Die Sätze von Heine-Borel, Bolzano-Weierstraß und Montel
Ein leider sehr verbreitetes (und durch ungeschickte Definitionen in manchen Büchern/Einführungsvorlesungen gefördertes) Missverständnis ist das Gleichsetzen von "kompakt" mit "beschränkt und abgeschlossen".
Es ist zwar in vielen sinnvollen Räumen richtig, dass jede kompakte Menge beschränkt und abgeschlossen ist, jedoch ist die Umkehrung i.A. falsch.
Eine typische Reaktion eines Fortgeschrittenen auf dieses Missverständnis ist dann die Aussage, dass "kompakt=beschränkt und abgeschlossen" nur im \IR^n korrekt wäre. Dieser Artikel hat das Ziel, ein genaueres Licht auf diese Aussage zu werfen. Es stellt sich nämlich heraus, dass es für normierte Räume in der Tat richtig so ist. Jedoch möchte ich auch ein Beispiel eines unendlichdimensionalen, nicht-normierten (und dann auch nicht normierbaren) Vektorraums vorstellen, in welchem der Satz von Heine-Borel trotzdem gilt.
Die Beweise, die wir gleich führen werden, drehen sich eigentlich um den Begriff der Folgenkompaktheit. Wir werden jedoch hier immer in metrischen Räumen hantieren und es sei nochmal festgehalten, dass in metrischen Räumen Folgenkompaktheit und Kompaktheit äquivalent sind:
\ll(Lemma 0)
Sei (M,d) ein metrischer Raum und A\subseteq\ M. Dann sind äquivalent:
\ll(a)A ist überdeckungskompakt: Für jede Familie offener Mengen ((U_i))_(i\in\ I) mit A\subseteq\ union(U_i,i\in\ I) gibt es I_0\subseteq\ I endlich, sodass A\subseteq\ union(U_i,i\in\ I_0).
\ll(b)A ist folgenkompakt: Jede Folge ((a_n))_(n\in\IN) aus A hat eine in A konvergente Teilfolge.
\blue\ Beweis:
Bekannt.
\blue\ q.e.d.
Ich sprach zwar in der Einleitung vom Satz von Heine-Borel, aber ich möchte nicht verschweigen, dass es ebenso gut der Satz von Bolzano-Weierstraß sein könnte, da die beiden in metrischen Räumen äquivalent sind:
\ll(Lemma 1)
Für einen metrischen Raum (M,d) sind äquivalent:
\ll(a)M erfüllt den Satz von Heine-Borel: Jede beschränkte, abgeschlossene Menge ist kompakt.
\ll(b)M erfüllt den Satz von Bolzano-Weierstraß: Jede beschränkte Folge hat eine konvergente Teilfolge.
\blue\ Beweis:
Das folgt aus der Äquivalenz von Kompaktheit und Folgenkompaktheit in metrischen Räumen:
(a) => (b)
Ist ((x_n)) beschränkt, so ist menge(x_n | n\in\IN)^- beschränkt und abgeschlossen, nach (a) also kompakt, also folgenkompakt. Also hat die Folge ((x_n)) eine konvergente Teilfolge.
(b) => (a)
Ist umgekehrt A\subseteq\ M beschränkt und abgeschlossen sowie ((a_n)) eine Folge aus A, so ist auch ((a_n)) beschränkt, hat also nach (b) eine konvergente Teilfolge, deren Grenzwert wegen der Abgeschlossenheit in A liegt. Demnach ist A folgenkompakt, also kompakt.
\blue\ q.e.d.
Wann immer wir von der Heine-Borel-Eigenschaft sprechen, könnten wir sie also auch durch die Bolzano-Weierstraß-Eigenschaft ersetzen, solange wir in metrischen Räumen sind (was aber den ganzen Artikel über der Fall sein wird).
So, genug der Vorrede. Fangen wir an:
Wir wollen zeigen, dass die Sätze von Heine-Borel und Bolzano-Weierstraß in normierten Räumen genau dann gelten, wenn der Raum endlich-dimensional ist.
Alles, was wir dazu brauchen, ist das folgende Lemma von Riesz:
\ll(Lemma 2)
Sei E normiert und F=\h ist.
\blue\ Beweis:
Weil F d/\h>d
=>\exists\ z\in\ F: d<=norm(x-z)<=d/\h
Wegen d>0 ist norm(x-z)!=0. Wir setzen x_\h:=(x-z)/norm(x-z). Dann ist x_\h normiert und es gilt:
d(x_\h, F)=inf(y\in\ F, norm(y-x/norm(x-z)+z/norm(x-z))
=1/norm(x-z)*inf(y\in\ F, norm((norm(x-z)*y+z)-x)
>=1/norm(x-z)*inf(y^~\in\ F, norm(y^~-x))
>=\h/d*d
=\h
\blue\ q.e.d.
Daraus wird nun alles Weitere folgen:
\ll(Satz 3)
Sei E ein normierter Raum und S:=menge(x\in\ E | norm(x)=1). Äquivalent sind:
\ll(i)E ist endlichdimensional
\ll(ii)Jede beschränkte, abgeschlossene Menge ist kompakt.
\ll(iii)Jede beschränkte Folge hat eine konvergente Teilfolge.
\ll(iv)S ist kompakt.
\blue\ Beweis:
(i) => (ii) ist gerade der Satz von Heine-Borel.
(ii) <=> (iii) folgt aus \ref(Lemma 1).
(ii) => (iv)
Ergibt sich sofort, weil S beschränkt und abgeschlossen ist.
(iv) => (i)
Dies folgt nun aus dem Lemma von Riesz. Wir zeigen dazu, dass S nicht kompakt ist, wenn E unendlichdimensional ist.
Wir konstruieren rekursiv eine Folge aus S, die keine konvergente Teilfolge hat. Wir nutzen also erneut die Äquivalenz von Kompaktheit und Folgenkompaktheit.
Dazu sei x\in\ E beliebig und x_0:=x/norm(x)\in\ S. Sind x_0, ..., x_n bereits definiert, so betrachten wir den Unterraum F_n:=span(menge(x_0, ..., x_n)). Weil E unendlichdimensional ist, ist F_n stets ein echter Unterraum. Weil F_n als endlichdimensionaler, normierter Unterraum aber stets vollständig und daher abgeschlossen in E ist, können wir das Lemma von Riesz anwenden.
Wir erhalten demnach ein x_(n+1) mit norm(x_(n+1))=1 und d(x_i,x_(n+1))>=1/2 für i=0,...,n. Auf diese Weise definieren wir rekursiv alle x_n.
Keine Teilfolge von ((x_n)) ist dann eine Cauchy-Folge, da norm(x_n-x_m) stets >=1/2 ist. Also ist keine Teilfolge von ((x_n)) konvergent, also ist S nicht folgenkompakt, also auch nicht kompakt.
\blue\ q.e.d
Wir werden jetzt einen topologischen (sogar metrisierbaren) Vektorraum kennenlernen, der unendlichdimensional ist, aber trotzdem die Heine-Borel-Eigenschaft hat. Ein solcher Raum kann natürlich nicht normierbar sein, wie uns der eben bewiesene Satz 3 zeigt.
Wir können so einen Raum aber als lokalkonvexen Raum erhalten. Lokalkonvexe Räume und ihre grundlegenden Eigenschaften habe ich in diesem Artikel schonmal besprochen. Ich werde auf einige der dortigen Definitionen und Sätze zurückgreifen.
\ll(Definition 4)
Ist \0!=U\subseteq\IC offen, so definieren wir H(U) als Vektorraum der holomorphen Funktionen U->\IC versehen mit den Halbnormen norm(f)_K:=sup(x\in\ K,abs(f(x))) wobei K alle Kompakta \subseteq\ U durchläuft.
Die Konvergenz in H(U) ist also die gleichmäßige Konvergenz auf allen kompakten Mengen oder kurz die so genannte "kompakte" bzw. "normale" Konvergenz.
Ein Satz von Weierstraß zeigt, dass die Grenzfunktion f einer kompakt konvergent Funktionenfolge ((f_n)) holomorph ist, wenn die f_n holomorph sind. Daraus folgt u.A. die Vollständigkeit des Raums H(U).
H(U) ist natürlich unendlichdimensional, da alle Polynomfunktionen in H(U) enthalten sind und 1,x,x^2,... linear unabhängig ist.
Wir wollen ein genaueres Licht auf die kompakte Konvergenz werfen. Dazu brauchen wir etwas Geometrie:
\ll(Lemma 5)
Sei \0!=U\subseteq\IC offen. Dann gibt es eine Folge ((K_i)) kompakter Mengen mit folgenden Eigenschaften:
(a) $K_0\subseteq\ K_1^opimg(\circ)\subseteq\ K_1\subseteq\ K_2^opimg(\circ)\subseteq\ K_2\subseteq...\subseteq\ U und union(K_i,i=0,\inf)=union(K_i^opimg(\circ),i=0,\inf)=U
(b) $Jedes Kompaktum K\subseteq\ U ist in einem der K_i enthalten.
(c) $Die kompakte Konvergenz wird bereits von den abzählbar vielen
$ $ Halbnormen norm(opimg(*))_K_i erzeugt.
Außerdem ist die kompakte Konvergenz metrisierbar.
\blue\ Beweis:
Indem wir ggf. einen Homöomorphismus \IC->\(0,1\)\times\(0,1\) benutzen, können wir für \ref(a) annehmen, dass U beschränkt und insbesondere \pd||U!=\0 ist.
Jetzt setzen wir K_i:=menge(z\in\ U | d(z,\pd||U)>=1/2^i). Da d(opimg(*),\pd||U) stetig ist, ist K_i abgeschlossen und als Teilmenge von U auch beschränkt, also kompakt.
Offenbar ist K_i^opimg(\circ)=menge(z\in\ U | d(z,\pd||U)>1/2^i), d.h. die Schachtelungseigenschaft ist erfüllt.
Es gilt dann natürlich union(K_i,i=0,\inf)\subseteq\ union(K_i^opimg(\circ),i=0,\inf)\subseteq\ union(K_i,i=0,\inf)\subseteq\ U. Da jedes z\in\ U einen positiven Abstand von \pd||U \(abgeschlossen!\) hat, ist also U=union(K_i,i=0,\inf). Das zeigt \ref(a).
\ref(b) folgt daraus sofort, denn union(K_i^opimg(\circ),i=0,\inf)=U ist eine offene Überdeckung von U, d.h. es gibt für jedes K ein i mit K\subseteq\ K_i^opimg(\circ) \(die K_i sind aufsteigend!\).
\ref(c) folgt aus \ref(b). Jedes Kompaktum ist in einem der K_i enthalten, d.h. wenn norm(f-f_j)_K_i->0 für alle i ist, dann gilt norm(f-f_j)_K->0 für alle Kompakta K\subseteq\ U. Umgekehrt: Wenns für alle gilt, gilts auch für die K_i.
\ref(d) folgt dann mit einem Standardtrick. (f,g)\mapsto\ norm(f-g)_K_i/(1+norm(f-g)_K_i) ist eine durch 1 beschränkte Halbmetrik auf H(U).
d(f,g):=sum(1/2^i*norm(f-g)_K_i/(1+norm(f-g)_K_i),i=0,\inf)
ist demzufolge wohldefiniert und selbst eine Halbmetrik. Ist aber d(f,g)=0, so ist norm(f-g)_K_i=0, d.h. f=g, da die K_i ganz U überdecken.
Ist nun d(f_j,f)->0, so folgt offenbar norm(f_j-f)_K_i->0 für alle i. Das heißt nach \ref(c) die metrische Konvergenz impliziert die kompakte Konvergenz. Offenbar klappt das auch umgekehrt ganz gut: Man wählt für gegebenes \eps>0 ein m\in\IN und j\in\ J groß genug, damit
\forall\ j'>=j\forall\ i=1...m: norm(f_j'-f)_K_i<=\eps/4 sowie sum(2^(-i),i=m+1,\inf)<=\eps/2
gilt. Dann ist auch \forall\ j'>=j: d(f,f_j')<=sum(2^(-i)*\eps/4,i=0,m)+sum(2^(-i)*1,i=m+1,\inf)<=\eps/2+\eps/2. Also impliziert auch die kompakte die metrische Konvergenz. Also sind beide Topologien gleich, d.h. H(U) ist metrisierbar.
\blue\ q.e.d.
Das ist schonmal ein interessanter Fakt, denn das erlaubt es uns, Kompaktheit und Folgenkompaktheit in H(U) gleichberechtigt zu verwenden. Wenn man sich jetzt nochmal unser Ziel vor Augen führt, den Satz von Heine-Borel für H(U) zu zeigen, dann wird noch etwas klar:
H(U) ist ein topologischer Vektorraum, der metrisierbar, aber nicht normierbar ist.
Ãœbrigens kann man die Beweisideen bei der Konstruktion der Metrik auch allgemeiner einsetzen und folgenden Satz beweisen:
\ll(Satz 6)
Sei X ein lokalkonvexer Raum. X ist genau dann metrisierbar, wenn die Topologie von einer abzählbaren Familie von Halbnormen erzeugt werden kann.
\blue\ Beweis hier nicht.
Um nun zu zeigen, dass der Satz von Heine-Borel in H(U) gilt, müssen wir uns zuerst darüber klarwerden, was denn "beschränkt" eigentlich bedeutet.
Im Artikel über lokalkonvexe Räume hatten wir eine Teilmenge Y eines topologischen Vektorraums X beschränkt genannt, wenn für jede Nullumgebung V\subseteq\ X ein \l>0 existiert, sodass Y\subseteq\l*V gilt.
Offenbar kann man sich bei dieser Definition auf eine Nullumgebungs||basis__ beschränken.
Wenn man in einem lokalkonvexen Raum X ist, der von der Halbnormfamilie P topologisiert wird, dann bilden nach Konstruktion die endlichen Durchschnitte von \eps-Kugeln eine Basis der Topologie, d.h. eine Nullumgebungsbasis ist durch
menge(B\.array(\small\ p_1;\eps\normal)(0)\cut...\cut\ B\.array(\small\ p_n;\eps\normal)(0) | \eps>0, n\in\IN, p_1, ..., p_n\in\ P)
gegeben.
Man sieht sofort, dass dabei B\.array(\small\ p_1;\eps\normal)(0)\cut...\cut\ B\.array(\small\ p_n;\eps\normal)(0) die \eps-Kugel um 0 bzgl. der \(stetigen\) Halbnorm max(i=1..n,p_i) ist.
Wenn wir uns mal anschauen, was Beschränktheit bzgl. dieser Umgebungsbasis über Beschränktheit ist, dann kommen wir auf:
Y\subseteq\ X beschränkt
<=> \forall\eps>0\forall\ P_0\subseteq\ P endlich \exists\l>0: Y\subseteq\l*cut(B||array(\small\ p;\eps)(0),p\in\ P_0)
<=> \forall\eps>0\forall\ p_1, ..., p_n\in\ P\exists\l>0: p_i(Y)\subseteq\[0,\l*\eps\]
<=> \forall\eps>0\forall\ p\in\ P\exists\l>0: p(Y)\subseteq\[0,\l*\eps\]
<=> \forall\ p\in\ P\exists\ M>0\forall\ y\in\ Y: p(y)<=M
Angewandt auf H(U) heißt dass, dass Y\subseteq\ H(U) genau dann beschränkt in H(U) ist, wenn die Funktionen aus Y array(lokal gleichmäßig beschränkt)__ sind, d.h. wenn zu jedem Kompaktum K ein M>0 existiert, sodass
\forall\ y\in\ Y: sup(x\in\ K,abs(y(x)))<=M
Wir werden nun den Satz von Montel beweisen, der uns zeigt, dass der Raum der holomorphen Funktionen zusammen mit der kompakten Konvergenz die Heine-Borel-Eigenschaft hat, ohne endlichdimensional zu sein:
\ll(Satz 7) array(Satz von Montel)__
Sei \0!=U\subseteq\IC offen und A\subseteq\ H(U) beschränkt und abgeschlossen. Dann ist A \(folgen\)kompakt.
\blue\ Beweis:
array(Schritt 1)__ Wir werden zeigen, dass menge(f_\|K | f\in\ A) gleichgradig gleichmäßig stetig ist für abgeschlossene Kugeln K=B_r(x)^-\subseteq\ B_R(x)^-\subseteq\ U mit r abs(f(u)-f(v))<\eps
gilt, d.h. menge(f_\|K | f\in\ A) ist gleichgradig gleichmäßig stetig.
array(Schritt 2)__
Als nächstes stellen wir fest, dass menge(f_\|K | f\in\ A) damit präkompakt in C(B_r(x)^-) ist, weil es nach Voraussetzung ein M mit \forall\ f\in\ A: norm(f)_K<=M existiert, die Menge also beschränkt in C(K) ist. Wie eben gesehen ist sie auch gleichgradig stetig. Der Satz von Arzela-Ascoli liefert uns also die behauptete Präkompaktheit, d.h. jede Folge aus dieser Menge hat eine in C(K) konvergente Teilfolge.
array(Schritt 3)__ menge(f_\|K | f\in\ A) ist folgenkompakt in C(K) für jedes Kompaktum K\subseteq\ U.
Sei dazu ((f_n)) eine beliebige Folge aus A. Wir müssen zeigen, dass es eine Teilfolge ((f_n_k)) gibt, die auf K gleichmäßig gegen ein f\in\ H(U) konvergiert.
Da K kompakt ist, ist d(K,\pd||U)>0. Wir wählen also 0
So. Das wars bis hierher. Ich hoffe, ihr fandet es interessant. Es gibt weitere Beispiel von Räumen, die die Heine-Borel-Eigenschaft haben, aber unendlichdimensional sind, z.B. die so genannten "nuklearen" Räume. Nach dem Satz von Montel werden übrigens topologische Vektorräume mit der Heine-Borel-Eigenschaft auch "Montel-Räume" genannt.
Sobald ich wiedermal etwas Spannendes finde, kommt sicher ein nächster Artikel. Seid also gespannt.
mfg_n_k->Gockel
Beweis, dass "Beschränkt+abgeschlossen=kompakt" in normierten Räumen genau für die endlichdimensionalen richtig ist. Außerdem wird ein Beispiel für einen nicht-normierbaren Raum gegeben, in dem die Aussage trotzdem gilt: Der Raum der holomorphen Funktionen H(U).
\(\begingroup\)Hallo Gockel 😄
Ein paar Sachen:
1. Der Beweis von Lemma 5 nimmt die Beschraenktheit von U an, sie wird aber nicht gefordert.
2. Vor Lemma 5 erklaerst du, dass H(U) vollstaendig ist. Ich wuerde dies nach Lemma 5 verschieben, da man normalerweise Cauchyfolgen (also eine Metrik) verwendet, um Vollstaendigkeit zu definieren.
3. Ein anderes nettes Beispiel ist die schwache Konvergenz auf Banachraeume, fuer die Gueltigkeit beschraenkt + abgeschlossen => kompakt.
4. Noch eins: Wahrscheinlichkeitsmasse mit schwach* Topologie bilden sogar einen kompakten Raum.
LG,
cow_
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi cow.
1. Im Beweis von Lemma 5 sage ich aber, dass wir oBdA annehmen können, U sei beschränkt. Wenn U das nicht ist, bilden wir \IC durch einen Homöomorphismus auf (0,1)x(0,1) ab und zeigen die Aussage dann für das Bild. Wegen der Homöomorphie existiert dann so eine Folge kompakter Mengen auch für das ursprüngliche U.
Für die Beweise von (b), (c) und (d) brauche ich dann nur noch diese Folge, nicht mehr die Beschränktheit.
2. Vollständigkeit kann man für alle uniformen Räume, also insbesondere für alle topologischen Vektorräume definieren, ohne Folgen oder Metriken zu benutzen. Im Artikel über lokalkonvexe Räume habe ich auch eine entsprechende Definition angegeben. Man fordert einfach, dass jedes Cauchy-Netz bzw. jeder Cauchy-Filter konvergiert.
3. Das wusste ich nicht.
4. Okay, aber sie bilden keinen Vektorraum. Gilt im Raum der endlichen (signierten/komplexen) Maße mit der schwach*-Topologie die Heine-Borel-Eigenschaft?
mfg Gockel.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Gockel,
ich habe mal eine Frage zu Lemma 1)
gilt das wirklich in der schärfe? also das kompakt= abgeschlossen+beschränkt im IR^n gilt ist klar. Aber ich habe mir seiner Zeit damals mal als gegenbeispiel den diskreten metrischen Raum mit unendlich vielen Elementen notiert.
Ich sehe allerdings auch kein Fehler in deinem Beweis...
Fragende Grüße
Euler 74\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi.
Ja, das Lemma ist schon so korrekt. Vielleicht hast du da etwas missverstanden. Ich habe nicht behauptet, dass alle metrischen Räume diese Eigenschaften haben (denn das ist falsch und dein Beispiel zeigt es auch). Das Lemma sagt nur, dass die Eigenschaften zueinander äquivalent sind: Wenn eine von beiden gilt, gilt auch die andere.
mfg Gockel.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@Gockel: Die endlichen (signierten) Radonmasse auf IR haben (so glaube ich mich zu erinnern) die Heine-Borel-Eigenschaft hinsichtlich der vagen Topologie, und Cow wird wohl mit schwach* Topologie die vage Topologie gemeint haben (und nicht die schwache Topologie aus der W'keitstheorie aka Konvergenz in Verteilung: für diese Topologie stimmts nämlich nicht, da müsste man noch Straffheit fordern). Jedenfalls folgt das Ganze aus dem "Helly Selection Theorem": Zu jeder gleichmässig beschränkten Folge monoton wachsender Funktionen existiert eine monoton wachsende Funktion F, so dass eine Teilfolge punktweise gegen F konvergiert in allen Stetigkeitspunkten von F.
Gruss\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@Monkfish: Helly reicht nur auf R aus. M^1(X) ist aber fuer X kompakt metrisch, ein kompakter Raum.
@Gockel: Ich hatte diese Annahme ueberlesen....
Ich habe nochmal ueber das Ganze nachgedacht, und eigentlich sollte man sich bei diesen Kompaktheitseigenschaften folgendes vorstellen. In dem man die Topologie abschwaecht erreicht man, dass man auch unendlichdimensionale Raeume aus Beschraenktheit und Abgeschlossenheit die Kompaktheit folgern kann. Allerdings nimmt man damit halt in Kauf, dass viel gegen 0 konvergiert.
Zum Beispiel konvergiert z^n in der Einheitsscheibe normal gegen 0, aber in keinem der H^p(D).
Aber auf jeden Fall ist das hier ein netter Artikel zu einem interessanten Thema, also ein Lob dafuer (habe ich im ersten Kommentar vergessen *schaem*).
Liebe Gruesse,
cow_
\(\endgroup\)
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