Mathematik: Neue Darstellung der Faulhaberschen Formel
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Mathematik

\(\begingroup\) \big\ NEUE DARSTELLUNG DER FAULHABERSCHEN FORMEL Die Faulhabersche Formel, benannt nach Johann Faulhaber, wird im nachfolgenden Aufsatz ohne Verwendung der Bernoulli\-Zahlen dargestellt.

\big\black\SUMME EINER ENDLICHEN POTENZREIHE DER FORM: \small\ sum(k^(m-1),k=1,n) = 1^(m-1)+2^(m-1)+3^(m-1)+ ..... +n^(m-1) \small\ für m>=2 \small\kann man folgenderweise schreiben: \red\ sum(k^(m-1),k=1,n) = 1/m gauss((n+1)^m-1-sum(gauss((m;q) sum(k^(m-q),k=1,n)),q=2,m) \big\black\BEWEIS FÜR DIE SUMMENGLEICHUNG DER o.g. POTENZREIHE \small\Es kann geschrieben werden: \normal\ k = (k-1) + 1 \textrightarrow k^m = gauss((k-1)+1)^m \small\ und daraus folgt: \small\ k^m=(m;0)*(k-1)^m+(m;1)*(k-1)^(m-1)+(m;2)*(k-1)^(m-2)+...+(m;m-1)*(k-1)^1+(m;m)*(k-1)^0 \small\ und nach der Summation über "k" folgt: \small\ sum(k^m,k=1,n) = (m;0) sum((k-1)^m,k=1,n)+(m;1) sum((k-1)^(m-1),k=1,n)+(m;2) sum((k-1)^(m-2),k=1,n)+... \small\ ... +(m;m-1) sum((k-1)^1,k=1,n)+(m;m) sum(k^o,k=1,n) \small\bzw. \small\sum(k^m,k=1,n)=sum(k^m,k=1,n)-n^m+m sum(k^(m-1),k=1,n)-mn^(m-1)+(m;2) gauss(sum(k^(m-2),k=1,n)-n^(m-2))+... \small\ ...+(m;m-1) gauss(sum(k^1,k=1,n)-n^1)+(m;m) gauss(sum(k^0,k=1,n)) \small\ und aus der o.g. Gleichung kann m sum(k^(m-1),k=1,n) ermittelt werden. \small\ m sum(k^(m-1),k=1,n)=gauss((m;0) n^m+(m;1) n^(m-1)+(m;2) n^(m-2)+...+(m;m-1) n^1+(m;m) n^0)-1- \small\ -(m;2) sum(k^(m-2),k=1,n)-(m;3) sum(k^(m-3),k=1,n)-...-(m;m-1) sum(k^1,k=1,n)-(m;m) sum(k^0,k=1,n) \small\ und daraus folgt: \small\sum(k^(m-1),k=1,n)=1/m*gauss((n+1)^m-1-(m;2) sum(k^(m-2),k=1,n)-(m;3) sum(k^(m-3),k=1,n)-....-(m;m-1) sum(k^(1),k=1,n)-(m;m) sum(k^(0),k=1,n)) \red\ sum(k^(m-1),k=1,n)=1/m*gauss((n+1)^m-1- sum(gauss((m;q) sum(k^(m-q),k=1,n)),q=2,m)) \ \big\ BERECHNUNG EINIGER POTENZREIHEN: \red\ \big\ Beispiel m=2: \small\ sum(k^1,k=1,n)=1/2*gauss((n+1)^2-1-(2;2) sum(k^0,k=1,n))=1/2*gauss((n+1)^2-1-n)=\red\ n(n+1)/2 \red\ \big\ Beispiel m=3 \black\ \small\ sum(k^2,k=1,n)=1/3*gauss((n+1)^3-1-(3;2) sum(k^1,k=1,n)-(3;3) sum(k^0,k=1,n))=1/3*gauss((n+1)^3-1-3n(n+1)/2-n) \small\ =1/6*gauss(2(n+1)^3-2(n+1)-3n(n+1))=1/6*(n+1)(2n^2 +4n+2-2-3n)=\red\ n(n+1)(2n+1)/6 \red\ \big\ Beispiel m=4: \black\ \small\ sum(k^3,k=1,n)=1/4*gauss((n+1)^4-1-(4;2) sum(k^2,k=1,n)-(4;3) sum(k^1,k=1,n)-(4;4) sum(k^0,k=1,n)) \small\ = 1/4*gauss((n+1)^4-1-6n(n+1)(2n+1)/6-4n(n+1)/2-n)= 1/4*(n+1)*gauss((n+1)^3-1-n(2n+1)-2n) \small\ = 1/4*(n+1)(n^3+3n^2+3n+1-1-2n^2-n-2n)=1/4*n(n+1)(n^2+n)=\red\ gauss(n(n+1)/2)^2 \red\ \big\ Beispiel m=5: \black\ \small\ sum(k^4,k=1,n)=1/5*gauss((n+1)^5-1-(5;2) sum(k^3,k=1,n)-(5;3) sum(k^2,k=1,n)-(5;4) sum(k^1,k=1,n)-(5;5) sum(k^0,k=1,n)) \small\= 1/5*gauss((n+1)^5-1-10n^2(n+1)^2/4-10n(n+1)(2n+1)/6-5n(n+1)/2-n) \small\ =((n+1))/30*gauss(6(n+1)^4-6-15n^2(n+1)-10n(2n+1)-15n) \small\ =((n+1))/30*(6n^4+24n^3+36n^2+24n+6-6-15n^3-15n^2-20n^2-10n-15n) \small\ = n(n+1)/30*(6n^3+9n^2+n-1)=\red\ n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30 \red\ \big\ Beispiel m=6 \small\ sum(k^5,k=1,n)=1/6*gauss((n+1)^6-1-(6;2) sum(k^4,k=1,n)-(6;3) sum(k^3,k=1,n)-(6;4) sum(k^2,k=1,n)-(6;5) sum(k^1,k=1,n)-(6;6) sum(k^0,k=1,n)) \small\ =1/6*gauss((n+1)^6-1-15n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30-20n^2(n+1)^2/4-15n(n+1)(2n+1)/6-6n(n+1)/2-n) \small\ =1/6*(n+1)*gauss((n+1)^5-1-n(2n+1)(3n^2+3n-1)/2-5n^2(n+1)-5n(2n+1)/2-3n) \small\ =1/12*n(n+1)(2n^4+10n^3+20n^2+20n+10-6n^3-6n^2+2n-3n^2-3n+1-10n^2-10n-10n-5-6) \small\ =1/12*n(n+1)(2n^4+4n^3+n^2-n)=n^2(n+1)(2n^3+4n^2+n-1)/12=\red\ n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)/12 \red\ \big\ Beispiel m=7: \small\black\ sum(k^6,k=1,n)=1/7*gauss((n+1)^7-1-(7;2) sum(k^5,k=1,n)-(7;3) sum(k^4,k=1,n)-(7;4) sum(k^3,k=1,n)-(7;5) sum(k^2,k=1,n)-(7;6) sum(k^1,k=1,n)-(7;7) sum(k^0,k=1,n)) \small\ =((n+1)^7-(n+1))/7-21/7*n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)/12-35/7*n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30- \small\ - 35/7*n^2(n+1)^2/4-21/7*n(n+1)(2n+1)/6-7/7*n(n+1)/2 \small\ =((n+1))/84*gauss(12(n+1)^6-12-21n^2(n+1)(2n^2+2n-1)-14n(2n+1)(3n^2+3n-1)-105n^2(n+1)-42n(2n+2)) \small\ =((n+1))/84*gauss(12(n+1)^6-12-n^2(n+1)(42n^2+42n-21+105)-n(2n+1)(42n^2+42n-14+42)-42n) \small\ =((n+1))/84*gauss(12(n+1)^6-12-(42n^2+42n)(n^3+n^2+2n^2+n)-84(n^3+n^2)-28(2n^2+n)-42n) \small\ =n(n+1)/42*(6n^5+15n^4+6n^3-6n^2-n+1)=\red\ n(n+1)(2n+1)(3n^4+6n^3-3n+1)/42
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Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen:
: Mathematik :: Potenzsummen :: Folgen und Reihen :: Polynome :: Bernoulli-Zahlen :: Zahlentheorie :: Reine Mathematik :
Neue Darstellung der Faulhaberschen Formel [von Topole]  
Darstellung einer rekursiven Formel für die Summe über n^m ohne Verwendung der Bernoulli-Zahlen.
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"Mathematik: Neue Darstellung der Faulhaberschen Formel" | 5 Comments
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Re: Neue Darstellung der Faulhaberschen Formel
von: marvinius am: So. 11. November 2007 15:45:00
\(\begingroup\)hm ... einerseits sieht der text größtenteils aus wie von maple erzeugt und andrerseits frage ich mich wirklich, was der künstler uns damit sagen möchte ... liebe grüße, rené.\(\endgroup\)
 

Re: Neue Darstellung der Faulhaberschen Formel
von: viertel am: Di. 13. November 2007 01:17:19
\(\begingroup\)Hi Topole, wozu soll eigentlich dieses dauernde \small gut sein? Mich schreckt diese Winzigkeit jedenfalls ab, es überhaupt durchzugehen 😵 Gruß vom 1/4\(\endgroup\)
 

Re: Neue Darstellung der Faulhaberschen Formel
von: John_Matrix am: Di. 13. November 2007 04:30:34
\(\begingroup\)Etwas minimalistisch zwar, als Referenz aber ganz brauchbar, finde ich. Ich kann mir z.B. nicht mal den Fall m=3 dauerhaft merken, und muss ihn immer wieder erst herleiten. Auch finde ich es praktisch zu wissen, dass die Dinger erst ab m=5 haesslich werden, und m=4 doch noch ganz nett aussieht. Ich werde sicher oefters mal hier diese nuetzlichen kleinen Formeln nachschlagen. Danke also an Topole.\(\endgroup\)
 

Re: Neue Darstellung der Faulhaberschen Formel
von: Andi2 am: Sa. 18. Juli 2009 08:41:59
\(\begingroup\)Hallo, durch Zufall bin ich auf eure Seite gestoßen. Ich hab zwar kein Diplom, aber vor einigen Jahren habe ich eine besondere Formel durch Rumtüfteln hergeleitet, mit der man eine Potenzsumme durch Integrale ihrer entsprechend 1-potenzgrad niedrigeren Potenzsumme ausdrücken kann. Ich meine damit folgendes, man möge mir meine mathematische Ausdrucksweise verzeihen: Summe(k^(m+1)) mit (k = 1 bis n) in Abhängikeit von der Summe(k^m) mit (k = 1 bis n); Im Folgenden setzte ich die Summe(k^m) mit (k = 1 bis n) = S(m)(n), und die Summe(k^(m+1)) mit (k = 1 bis n) = S(m+1)(n); Die besondere Formel lautet: S(m+1)(n)= n+ (m+1)*[Integral(S(m)(n)dn) -n*(Integral(S(m)(n)dn) 0 bis 1)]; Hier mal ein Beispiel: S(m)(n) und m = 1, also S(1)(n) ist laut Taschenbuch n*(n+1)/2; Jetzt eingesetzt in S(m+1)(n), also S(2)(n) ergibt sich: S(2)(n) = n+ 2*[Integral(S(1))dn - n*(Integral(S(1)(n)dn in Grenzen 0 bis 1)]= n+ 2*[Integral(n*(n+1)/2)dn - n*(Integral(n*(n+1)/2)dn 0 bis 1)]= n+ 2*[(n^3)/6 + (n^2)/4 - n *(1/6 + 1/4)]= n+ 2*[(n^3)/6 + (n^2)/4 - n/6 - n/4]= n+ 2*[(n^3)/6 + (n^2)/4 -5n/12]= 6n/6+ 2*(n^3)/6 + 3*(n^2)/6 -5n/6= (2*(n^3) + 3*(n^2) + n)/6; Im Taschenbuch steht für S(2)(n) = n*(n+1)*(2n+1)/6, das ist ausmultipliziert (2*(n^3) + 3*(n^2) + n)/6, Ergebnis siehe Lösung! Die von mir hergeleitete Formel S(m+1)(n) gilt für alle m. Leider bin ich nicht in der Lage diese Formel zu beweisen, meine Herleitung liegt schon zu lange zurück. Ich wollte damals die Liste der Potenzsummen ebenfalls vereinfachen. Das kam dabei raus. Vielleicht hilft die Formel euch weiter oder ist evtl. ein Sonderfall einer bereits existierenden Formel? Viel Spaß, Gruß Andi\(\endgroup\)
 

Re: Neue Darstellung der Faulhaberschen Formel (Update)
von: Andi2 am: Di. 31. Dezember 2019 02:08:36
\(\begingroup\)Hallo, durch Zufall bin ich auf eure Seite gestoßen. Ich hab zwar kein Diplom, aber vor einigen Jahren habe ich eine besondere Formel durch Rumtüfteln hergeleitet, mit der man eine Potenzsumme durch das Integral ihrer entsprechend nächst niedrigeren Potenzsumme ausdrücken kann. Ich meine damit folgendes, man möge mir meine Ausdrucksweise verzeihen: Potenzsumme: sum(k^(m+1),k=1,n) in Abhängikeit von der 1 Potenzgrad niedrigeren Potenzsumme: sum(k^m,k=1,n) Die besondere Formel lautet: sum(k^(m+1),k=1,n) = n + (m + 1) *( int(sum(k^m,k=1,n),n) - n*int(sum(k^m,k=1,n),n,0,1 ) Hier mal ein Beispiel: sum(k^m,k=1,n) und Potenzgrad m = 1, also sum(k^1,k=1,n) bzw. sum(k,k=1,n) = ist laut Taschenbuch n*(n+1)/2; Jetzt eingesetzt in sum(k^(m+1),k=1,n) also nun Suche für den höheren Potenzgrad sum(k^2,k=1,n) ergibt sich: sum(k^2,k=1,n) = n + 2 *( int(sum(k,k=1,n),n) - n*int(sum(k,k=1,n),n,0,1 ) sum(k^2,k=1,n) = n + 2 *( int((n*(n+1)/2),n) - n*int((n*(n+1)/2),n,0,1 ) sum(k^2,k=1,n) = n + 2 * (n^3/6 + n^2/4 - n *(1/6 + 1/4)) sum(k^2,k=1,n) = n + 2 * (n^3/6 + n^2/4 - n/6 - n/4) sum(k^2,k=1,n) = n + 2 * ((n^3)/6 + (n^2)/4 -5n/12) sum(k^2,k=1,n) = 6n/6+ 2*(n^3)/6 + 3*(n^2)/6 -5n/6 sum(k^2,k=1,n) = (2*n^3 + 3*n^2 + n)/6 Im Taschenbuch steht für sum(k^2,k=1,n) = n*(n+1)*(2n+1)/6 das ist ausmultipliziert: sum(k^2,k=1,n) = (2*n^3 + 3*n^2 + n)/6 Ergebnis siehe Lösung! Die von mir hergeleitete Formel sum(k^(m+1),k=1,n) gilt für alle m. Leider bin ich nicht in der Lage diese Formel zu beweisen, meine Herleitung liegt schon zu lange zurück. Ich wollte damals die Liste der Potenzsummen vereinfachen ohne Aufreihung aller kleineren Potenzsummen. Das kam dabei raus. Vielleicht hilft die Formel euch weiter oder ist evtl. ein Sonderfall einer bereits existierenden Formel? Viel Spaß, Gruß Andi Nachtrag: Man kann auch umdrehen: Obige Formel ableiten, umbauen und erhält daraus eine Beziehung zur zur 1-Potenzgrad höheren Potenzsumme: (m+1) * sum(k^m,k=1,n) =(m+1)+ diff(sum(k^(m+1),k=1,n),n) -diff(sum(k^(m+1),k=1,n),n)(1) \(\endgroup\)
 

 
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