitsraum. Diese Eigenschaft lädt zu weiteren Diskussionen ein, wie sie Karl Hess und Walter Philipp in [1] bezüglich der allgemeinen Gültigkeit der Bellschen Ungleichung führen.
\big Würfelnetz-Zerlegung durch Kantenfluktuationen Für die folgenden Erörterungen reicht es, nur solche Fluktuationen zu betrachten, die zwischen Kopplungs- und Bindungskanten in einer Ecke stattfinden. Zwar haben unterschiedliche Kopplungskanten verschiedene Kopplungswerte, aber ihre Fluktuation ist hinsichtlich der Würfeltextur neutral. Hingegen kann durch eine Fluktuation von Kopplungs- zu Bindungskante eine neue Würfeltextur entstehen, also eine Nachbarschaftstransformation des zugehörigen Würfelnetzes vollziehen, oder aber der Würfel vierliert eine oder mehrere zusammenhängende Flächen, d.h. das zugehörige Würfelnetz wird zerlegt. Betrachtet man die Würfeltexturgleichung \ WT+TN+NB+BE+ES=45 # (7) Das zugehörige Würfelnetz hat die Gestalt \ det(W,T,;,N,;,B,E;,,S) Zur Analyse der Texturtransformation betrachtet man Single-Fluktuationen für alle Ecken des Würfels und in jede dieser Ecken die entsprechenden Kopplungs-/Bindungs-Fluktuationen: \ \red\darkred\big\EBN BE \textleftarrow\textrightarrow NE => aus (7) wird nun WT+TN+NB+NE+ES=45 det(W,T,,;,N,E,S;,B,,) BN \textleftarrow\textrightarrow NE => aus (7) wird nun WT+TN+NE+BE+ES=45 det(W,T,,;,N,E,S;,,B,) Anmerkungen: (i) Man erkennt sofort, dass zwei Nachbarn des Ausgangsnetzes generiert wurden. (ii) Die Kantenfluktuatioenen BN \textleftarrow\textrightarrow BE wird nicht betrachtet, da beide Kanten Kopplungen sind und daher würfeltexturneutral bzgl einer Fluktuation. \red\darkred\big\WBS Anmerkung: (iii) Die Kanten WB, BS und WS sind nach (7) ausschließlich Bindungskanten, daher sind solche ihre Fluktuationen texturneutral und nicht weiter zu analysieren. \ \red\darkred\big\WTN WT \textleftarrow\textrightarrow WN => aus (7) wird nun WN+TN+NB+BE+ES=45 det(,T,;W,N,;,B,E;,,S) TN \textleftarrow\textrightarrow WN => aus (7) wird nun WT+WN+NB+BE+ES=45 det(T,,;W,N,;,B,E;,,S) Anmerkungen: (iv) Wieder erkennt man, dass zwei weitere Nachbarn des Ausgangsnetzes generiert wurden. (v) Anmerkung (ii) gilt nun entsprechend für WT \textleftarrow\textrightarrow TN. \ \red\darkred\big\ETS ET \textleftarrow\textrightarrow ES => aus (7) wird nun WT+TN+NB+BE+ET<45 # (8) det(W,T,e,;,N,,;,B,E,t) + det(S) # (9) TS \textleftarrow\textrightarrow ES => aus (7) wird nun WT+TN+NB+BE+TS=45 det(,S,;W,T,;,N,;,B,E) Anmerkungen: (vi) In der Ungleichung (8) sieht man, dass die Würfelfläche S fehlt, d.h. keine Fläche der anderen Flächen besitzt eine Kopplung mit S. Der Würfel ist unvollständig, das zugehörige Würfelnetz wurde zerlegt. Das Würfelnetz ist zerteilt in ein Pentomino und ein Unomino. In der Darstellung (9) wird mit den kleinen Buchstaben angedeutet, dass dort eine weitere Kopplung gemäß der Ungleichung (8) gefordert ist: ET bzw. TE. Wo das t steht, sollte die Fläche T an E gekoppelt sein, bzw. wo das e steht, sollte die Fläche E an T gekoppelt sein. Speziell bei einem Pentomino sind aber insgesamt fünf Kopplungen bei den nur fünf Flächen nicht möglich. Der in einem Pentomino vorhandene Kopplungswert beträgt gemäß ([MW], 5c) nur 16. Benötigt wird aber für die fünfte Kopplung der Wert 19 ([MW], Tabelle 1). Innerhalb des verbliebenen Pentominos kann also die Kopplung TE gemäß (8) nicht erfolgen. Daher muss (8) auch als Ungleichung geschrieben werden. In einer späteren Betrachtung wird dieser Umstand noch weitreichende Bedeutung erlangen. (vii) Es ist selbstverständlich nicht nur ausschließlich die Kopplung TE, die gemäß (8) nicht realisiert werden kann. Die Darstellung (9) lässt sich auch anders aufbauen: det(W,T,E,b;,N,,;,B,e,) + det(S) # (9a) Nun wird BE auf diese Weise wie in (9) entsprechend angedeutet und kann im Pentomino nicht generiert werden, denn dies wäre nun die fünfte Kopplung im Pentomino und benötigt wieder den Kopplungswert 19. (viii) Der andere Würfelnetz gehorcht wieder der Nachbarschaftstransformation. (ix) ET und TS sind beides Bindungen, für eine Fluktuation unter diesen beiden gilt wieder Anmerkung (ii) entsprechend. \ \red\darkred\big\ETN TN \textleftarrow\textrightarrow ET => aus (7) wird nun WT+ET+NB+BE+ES=45 det(,,,N;W,T,E,B;,,S,) TN \textleftarrow\textrightarrow EN => aus (7) wird nun WT+EN+NB+BE+ES=45 # (10) det(,nb,N;,B,E;,,S) + det(W,T) # (11) Anmerkungen: (x) In dem ersten resultierendem Würfelnetz erkennt man wieder eine Nachbarschafttransformation. (xi) In der Gleichung (10) sieht man, dass die Würfelflächen W und T zwar miteinander eine Kante bilden, aber weder W noch T mit einer der anderen Würfelflächen eine weitere Kante gemeinsam haben, d.h. keine der anderen Flächen besitzt eine Kopplung mit W oder T. Der Würfel ist unvollständig, das zugehörige Würfelnetz wurde zerlegt. Das Würfelnetz ist zerteilt in ein Tetromino und ein Domino. In der Darstellung (11) wird mit den kleinen Buchstaben angedeutet, dass dort eine weitere Kopplung gemäß der Gleichung (10) gefordert ist: NB bzw. BN. Wo das b steht, sollte die Fläche B an N gekoppelt sein, bzw. wo das n steht, sollte die Fläche N an B gekoppelt sein. Hier stehen nb an der gleichen Position, entsprechend der Anordnung der Kopplungen. Bei einem Tetromino sind hingegen insgesamt vier Kopplungen bei nur vier Flächen sehr wohl möglich. In einem Tetromino besträgt der vorhandene Kopplungswert gemäß ([MW], 5c) nur 18,6. Benötigt wird aber nur für die vierte Kopplung der Wert 11 ([MW], Tabelle 1). Innerhalb des verbliebenen Tetrominos kann also die Kopplung NB gemäß (10) problemlos erfolgen. Der Domino bleibt einfach übrig. \ \red\darkred\big\WTS WT \textleftarrow\textrightarrow TS => aus (7) wird nun TS+TN+NB+BE+ES<45 det(,S,e;,T,;,N,;,B,E;,,s) + det(W) WT \textleftarrow\textrightarrow WS => aus (7) wird nun WS+TN+NB+BE+ES=45 det(,T,;,N,;,B,E;,,S;,,W) Anmerkung: (xii) Für diese Fluktuationen gelten die Anmerkungen (vi) bis (viii) entsprechend. \ \red\darkred\big\WBN BN \textleftarrow\textrightarrow WN => aus (7) wird nun WT+TN+WN+BE+ES=45 # (12) det(W,T,;nw,N,)+ det(,B,E;,,S) # (13) BN \textleftarrow\textrightarrow WB => aus (7) wird nun WT+TN+WB+BE+ES=45 det(,,,N;E,B,W,T;S,,,) Anmerkungen: (xiii) Für (12) gilt Anmerkung (xi) entsprechend. Hier liegt nur statt eines Tetrominos ein Triominos vor, dessen vorhandener Kopplungswert, bei zwei Kopplungen von drei Flächen, gemäß ([MW], 5a) den Betrag 17,2 und der benötigte Kopplungswert für die dritte Kopplung gemäß ([MW], Tabelle1) den Betrag 7 besitzt. Somit wird die Kopplung NW innerhalb des Triominos (13) tatsächlich stattfinden. Der Rest-Triomino bleibt übrig. (xiv) Die zweite Kantenfluktuation generiert wieder eine Nachbarschaftstransformation. \ \red\darkred\big\EBS BE \textleftarrow\textrightarrow BS => aus (7) wird nun WT+TN+NB+BS+ES=45 det(W,T,;,N,;,B,;,S,E) ES \textleftarrow\textrightarrow BS => aus (7) wird nun WT+TN+NB+BE+BS=45 det(W,T,;,N,;,B,E;,S,) Anmerkung: (xv) Es wurden zwei Nachbarschaftstransformationen generiert. Das vorliegende Beispiel wurde gewählt, weil man alle Zerlegungsarten für diese Würfeltextur betrachten kann. Diese Analyse kann nun auch für alle anderen zehn Würfeltexturen und ihren Würfelnetzen durchgeführt werden. Siehe dazu Anhang A. Man wird finden, dass alle Würfeltexturen in bestimmten Fluktuationen zerlegt werden. Jede Würfeltextur besitzt mindestens zwei Pentomino/Unomino-Zerlegungen. Zusätzlich dazu gibt es noch Würfeltexturen mit Tetromino/Domino-Zerlegungen und einige besitzen - wie das Beispiel - auch noch dazu Triomino/Triomino-Zerlegungen. \stress Analyse von Würfelnetz-Zerlegungen in synchronen Fluktuationen Eine wichtige Frage ist nun, ob sich durch synchrone Fluktuationen die ansonst stattfindende Zerlegung durch die gleichzeitig stattfindenden Fluktuationen ausgleichen können. Am Beispiel (7) \ WT+TN+NB+BE+ES=45 wird das für die Mengen der disjunkten Ecken \ E_1 = {EBN; WBS; WTN; ETS} # (4) bzw. \ E_2 = {ETN; WTS; WBN; EBS}. # (5) erläutert. Seien für (4) die folgenden synchronen Fluktuationen - aufgrund der Kopplungswertesumme - erlaubt: \ \red\darkred\big\EBN BE \textleftarrow\textrightarrow NE \red\darkred\big\WBS kein Austausch \red\darkred\big\WTN WT \textleftarrow\textrightarrow WN \red\darkred\big\ETS ET \textleftarrow\textrightarrow ES => aus WT+TN+NB+BE+ES=45 # (7) folgt WN+TN+NB+NE+ET<45 mit der Darstellung: det(,T,et;W,N,E;,B,)+det(S) Die Zerlegung Pentomino+Unomino bleibt erhalten. Für (5) seien diese snchronen Fluktuaionen erlaubt: \red\darkred\big\ETN TN \textleftarrow\textrightarrow EN \red\darkred\big\WTS WT \textleftarrow\textrightarrow TS \red\darkred\big\WBN BN \textleftarrow\textrightarrow WN \red\darkred\big\EBS BE \textleftarrow\textrightarrow BS => aus WT+TN+NB+BE+ES=45 # (7) folgt somit TS+EN+WN+BS+ES=45 mit der Darstellung: det(,T,,,;,S,E,N,W;,B,,,) Durch die synchronen Fluktuationen, die in drei Fällen als Single-Fluktuationen Zerlegungen zur Folge hätten, heben sich die Zerlegungen gegenseitig auf. Dafür ist das resultierende Würfelnetz nicht mehr aus einer Nachbarschaftstransformation des ursprünglichen generierbar. \
\big\ Kopplungssatte Polyominos mit weniger als sechs Flächen In den Bemerkungen (vi), (vii), (xi) und (xiii) wurden aufgrund der Fluktuationen Polyominos betrachtet, die durch resultierende Würfelnetz-Zerlegungen entstanden sind. Das in (vi) betrachtete Pentomino benötigt eine Detailanalyse. Obwohl der Gesamtkopplungswert 45 in diesem Pentomino erreicht werden soll, kann dieser nicht generiert werden, da fünf gekoppelte Unominos unter sich keine weitere Kopplungen durchführen können. Je nach dem welche der Kopplungen nicht durchgeführt wird liegt für diese Pentominos der Kopplungswert zwischen 26 (falls der Kopplungswert 19 nicht realisiert wurde) und 42 (falls der Kopplungswert 3 nicht realisiert wurde). Es ist plausibel, dass dieses Pentomino-System bestrebt ist die Ausgangsgleichung von sechs gekoppelten Unominos zu erfüllen, also den Gesamtkopplungswert 45 anzunehmen. D.h. der Gesamtkopplungswert wird in diesem Pentomino den maximal möglichen Kopplungswert 42 annehmen. Der Überschussbetrag 3 ginge verloren, würde also freigesetzt. Das korrespondiert mit der Tatsache, dass ja bei einer Würfelzerlegung der Würfelinnenwert nicht mehr vorhanden ist. Ein Würfelinnenwert existiert ja nur in einem kompletten Würfel und wäre als Volumengröße, im Gegensatz zu den Oberflächenwerten wie Kopplung, Bindung und Faltung, eine virtuelle Größe. Die energetische Gesamtsumme eines Würfels beträgt gemäß ([WR],1): G_\Sigma\ = 59,3964 Wird dieser Würfel nun zerlegt ist das Gesamtsystem zerstört und der virtuelle Betrag müsste mit dem energetischen Wechselwirken. Bei einfacher Durchschnittsbildung ergibt sich G_\Sigma\ / W_(v*d) = 59,3964 / 20,784 = 2,85779 # (14) Und das entspricht in etwa dem Wert 3 der freigesetzten Kopplung. Für die Würfelzerlegungen, die einen kopplungssatten Triomino oder Tetromino erzeugen, bleibt dieser Überschuss virtuell, da das jeweilige Gesamtsystem aus Triomino/Triomino bzw. Tetromino/Domino keinen Kopplungsüberschuß generiert, der geforderte Wert 45 wird erfüllt. Die Bedeutung der Triominos mit drei Kopplungen und der Tetrominos mit vier Kopplungen muss noch weiter geklärt werden. Auf keinen Fall können aber aus ihnen wieder Würfel werden, da sie dann - erweitert auf ein Hexomino - insgesamt stets sechs Kopplungen bräuchten, was aufgrund des begrenzt vorhandenen Gesamtwertes bei sechs Flächen unmöglich ist. Das Pentomino wird hingegen wieder den zuvor entkoppelten Unomino rekoppeln (denn zusammen mit diesem bestünde wieder genug vorhandener Kopplungswert für eine fünfte Kopplung) und so zu einem neuen Würfel generieren. Aus der Zusammenstellung in Anhang A ist zu entnehmen, dass es über alle elf Würfelnetze bzw. Würfeltexturen betrachtet, insgesamt 42 Ecken in denen Würfel - Zerlegungen stattfinden, gibt. Von diesen 42 generieren 29 Ecken eine Pentomino/Unomino - Zerlegung. Ferner sind diese Ecken auf alle elf Würfeltexturen verteilt. Von den restlichen 13 Ecken generieren 4 Triomino/Triomino - Zerlegungen und 9 Tetromino/Domino - Zerlegungen. Von den elf Würfeltexturen besitzen nur 3 Würfeltexturen solche Ecken, die zu Trio-/Trio-Zerlegungen führen, und 6 Würfeltexturen jene Ecken, die zu Tetro-/Do-Zerlegungen führen. So existieren auch drei Würfeltexturen, aus deren Ecken jeweils alle drei möglichen Zerlegungsarten generierbar sind.
\big\ Anti-Würfel-Netze Durch die gezeigten Zerlegungen werden somit neben den kopplungssatten Triominos und Tetrominos auch gewöhnliche Triominos, mit nur zwei Kopplungen, und Dominos freigesetzt. Hinzu kommen noch die Unominos und die Pentominos, die aber gleich nach der Zerlegung wieder einen Würfel generieren und für die weiteren Betrachtungen nicht berücksichtigt werden brauchen. Da die Triominos wiederum von Triominos abgespalten wurden, an diese aber nicht mehr rekoppeln können, da diese ja mit drei Kopplungen ausgestattet sind, koppeln die gewöhnlichen Triominos nur mit anderen freien Triominos. Die freien Dominos werden auch mit weiteren Dominos koppeln. Bei diesen Kopplungen entstehen wieder Hexominos, wobei dies aber nicht unbedingt Würfelnetze sein müssen. Wie dem Anhang A zu entnehmen ist haben nach einer Zerlegung alle freien Triominos die Form \ det(T,T;,T) Nur solche Triominos koppeln zu einem neuen Hexomino. Das schränkt die Anzahl der so gebildeten Hexominos entsprechend ein. Die freien Dominos können miteinander fast beliebig zu einem Hexomino koppeln. Da alle diese Zerlegungsreste Bestandteile eines Würfels mit eindeutig definierten Ecken waren, streben sie auch wieder danach einen Würfel zu generieren. Nun kann die Gesamtform des Hexominos nicht zensiert werden, wohl aber eine Art Zensur darüber wachen, dass die Bildung von potentiellen Würfel-Eckpunkten möglich bleibt. Aus diesem Grunde ist eine Clusterbildung bei den Neukopplungen nicht möglich. Unter einem Cluster versteht man Hexominos, die folgende Teilform aus vier Unominos besitzen: \ det(A,B;D,C) # (15) Beispielsweise können zu (15) folgende Kopplungen existieren: AB, BC, CD. (16) Nur weil A und D aneinander liegen, müssen diese nicht gekoppelt sein. Das heißt aber, dass eine potentielle "Ecke" ABC auch als BCD definiert werden kann und damit dieser Eckpunkt nicht mehr eindeutig ist und daher von vornherein einer Würfelbildung entgegensteht. Solche Cluster sind somit aus einer geometrischen Zensur heraus ausgeschlossen. Die Bildung eines Anti-Würfel-Hexominos wie \ det(A,B;,C;,D;F,E) # (17) wäre damit aber nicht ausgeschlossen. Die Überlappung der Flächen A und F käme erst am Ende des Bildungsvorganges durch die Faltung zum Tragen und wird daher nicht verhindert. In Anhang B findet sich eine Auflistung aller Hexominos, die ohne Clusterbildung nur aus Triominos oder nur aus Dominos gebildet sind. Ein interessantes Ergebnis ist, dass von den 11 Würfelnetzen auf diese Weise nur 9 aus den Zerlegungsresten gebildet werden können. Von insgesamt 16 möglichen clusterfreien Anti-Würfelnetzen können nur 13 gebildet werden. Während die 11 Würfelnetze mit den 11 Raunzeitdimensionen gleichgesetzt werden, sind die anderen 13 Nicht-Würfelnetze zwar auch Extradimensionen, aber nicht der Raumzeit. Man kann sie als Informationsdimensionen ansehen. Insgesamt hat man 24 Dimensionen und zusätzlich zwei weiter Passagen, die zwischen der Raumzeit und der Informationsebene vermitteln, in Form der entstehenden kopplungssatten Triominos und Tetrominos. Insbesondere dieses Ergebnis hegt beim Autor den Verdacht, dass die Hexomino-Geometrie in der Lage sein könnte, die erweiterte Heim-Theorie [2] mit der Supersymmetrie zu verbinden, wenn man die Metronen als Unominos in den unterschiedlichen Hexominos miteinander koppelt.
\big Schluss Diese Arbeit zeigt einmal mehr das Potential der Hexomino-Geometrie für weitergehende Modellbildungen im Bereich der Physik. Die Dynamik der Würfeltexturen liefert hierzu einen konkreten Ansatz. \big Literatur [1] K. Hess, W.Philipp, Der Satz von Bell und das Konsistenzproblem gemeinsamer Wahrscheinlichkeitsverteilungen, Mathematische Semesterberichte Band 53, Heft 2, 2006, Seite 153, Link [2] W. Dröscher, J. Hauser, Extended Heim Theory, Physics of Spacetime and Field Propulsion, hpcc-space, 2006, Link
\big\Anhang A \stress\Auflistung aller texturbeeinflussenden Kantenfluktuationen für alle elf Würfelnetze. Dabei sind allgemein nur die resultierende Kopplungstexturgleichungen bzw. -ungleichungen angegeben. Aufgrund von Symmetrieeigenschaften einiger Würfelnetze werden nur für eine Ecke die Fluktuationen angegeben, die entsprechende symmetrische Ecke besitzt dann entsprechende Fluktuationen und Endresultate. \ \big\(I) det(T,,;N,,;B,E,;,S,;,W;) mit TN + NB + BE + ES + SW = 45 Würfelecken: (NBE ~= BES)__ Fluktuationen: NB \textleftarrow\textrightarrow NE : TN + NE + BE + ES + SW = 45 BE \textleftarrow\textrightarrow NE : TN + NB + NE + ES + SW = 45 (BSW ~= NTE)__ NE \textleftarrow\textrightarrow NT : 26 <= NE + NB + BE + ES + SW <= 42 TE \textleftarrow\textrightarrow NT : TE + NB + BE + ES + SW = 45 (SWT ~= TNW)__ TN \textleftarrow\textrightarrow WN : 26 <= WN + NB + BE + ES + SW <= 42 TN \textleftarrow\textrightarrow WT : WT + NB + BE + ES + SW = 45 (TES ~= BNW)__ TS \textleftarrow\textrightarrow ES : TN + NB + BE + TS + SW = 45 TE \textleftarrow\textrightarrow ES : (TN + NB + BE + TE) + (SW) = 45 \ \big\(II) det(W,,;T,N,;,E,B;,,S) mit WT + TN + NE + EB + BS = 45 (EBS ~= WTN)__ EB \textleftarrow\textrightarrow SE : WT + TN + NE + ES + BS = 45 BS \textleftarrow\textrightarrow SE : WT + TN + NE + EB + SE = 45 (TNE ~= NEB)__ TN \textleftarrow\textrightarrow TE : WT + TE + NE + EB + BS = 45 TE \textleftarrow\textrightarrow NE : WT + TN + TE + EB + BS = 45 (SWT ~= WBS)__ SW \textleftarrow\textrightarrow TW : SW + NE + TN + BE + BS = 45 TW \textleftarrow\textrightarrow ST : 26 <= ST + TN + NE + EB + BS <= 42 \ \big\(III) det(W,S,;,T,;,N,;,B,E) mit WS + ST + TN + NB + BE = 45 (WST ~= NBE)__ WS \textleftarrow\textrightarrow WT : WT + ST + TN + NB + BE = 45 ST \textleftarrow\textrightarrow WT : WS + WT + TN + NB + BE = 45 (TNW ~= NTE)__ TN \textleftarrow\textrightarrow WT : (WS + ST + WT) + (NB + BE) = 45 TN \textleftarrow\textrightarrow WN : WS + ST + WN + NB + BE = 45 (STE ~= BNW)__ TN \textleftarrow\textrightarrow WN : (WS) + (TE + TN + NB + BE) = 45 TN \textleftarrow\textrightarrow WT : WS + SE + TN + NB + BE = 45 (WSB ~= BES)__ WS \textleftarrow\textrightarrow WB : WB + ST + TN + NB + BE = 45 WS \textleftarrow\textrightarrow SB : 26 <= SB + ST + TN + NB + BE <= 42 \ \big\(IV) det(W,T,;,N,;,B,E;,,S) mit WT + TN + NB + BE + ES = 45 (WTN)__ WT \textleftarrow\textrightarrow WN : WN + TN + NB + BE + ES = 45 TN \textleftarrow\textrightarrow WN : WT + WN + NB + BE + ES = 45 (BNE)__ BN \textleftarrow\textrightarrow BE : WT + TN + NE + BE + ES = 45 BE \textleftarrow\textrightarrow NE : WT + TN + NB + NE + ES = 45 (BES)__ BE \textleftarrow\textrightarrow BS : WT + TN + NB + BS + ES = 45 BS \textleftarrow\textrightarrow ES : WT + TN + NB + BE + BS = 45 (TNE)__ TN \textleftarrow\textrightarrow TE : WT + TE + NB + BE + ES = 45 TN \textleftarrow\textrightarrow NE : (WT) + (NE + NB + BE + ES) = 45 (BNW)__ BN \textleftarrow\textrightarrow WN : (WT + TN + WN) + (BE + ES) = 45 BN \textleftarrow\textrightarrow WB : WT + TN + WB + BE + ES = 45 (WTS)__ WT \textleftarrow\textrightarrow WS : WS + TN + NB + BE + ES = 45 WT \textleftarrow\textrightarrow TS : 26 <= TS + TN + NB + BE + ES <= 42 (TES)__ TS \textleftarrow\textrightarrow ES : WT + TN + NB + BE + TS = 45 ES \textleftarrow\textrightarrow TE : 26 <= WT + TN + NB + BE + TE <= 42 \ \big\(V) det(,T,;W,N,;,B,E;,,S) mit WN + TN + NB + BE + ES = 45 (WTN)__ WT \textleftarrow\textrightarrow WN : WT + TN + NB + BE + ES = 45 TN \textleftarrow\textrightarrow WT : WN + TN + NB + NE + ES = 45 (BNE)__ BN \textleftarrow\textrightarrow NE : WN + TN + NE + BE + ES = 45 BE \textleftarrow\textrightarrow NE : WN + TN + NB + NE + ES = 45 (BES)__ BE \textleftarrow\textrightarrow BS : WN + TN + NB + BS + ES = 45 BS \textleftarrow\textrightarrow ES : WN + TN + NB + BE + BS = 45 (TNE)__ TN \textleftarrow\textrightarrow TE : WN + TE + NB + BE + ES = 45 TN \textleftarrow\textrightarrow NE : 26 <= WN + NE + NB + BE + ES <= 42 (BNW)__ WB \textleftarrow\textrightarrow WN : WB + TN + NB + BE + ES = 45 BN \textleftarrow\textrightarrow WB : WN + TN + WB + BE + ES = 45 (TES)__ TS \textleftarrow\textrightarrow ES : WN + TN + NB + BE + TS = 45 ES \textleftarrow\textrightarrow TE : 26 <= WN + TN + NB + BE + TE <= 42 \ \big\(VI) det(,T,;,N,;W,B,E;,,S) mit TN + NB + WB + BE + ES = 45 (WTN)__ WT \textleftarrow\textrightarrow TN : WT + NB + WB + BE + ES = 45 TN \textleftarrow\textrightarrow WN : 26 <= WN + NB + WB + BE + ES <= 42 (BNE)__ BN \textleftarrow\textrightarrow NE : TN + NE + WB + BE + ES = 45 BE \textleftarrow\textrightarrow NE : TN + NB + WB + NE + ES = 45 (BES)__ BE \textleftarrow\textrightarrow BS : TN + NB + WB + BS + ES = 45 BS \textleftarrow\textrightarrow ES : TN + NB + WB + BE + BS = 45 (TNE)__ TN \textleftarrow\textrightarrow TE : TE + NB + WB + BE + ES = 45 TN \textleftarrow\textrightarrow NE : 26 <= NE + NB + WB + BE + ES <= 42 (BNW)__ WB \textleftarrow\textrightarrow WN : TN + NB + WN + BE + ES = 45 BN \textleftarrow\textrightarrow WN : TN + WN + WB + BE + ES = 45 (TES)__ TS \textleftarrow\textrightarrow ES : TN + NB + WB + BE + TS = 45 ES \textleftarrow\textrightarrow TE : 26 <= TN + NB + WB + BE + TE <= 42 (WBS)__ WB \textleftarrow\textrightarrow WS : TN + NB + WS + BE + TS = 45 WB \textleftarrow\textrightarrow BS : 26 <= TN + NB + BS + BE + ES <= 42 \ \big\(VII) det(W,T,E;,N,;,B,;,S,) mit WT + TE + TN + NB + BS = 45 (WTN ~= TNE)__ WT \textleftarrow\textrightarrow WN : WN + TE + TN + NB + BS = 45 TN \textleftarrow\textrightarrow WN : WT + TE + WN + NB + BS = 45 (WTS ~= TES)__ WT \textleftarrow\textrightarrow WS : WS + TE + TN + NB + BS = 45 WT \textleftarrow\textrightarrow TS : 26 <= TS + TE + TN + NB + BS <= 42 (WSB ~= ESB)__ WS \textleftarrow\textrightarrow SB : WT + TE + TN + NB + WS = 45 WB \textleftarrow\textrightarrow SB : 26 <= WT + TE + TN + NB + BE <= 42 (WNB ~= NBE)__ NB \textleftarrow\textrightarrow WN : (WT + TE + TN + WN) + (BS) = 45 NB \textleftarrow\textrightarrow WB : WT + TE + TN + WB + BS = 45 \ \big\(VIII) det(,T,;W,N,E;,B,;,S,) mit TN + WN + NE + NB + BS = 45 (WTN ~= TNE)__ WT \textleftarrow\textrightarrow WN : TN + WT + EN + NB + BS = 45 TN \textleftarrow\textrightarrow WT : WT + WN + NE + NB + BS = 45 (WSB ~= ESB)__ WS \textleftarrow\textrightarrow SB : WN + TN + NE + NB + WS = 45 WB \textleftarrow\textrightarrow SB : 26 <= WN + NE + TN + NB + BW <= 42 (WNB ~= NBE)__ WB \textleftarrow\textrightarrow WN : WB + NE + TN + NB + BS = 45 NB \textleftarrow\textrightarrow WB : WN + NE + TN + WB + BS = 45 \ \big\(IX) det(W,T,;,N,E;,B,;,S,) mit WT + TN + NE + NB + BS = 45 (WTN)__ WT \textleftarrow\textrightarrow WN : WN + NB + TN + NE + BS = 45 TN \textleftarrow\textrightarrow WN : WT + WN + NB + NE + BS = 45 (BNE)__ BN \textleftarrow\textrightarrow BE : WT + TN + NE + BE + BS = 45 BE \textleftarrow\textrightarrow NE : WT + TN + BE + NB + BS = 45 (BES)__ BE \textleftarrow\textrightarrow BS : 26 <= WT + TN + NE + NB + BE <= 42 BS \textleftarrow\textrightarrow ES : WT + TN + NE + NB + SE = 45 (TNE)__ TN \textleftarrow\textrightarrow TE : WT + TE + NE + NB + BS = 45 TE \textleftarrow\textrightarrow NE : WT + TN + TE + NB + BS = 45 (BNW)__ WB \textleftarrow\textrightarrow NB : WT + TN + NE + WB + BS = 45 BN \textleftarrow\textrightarrow WN : (TN + WN + WT + NE) + (BS) = 45 (WBS)__ BS \textleftarrow\textrightarrow WS : WT + TN + NB + NE + WS = 45 WB \textleftarrow\textrightarrow BS : 26 <= WT + TN + NE + NB + BW <= 42 (WTS)__ WT \textleftarrow\textrightarrow WS : WS + TN + NE + NB + BS = 45 WT \textleftarrow\textrightarrow TS : 26 <= TS + TN + NE + NB + BS <= 42 \ \big\(X) det(W,T,;,N,;,B,E;,S,) mit WT + TN + NB + BE + BS = 45 (WTN)__ WT \textleftarrow\textrightarrow WN : WN + NB + TN + BE + BS = 45 TN \textleftarrow\textrightarrow WN : WT + WN + NB + BE + BS = 45 (BNE)__ BN \textleftarrow\textrightarrow NE : WT + TN + NE + BE + BS = 45 BE \textleftarrow\textrightarrow NE : WT + TN + NE + NB + BS = 45 (BES)__ BE \textleftarrow\textrightarrow ES : WT + TN + NE + SB + SE = 45 BS \textleftarrow\textrightarrow ES : WT + TN + BE + NB + SE = 45 (TNE)__ TN \textleftarrow\textrightarrow TE : WT + TE + BE + NB + BS = 45 TN \textleftarrow\textrightarrow NE : (WT) + (NE + BE + NB + BS) = 45 (BNW)__ WB \textleftarrow\textrightarrow NB : WT + TN + BE + WB + BS = 45 BN \textleftarrow\textrightarrow WN : (TN + WN + WT) + (BE + BS) = 45 (WBS)__ BS \textleftarrow\textrightarrow WS : WT + TN + NB + BE + WS = 45 WB \textleftarrow\textrightarrow BS : 26 <= WT + TN + BE + NB + BW <= 42 (WTS)__ WT \textleftarrow\textrightarrow WS : WS + TN + BE + NB + BS = 45 WT \textleftarrow\textrightarrow TS : 26 <= TS + TN + BE + NB + BS <= 42 \ \big\(XI) det(,T,;W,N,;,B,E;,S,) mit WN + TN + NB + EB + BS = 45 (EBS ~= WTN)__ WN \textleftarrow\textrightarrow WT : WT + TN + BE + BS + NB = 45 NT \textleftarrow\textrightarrow WT : WT + WN + NB + EB + SB = 45 (TNE ~= WBS)__ BS \textleftarrow\textrightarrow WB : 26 <= WN + TN + NB + EB + WB <= 42 BS \textleftarrow\textrightarrow WS : WN + TN + BE + NB + WS = 45 (BNE ~= WNB)__ BN \textleftarrow\textrightarrow NE : TN + WN + NE + BE + BS = 45 BE \textleftarrow\textrightarrow NE : WN + TN + NE + EB + BS = 45
\big\Anhang B \stress\Auflistung aller aus Zerlegungsresten neugekoppelter Hexominos ohne Cluster Die Hexominos sind entweder vollständig nur aus Triominos oder nur aus Dominos generiert. Wobei ein Großteil der Hexominos sowohl nur aus Dominos als auch nur aus Triominos bestehen können, was mit einer Gleichung gekennzeichnet ist. Der Übersichtlichkeit halber werden die Triominos so bezeichnet: det(t,t;,t) bzw. det(T,T;,T) Und die Dominos in dieser Weise: det(d,d) bzw. det(d;d) bzw. det(D,D) bzw. det(D;D) \stress\Würfelnetze \stress\Würfelnetze nur aus Triomino-Resten erzeugbar det(,T,;W,N,;,B,E;,,S) = det(,T,;T,T,;,t,t;,,t) det(W,T,;,N,;,B,E;,S,) = det(T,T,;,T,;,t,t;,t,) det(,T,;W,N,;,B,E;,S,) = det(,T,;T,T,;,t,t;,t,) \stress\Würfelnetze nur aus Domino-Resten erzeugbar det(T,,;N,,;B,E,;,S,;,W;) = det(D,,;D,,;d,d,;,D,;,D;) det(,T,;,N,;W,B,E;,,S) = det(,D,;,D,;d,d,D;,,D) det(W,T,;,N,E;,B,;,S,) = det(D,D,;,d,d;,D,;,D,) \stress\Würfelnetze aus Triomino und Domino-Resten erzeugbar det(W,,;T,N,;,E,B;,,S) = det(T,,;T,T,;,t,t;,,t) = det(D,,;D,d,;,d,D;,,D) det(W,S,;,T,;,N,;,B,E) = det(T,T,;,T,;,t,;,t,t) = det(D,D,;,d,;,d,;,D,D) det(W,T,;,N,;,B,E;,,S) = det(T,T,;,T,;,t,t;,,t) = det(D,D,;,d,;,d,D;,,D) \stress\Würfelnetze nicht aus Zerlegungreste erzeugbar det(W,T,E;,N,;,B,;,S,) det(,T,;W,N,E;,B,;,S,) \stress\Clusterfreie Anti-Würfelnetze \stress\Anti-Würfelnetze nur aus Triomino-Resten erzeugbar det(X,X;X,;X,X;X,) = det(T,T;T,;t,t;t,) \stress\Anti-Würfelnetze nur aus Domino-Resten erzeugbar det(X;X;X;X;X;X) = det(D;D;d;d;D;D) det(X,X;X,;X,;X,;X,) = det(D,D;d,;d,;D,;D,) det(X,;X,;X,X;X,;X,) = det(D,;D,;d,d;D,;D,) det(X,;X,;X,;X,X;,X) = det(D,;D,;d,;d,D;,D) det(X,X,X;X,,;X,,;X,,) = det(d,D,D;d,,;D,,;D,,) det(X,,;X,X,X;X,,;X,,) = det(d,,;d,D,D;D,,;D,,) det(X,X,X;X,,;X,X,) = det(d,D,D;d,,;D,D,) det(,X,X;X,X,;,X,X) = det(,D,D;d,d,;,D,D) det(X,X,X,;,,X,;,,X,X) = det(D,D,d,;,,d,;,,D,D) det(,,,X;,,X,X;X,X,X,) = det(,,,D;,,d,D;D,D,d,) \stress\Anti-Würfelnetze aus Triomino und Domino-Resten erzeugbar det(X,X;X,;X,X;,X) = det(T,T,;T,;t,t;,t) = det(D,D,;d,;d,D;,D) det(X,X;X,;X,;X,X) = det(T,T;T,;t,;t,t) = det(D,D;d,;d,;D,D) \stress\Anti-Würfelnetze nicht aus Zerlegungresten erzeugbar det(X,;X,X;X,;X,;X,) det(X,X,X;,X,;,X,X) det(,X,;X,X,X;X,,;X,,)
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Zur Dynamik von Würfeltexturen [von KlausLange]  
stress Würfeltexturen und ihre Bedeutung big Zusammenfassung Aufbauend auf den erarbeiteten Grundlagen in den Artikeln Die Signatur der Würfelnetze [SW], Die Mechanik der Würfelnetze [MW] und Vom Würfelnetz zum Raumquant [WR] betrachtet dieser Artikel nun die Texturen der
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"Mathematik: Zur Dynamik von Würfeltexturen" | 3 Comments
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Re: Zur Dynamik von Würfeltexturen
von: graviton am: Mo. 23. Juli 2007 21:26:10
\(\begingroup\)Hallo Klaus, ich habe vorhin was Interessantes gelesen, und ich finde, dass - sofern ich beide Artikel richtig verstanden habe - es ein paar Ähnlichkeiten zwischen deinem Ansatz und der sog. Causal dynamical triangulation geben könnte. Link: hier. Es heißt: "Using a structure called a simplex, it divides spacetime into tiny triangular sections. " Zwar keine Hexominos, aber immerhin Dreiecke. Die Ansätze sind doch vom Prinzip her gar nicht so unterschiedlich, oder nicht? Grüße.\(\endgroup\)
 

Re: Zur Dynamik von Würfeltexturen
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 02. September 2007 12:36:13
\(\begingroup\)" ich habe vorhin was Interessantes gelesen, und ich finde, dass - sofern ich beide Artikel richtig verstanden habe - es ein paar Ähnlichkeiten zwischen deinem Ansatz und der sog. Causal dynamical triangulation geben könnte. " ( Zitat Graviton s.o. ) Das Sipiersky - Dreieck ist ein Fraktal, dessen kleinste Längen die Planck'sche Länge natürlich immer unterschreitet. 2) Ich rechne viel mit 4 - Dimensionalen Würfeln. Weil da die Diagonale 2 mal die Seitenlänge ist, kürzt sich viel von Deinen Rechnungen heraus.\(\endgroup\)
 

Re: Sipiersky
von: centroid am: Di. 15. Juli 2008 11:16:05
\(\begingroup\)Anonymous, du meinst das Sierpinsky-Dreieck. Grüße.\(\endgroup\)
 

 
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