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Oft wird in Büchern oder Skripten nach der Definition der Determinante bewiesen, dass die Leibnizformel die Forderungen erfüllt und sie auch die einzige Funktion ist. Existenz und Eindeutigkeit eben. Die Beweise findet man auch hier in Artikelform.
Die Frage, die sich mir und meinen Mitstudenten zur Zeit meiner LA Vorlesung stellte: "Wie kommt man denn auf diese monströse Formel?"
Eine Frage die vielleicht manch ausgebufftem Mathematiker keinerlei Schwierigkeiten macht, oder gar nicht interessiert. Diese brauchen nicht weiterzulesen. :)
Zielgruppe sind hier Leute in den ersten Semestern oder sogar in der Schule. Ich freue mich da auch über jedes Feedback, vielleicht machts für den einen oder anderen die Sache klarer, vielleicht auch nicht.
Voraussetzen werde ich elementare Gruppentheorie, die symmetrische Gruppe und den Gruppenhomomorphismus \sgn \(Signum). Wer hier Nachholbedarf hat, kann das mit den Gruppenzwangartikeln erledigen.
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Mein Vorgehen soll so aussehen: Wir schauen uns einen Weg an, wie man die Determinante einer (2\cross\ 2)\-Matrix mithilfe der Eigenschaften der Determinante berechnen kann. Parallel dazu schreibe ich jeden Schritt, allgemein für (n\cross\ n)\-Matrizen in Formeln mit. Am Ende soll die Leibnizformel stehen.
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Sie sei hier noch einmal angegeben:
Für M = ((m_ij))\el\ K^(n \cross n), K ein Körper
\darkblue\ det(M) = sum(sgn(\sigma) * produkt(m_(i\sigma(i)),i=1,n),\sigma \el S_n)
Hier sind die senkrechten Striche natürlich als Determinantenfunktion und nicht als Norm oder Absolutbetrag zu verstehen.
Es sei hier noch angemerkt, dass diese Formel aus n! Summanden besteht; eine Tatsache, die \(im Allgemeinen) die praktische Berechnung einer Determinante über die Leibnizformel unsinnig werden lässt.
Nun will ich noch einmal die Definition einer Determinantenfunktion angeben. Dazu fassen wir die Matrix ausnahmsweise als eine "Liste" von Spalten auf, das macht die Formulierung etwas leichter.
Eine Determinantenform D: (K^n)^n -> K \(dass die dann eindeutig ist, wurde an anderer Stelle bewiesen) hat die Eigenschaften:
Seien w, v_1, ..., v_n \el K^n und \alpha \el K beliebig:
\darkblue\boxon\ a) Für die Standardbasisvektoren gilt:
D(e_1, e_2, ..., e_n) = 1
b) Für 1 <= i <= n gilt:
D(v_1, ..., v_(i-1), v_i + w, v_(i+1), ..., v_n)=
D(v_1, v_2, ..., v_n) + D(v_1, ..., v_(i-1), w, v_(i+1), ..., v_n)
c) Für 1 <= i <= n gilt:
D(v_1, v_2, ..., \alpha*v_i, ..., v_n) = \alpha * D(v_1, v_2, ..., v_n)
d) Wenn für zwei Indizes 1 <= i < j <= n die Spalten v_i und v_j übereinstimmen, dann ist D(v_1, ..., v_j, ..., v_j, ..., v_n) = 0
\boxoff
Daraus folgt dann schon, dass sich das Vorzeichen der Determinante ändert, wenn man 2 Spalten vertauscht. Der Beweis ist recht einfach, die Eigenschaften b und d reichen aus. Noch einfacher sieht man: Eine Null\-Spalte lässt die Determinante 0 werden. Analog zu den oberen Eigenschaften gilt auch jede Eigenschaft, wenn man "Zeilen" statt "Spalten" schreibt, denn det(A) = det(A^\top).
A = matrix(a, b;c, d)
Die einzige Eigenschaft die uns zu einem Wert führt, ist Eigenschaft a. Wir müssen also versuchen, A in Einheitsmatrizen "auseinander zu ziehen". Entsprechende Vorfaktoren muss man sich dabei natürlich merken. Eigenschaft b sagt: Wenn eine Zeile die Summe zweier Zeilen ist, können wir, solange man die anderen Zeilen festhält, die Determinante \(wie im Folgenden angegeben) auseinander ziehen. Das machen wir jetzt mit beiden Zeilen. Dabei betrachten wir jede Zeile als eine Summe von Zeilen, die nur an einer Stelle eine Komponente ungleich 0 hat (matrix(a, b) = matrix(a, 0) + matrix(0, b)).
\darkblue\lr(Schritt 1) det(A) = det(matrix(a, 0;c, d)) + det(matrix(0, b;c, d)) = det(matrix(a, 0;c, 0)) + det(matrix(a, 0;0, d)) + det(matrix(0, b;c, 0)) + det(matrix(0, b;0, d))
Im Allgemeinen gibt uns das für eine der n Zeilen n Summanden. Von jedem dieser n Summanden \(genauer gesagt: der zugehörigen Matrix) ziehen wir die weiteren n-1 Zeilen auseinander. Jeder Summand wird dann wieder in eine Summe aus n Summanden geteilt. Wenn wir das mit allen Zeilen machen, bekommen wir n^n Summanden, für A also die 4 Summanden von oben.
Das n^n ist hier auch kein Zufall \(wer hätte es gedacht), denn wir können jeden Summanden mit einer Abbildung f von I := menge(1,...,n) nach I identifizieren, und von diesen gibt es gerade n^n Stück.
Die Identifikation läuft auf folgende Weise: Wir legen fest, dass eine solche Abbildung f uns einfach zu jeder Zeile sagt, der wievielte Eintrag ungleich 0 ist. Dieser Eintrag kommt dann aus der ursprünglichen Matrix. Offenbar gehört zur jeder Abbildung genau eine Matrix und umgekehrt.
Am Beispiel wird das sofort klar:
Sei g : I -> I, i |-> cases(i+1, wenn i < n;1, sonst)
Wenn wir mit M_f = ((mf_ij)) \el K^(n \cross n) \(K ein Körper) die Matrix bezeichnen, die auf die angegebene Weise zu einer Matrix M und einer gegebenen Abbildung f von I -> I gehört, dann ist A_g gerade matrix(0, b;c, 0), der 3. Summand von oben.
Formal: M_f = ((mf_ij)) = cases(m_ij, wenn f(i) = j; 0, sonst)
Nun können wir die Determinante einer beliebigen (n\cross\ n)\-Matrix M schreiben als:
\darkblue\lr(Schritt 1 als Formel)det(M) = sum(det(M_f),f\in\ Abb(I,I))
Stehen geblieben waren wir bei Schritt 1:
det(A) = det(matrix(a, 0;c, 0)) + det(matrix(a, 0;0, d)) + det(matrix(0, b;c, 0)) + det(matrix(0, b;0, d))
Wir sehen: Nicht jeder der Summanden ist ungleich 0. Beim ersten und letzten Summanden stimmen 2 Zeilen bis auf einen konstanten Faktor überein. Mit den Eigenschaften c und d für Zeilen sehen wir also, dass ihre Determinanten 0 sind.
\darkblue\lr(Schritt 2)det(A) = det(matrix(a, 0;c, 0)) + det(matrix(a, 0;0, d)) + det(matrix(0, b;c, 0)) + det(matrix(0, b;0, d)) = det(matrix(a, 0;0, d)) + det(matrix(0, b;c, 0))
Hieran sieht man, dass det(M_f) auf jeden Fall 0 ist, wenn f nicht injektiv ist. Wir müssen die Summe also nur über alle injektiven Abbildungen von I -> I laufen lassen. Da I endlich ist sind aber alle injektiven Abbildungen von I -> I auch surjektiv und damit bijektiv.
An dieser Stelle gehen wir zur gruppentheoretischen Schreibweise über. S_n := menge(f: I -> I | f bijektiv). S_n mit der Abbildungskomposition \circle als Verknüpfung ist eine Gruppe, die symmetrische Gruppe. Oft nennt man Elemente von S_n \sigma, das wollen wir hier auch tun.
Die Summe wird also:
\darkblue\lr(Schritt 2 als Formel)det(M) = sum(det(M_\sigma),\sigma \in S_n)
Jedes dieser M_\sigma ist bis auf Zeilenvertauschungen und konstante Faktoren eine Einheitsmatrix, dafür sorgt gerade die Bijektivität von \sigma. Wenn wir für einen Moment von den Zeilenvertauschungen absehen, ist die Determinante von M_\sigma gerade das Produkt der Einträge, die aus M stammen \(Eigenschaften c und a). Das sind genau die Einträge aus der i\-ten Zeile und der \sigma(i)\-ten Spalte, also m_(i\sigma(i)) für 1 <= i <= n. Das Vorzeichen hängt eben von M_\sigma bzw. von \sigma ab.
Am Beispiel:
\darkblue\lr(Schritt 3)det(A) = det(matrix(a, 0;0, d)) + det(matrix(0, b;c, 0)) = (1)*a*d - det(matrix(c, 0;0, b)) = a*d - b*c
Allgemein:
\darkblue\lr(Schritt 3 als Formel)det(M) = sum(det(M_\sigma),\sigma\in\ S_n) = sum(Vorzeichen(\sigma)*produkt(m_(i\sigma(i)),i=1,n))
Nun zum Vorzeichen: Das Vorzeichen ergibt sich aus der genannten Tatsache, dass sich bei einer Zeilenvertauschung das Vorzeichen der Determinante ändert. Angenommen, wir brauchen also k Zeilenvertauschungen, um M_\sigma zu einer Diagonalmatrix zu machen, dann ist Vorzeichen(\sigma) = (-1)^k.
Aus der Gruppentheorie ist bekannt, dass jedes \sigma \in S_n sich als Komposition von Transpositionen schreiben lässt. Transpositionen sind gerade die Elemente aus S_n, die 2 Elemente vertauschen und den Rest festlassen. Mit der Tatsache, dass das Signum ein Gruppenhomomorphismus von S_n nach (menge(-1, 1), *) ist und sgn(\tau) = -1 für jede Transposition \tau gilt, folgt, dass ein Element von S_n sich entweder__ als eine Komposition einer geraden Anzahl von Transpositionen oder__ einer ungeraden Anzahl schreiben lässt. Die Signumfunktion sgn: S_n -> menge(-1, 1) sagt einem nun für eine Permutation, welcher Fall zutrifft \(-1 bei ungerader Anzahl).
Zu einer Zeile der Matrix M_\sigma gibt uns das \sigma die Spalte, in welcher der Eintrag aus M steht. Wir können das Ganze aber auch so interpretieren, dass uns \sigma zu einer Zeile i die Zeilennummer j gibt, an der die Zeile stehen muss, wenn M_\sigma zu einer Diagonalmatrix gemacht werden soll.
Wie immer wird das am Beispiel schneller klar:
Noch einmal die Matrix A:
A = matrix(a, b;c, d)
Zu g : I -> I, i |-> cases(i+1, wenn i < n;1, sonst) \(eine Bijektion) war
A_g = matrix(0, b;c, 0).
g(1) = 2 sagt einem nach der "alternativen Interpretation", dass die in A_g erste Zeile in die 2. gehört, möchte man eine Diagonalmatrix per Zeilenvertauschungen aus A_g bekommen.
Nun ist klar, die \sigma \in S_n geben eine Permutation der Zeilen. Wenn \sigma als ungerade Anzahl von Transpositionen darstellbar ist, brauchen wir auch eine ungerade Anzahl an Zeilenvertauschungen, um aus A_\sigma eine Diagonalmatrix zu machen. Analog für eine gerade Anzahl.
Damit folgt:
\darkblue\det(M)=sum(det(M_f),f\in\ Abb(I,I))=sum(det(M_\sigma),\sigma\in\ S_n)=sum(Vorzeichen(\sigma)*produkt(m_(i\sigma(i)),i=1,n),\sigma\in\ S_n)=\darkblue\sum(sgn(\sigma)*produkt(m_(i\sigma(i)),i=1,n),\sigma\el\ S_n)
Das galt es zwar nicht zu beweisen, aber immerhin zu motivieren.
Oft wird in Büchern oder Skripten nach der Definition der Determinante bewiesen, dass die Leibnizformel die Forderungen erfüllt und sie auch die einzige Funktion ist. Existenz und Eindeutigkeit eben. Die Beweise findet man auch hier in Artikelform.
\(\begingroup\)@spitzwegerich:
Danke, Änderungsanfrage ist raus.
@Anonymous:
Das ist sicher Ansichtssache. Als Erstsemester hab ich das so gesehen, und die sind ja die Zielgruppe. Davor, dass das für manchen trivial sein mag, hab ich ja explizit gewarnt.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)1.) Die Formel wird (bzw. wurde) bei einigen, wie bei mir, erst im zweiten Semester behandelt. Von daher sollte man nicht ausschließlich von Erstsemesterschreck sprechen.
Mal abgesehen davon, dass es genügend Dinge im ersten Semester gibt, die gewöhnungsbedürftiger sind.
2.) Diese Formel wird von Schülern der Oberstufe für den Fall n=2, n=3 angewendet (in der Schule wird sie auch elementar bewiesen). In der Regel braucht man diese "Formel" für n>3 auch nicht, sondern entwickelt statt dessen nach einer Zeile/Spalte der Matrix.
3.) Wenn du mal z.B. ein paar Numerik-Vorlesungen hörst, wirst du wissen, was man unter "monströsen Formeln" versteht.
4.) Die Leibniz-Formel könnte man problemlos in der Klausur abfragen, sofern das Sinn macht (s.o.), wobei natürlich keine Hilfsmittel zugelassen sind.
5.) Für einen Artikel lässt deine Rechtschreibung/Grammatik ein wenig zu wünschen übrig.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@Anonymous:
Ich denke eine Diskussion über die Worte "Erstsemesterschreck" und "monströs" bringt nicht besonders viel.
Dass man die Formel nicht benutzt, um praktisch die Determinante zu berechnen hab ich ja auch geschrieben. Trotzdem taucht sie ja hier und da auf, nicht zuletzt beim Beweis des Entwicklungssatzes.
Ja könnte man in ner Klausur abfragen, ich fand sie nur damals nicht so einfach zu verstehen, vor allem eben auch wie man zu ihr kommt.
Wenn du meinst, nur wenige Leute hatten/haben Schwierigkeiten mit der Formel... gut darüber kann man sicher diskutieren... ich hatte gehofft, es hilft dem ein oder anderen.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo slurpslerp,
ich finden deinen ersten Artikel lesenswert. :) Hat mir Spaß gemacht, zu lesen. Hab herzlichen Dank! 😄
Gruss Florian\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@Anonymous:
"Mal abgesehen davon, dass es genügend Dinge im ersten Semester gibt, die gewöhnungsbedürftiger sind."
Für jeden sind doch andere Dinge besonders gewöhnungsbedürftig. Klar, kann sein, dass ich der einzige bin der mit der Formel Probleme hatte. Es wird aber auch niemand gezwungen den Artikel zu lesen.
"Für einen Artikel lässt deine Rechtschreibung/Grammatik ein wenig zu wünschen übrig."
Wenn du noch besonders kritikwürdige Stellen oder so genannt hättest, würde es eventuell schneller gehen. Ich setz mich demnächst in einer ruhigen Minute hin und kontrollier Alles nochmal.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@slurpslerp:
Mein Beitrag war jetzt nicht bös gemeint. Nur ein paar Anmerkungen noch:
-Ich persönlich hatte im ersten Semester u.a. Probleme mit der (nicht unwichtigen) Epsilontik. Inzwischen habe ich mich daran gewöhnt, kann aber nicht behaupten besonders gut damit umgehen zu können. Vielleicht wäre es auch sinnvoll im ersten Semester einen Einführungskurs zur Topologie/Algebra zu geben.
-Eventuell liegt es auch an der mieserablen Darstellung deines Dozenten, dass du die Leibniz-Formel als monströs betrachtest. In meinem ganzen Studium bin ich jedenfalls äußerst selten darauf gestoßen, und kenne auch niemanden der damit Probleme gehabt hätte. \(\endgroup\)
\(\begingroup\)"Eventuell liegt es auch an der mieserablen Darstellung deines Dozenten"
Ich kann nicht sagen, dass sie miserabel war. Die Formel "fiel eben vom Himmel" und es wurde bewiesen, dass sie die geforderten Eigenschaften erfüllt. Mir wurde im 1. Semester eben nicht wirklich klar, was dahintersteckt.
Das als "monströs betrachten", war im 1. Semester, wie gesagt.
Vielleicht gibts zum Beispiel auch Ingenieur-Studenten denen so eine ausführliche Beschreibung hilft. Vielleicht auch nicht, wer weiss.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Habe den Artikel nicht gelesen, aber die Diskussion mit Interesse verfolgt.
Ich finde es toll und lobenswert, dass Du, slurpslerp, soviel Zeit aufwendest und einen Artikel in der Hoffnung schreibst, Anfängern den Durchblick zu behalten.
Ich muss dem anonymen Schreiber Recht geben. Die Determinanten-Formel kann man aus den Prinzipien der Determinanten-Funktionen herleiten, bzw. motivieren. Das mach bspw. der Bosch in "Lineare Algebra" sehr schön.
Ich muss ihm aber auch widersprechen, denn gerade in der Mathematik wird die Leibnizformel viel häufiger verwendet als der Laplace'sche Entwicklungssatz. Zum Beispiel im Beweis der Transformationsformel für Differentialformen oder um Determinantenfunktionen abzuleiten.
Und ich glaube sogar, dass es ein didaktischer Griff ins Klo wäre, Erstsemester in eine Topologie und Algebra Vorlesung zu setzen, weil diese erst auf einem hohen Abstraktionsniveau aufbauen, das Anfänger noch nicht besitzen.
Kleine Bemerkung an da_bounce: Es ist leider erschreckend, wie wenig Physiker von Mathematik verstehen. Ich würde damit nicht unbedingt hausieren gehen.
Ich wünsche Euch allen einen schönen Abend und gute Nacht.
Konstantin\(\endgroup\)
\(\begingroup\)"Ich muss dem anonymen Schreiber Recht geben. Die Determinanten-Formel kann man aus den Prinzipien der Determinanten-Funktionen herleiten, bzw. motivieren."
Genau das habe ich versucht mit dem Artikel.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\quoteon(kostja)
Es ist leider erschreckend, wie wenig Physiker von Mathematik verstehen.
\quoteoff
Was kennst Du bloß für Physiker, Konstantin ?!
Laß das ja Spock nicht hören ... !
Liebe Grüße, Franz
\(\endgroup\)
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2023-09-22 22:09 U ?
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