Mathematik: Eine Reise durch die Dimensionen
Released by matroid on Di. 03. Juni 2008 17:35:49 [Statistics]
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Mathematik

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In diesem Artikel geht es um verschiedene Dimensionen, wie man damit rechnen kann, wie man sie definieren und wie man sie sich vorstellen kann.

Der Schwerpunkt ist dabei auf die vierte Dimension gesetzt.


Was ist überhaupt die vierte Dimension?


Beginnen wir einfach: Ein Punkt besteht aus 0 Dimensionen. Eine Gerade dagegen ist 1-dimensional. Wie kommt man von einer Gerade auf eine Ebene?

Ganz einfach: Man konstruiert eine Gerade senkrecht zu allen bisherigen Dimensionen, also eine Senkrechte zu der vorhandenen Geraden und fertig ist die Ebene, ein 2-dimensionaler Raum.

Bild

Dies ist ein 2-dimensionales kartesisches Koordinatensystem, wie wir es aus dem Schulunterricht kennen.

Man suche sich nun einen beliebigen Punkt auf dieser Ebene und errichte in diesem Punkt eine Senkrechte auf die Ebene. Ein 3-dimensionaler Raum ist entstanden.

Bild

Obiges Bild ist übrigens eine Projektion eines 3-dimensionalen kartesischen Koordinatensystems auf eine 2-dimensionale Ebene.

Errichtet man nun in einem beliebigen Punkt dieses Raumes eine Senkrechte auf diesen Raum, erhält man einen 4-dimensionalen Hyperraum, den wir uns nicht vorstellen können.

Bild

In obigem Bild ist ein 4-dimensionales kartesisches Koordinatensystem dargestellt.

Befänden wir uns in diesem Raum und hätten geeignete Augen, könnten wir jedes Molekül unserer 3-dimensionalen Welt überblicken (vorausgesetzt, wir könnten so kleine Teilchen erkennen). Wir könnten Gegenstände aus unserem Raum verschwinden und wieder auftauchen lassen, wir könnten linke Schuhe in der vierten Dimension umkehren und zu rechten Schuhen machen und umgekehrt.

Allgemein kann man sagen:

Wenn man zu einem n-dimensionalen Raum eine Senkrechte errichtet, erhält man einen (n+1)-dimensionalen Raum. Befindet man sich in diesem Raum, kann man Gegenstände aus dem n-dimensionalen Raum herausnehmen, "umkehren" und woanders wieder hereinsetzen.

Wie man einen Raum eindeutig definiert

Es gibt genau einen 0-dimensionalen Raum (Punkt), in dem ein beliebiger Punkt P1 liegt. Er ist also durch P1 eindeutig definiert.

Eine Gerade, also ein 1-dimensionaler Raum, ist durch zwei beliebige Punkte P1 und P2 eindeutig definiert.

Um eine Ebene, einen 2-dimensionalen Raum, eindeutig zu definieren, braucht man 3 Punkte, P1, P2 und P3.

Um einen 3-dimensionalen Raum eindeutig zu definieren, braucht man 4 Punkte, P1, P2, P3 und P4.

Um einen 4-dimensionalen Raum eindeutig zu definieren, braucht man 5 Punkte, P1, P2, P3, P4 und P5.

Um einen n-dimensionalen Raum eindeutig zu definieren, braucht man n+1 Punkte.

Bedingung ist aber, dass keine n dieser Punkte in einem gemeinsamen (n-1)-dimensionalen Raum liegen.

Übrigens ist auch ein/eine

a) Durchmesser durch 2 Punkte
b) Kreis durch 3 Punkte
c) Kugel durch 4 Punkte
d) Hyperkugel durch 5 Punkte
e) n-dimensionale Kugel durch n+1 Punkte

eindeutig definiert. Zu diesen Körpern kommen wir aber noch im nächsten Abschnitt.


Beispiele für 4-dimensionale Körper

fed-Code einblenden
Bild

Die 8 Würfel, aus denen ein Hyperkubus besteht

Bild

Das Netz eines Hyperkubus

Eine gerade Strecke AB mit der Länge a entsteht, wenn man einen Punkt B zeichnet, der zu A den Abstand a hat.

Ein ebenes Quadrat ABCD mit der Seitenlänge a entsteht, wenn man eine zu AB parallele Strecke CD mit dem Abstand a zu AB zeichnen, für die AD=BC=a ist.

Ein räumlicher Würfel ABCDEFGH mit der Kantenlänge a entsteht, wenn man eine zu ABCD parallele Ebene EFGH mit AE=BF=CG=DH=a und dem Abstand a zu ABCD erzeugt.

Analog dazu entsteht ein 4-dimensionaler Hyperkubus ABCDEFGHIJKLMNOP mit der Seitenlänge a, wenn man einen zu ABCDEFGH parallelen Raum IJKLMNOP mit dem Abstand a zu ABCDEFGH und AI=BJ=CK=DL=EM=FN=GO=HP=a erzeugt.

Bei jedem dieser Schritte verdoppelt sich die Eckenanzahl des Körpers.


2. Die Hyperkugel

Ein eindimensionaler Kreis (Durchmesser) ist die Menge der beiden Punkte, die auf einer Geraden g liegen und von einem Punkt M auf g den gleichen Abstand r haben. Genauso wie ein Kreis aus der Menge aller Punkten in einer Ebene besteht, die von seinem Mittelpunkt M den gleichen Abstand r haben, also eine linienförmige gekrümmte Außenfläche hat, und außerdem aus unendlich vielen Durchmessern besteht, besteht eine Kugel aus der Menge aller Punkte in einem Raum, die von ihrem Mittelpunkt M den gleichen Abstand r haben. Sie hat eine flächenförmige gekrümmte Oberfläche und besteht aus unendlich vielen Kreisen.

Analog dazu besteht eine Hyperkugel aus der Menge aller Punkt in einem vierdimensionalen Raum, die von ihrem Mittelpunkt M den gleichen Abstand r haben. Sie hat eine 3-dimensionale gekrümmte Oberfläche und besteht aus unendlich vielen Kugeln.


3. Das Hypertetraeder oder 4-Simplex

fed-Code einblenden
Weiteres zum Hypertetraeder:

http://www.mathematische-basteleien.de/hypertetraeder.htm


Gekrümmte Räume

Wie kann man sich gekrümmte Räume vorstellen?

Ein Kreis zum Beispiel ist eine gleichmäßig ins 2-Dimensionale gekrümmte Gerade, eine Kugel eine gleichmäßig ins 3-Dimensionale gekrümmte Ebene. Nach den Gesetzen der Analogie ist also eine Hyperkugel ein gleichmäßig ins 4-Dimensionale gekrümmter Raum.
Graphen nichtlinearer Funktionen sind Beispiele für gekrümmte Geraden. Die Wasseroberfläche des Mittelmeeres ist eine gekrümmte Ebene, denn im Wasser gibt es Wellen. Man kann eine Gerade aber auch ins 3-Dimensionale krümmen. Das passiert mit dem Lasso eines Cowboys, wenn er es schwingt. Allgemein kann man sagen:

Jedes n-dimensionale Objekt kann in einen d-dimensionalen Raum gekrümmt werden, wenn d>n ist.

Projektion

Man kann ein 3-dimensionales Objekt auf eine Ebene im selben Raum, in dem auch das 3-dimensionale Objekt liegt, projizieren, ein 2-dimensionales Objekt lässt sich auf eine Gerade in der selben Ebene, in der auch das 2-dimensionale Objekt liegt, projizieren. Eine Strecke, also ein 1-dimensionales Objekt, auf einer Geraden g lässt sich auf einen beliebigen Punkt auf g projizieren.

Nach den Gesetzen der Analogie lässt sich also ein 4-dimensionales Objekt im 4-dimensionalen Raum R4 auf einen 3-dimensionalen Raum in R4 projizieren.

Allgemein kann man sagen:

Jedes n-dimensionale Objekt im n-dimensionalen Raum Rn lässt sich auf einen (n-1)-dimensionalen Raum innerhalb von Rn projizieren.

Der Eulersche Polyedersatz wird erweitert

Viele kennen die Formel

E-K+F-V=1,

wobei E für die Eckenzahl, K für die Kantenzahl, F für die Flächenzahl und V für die Volumenanzahl eines (3-dimensionalen) Polyeders stehen.

Es sei nun ein d-dimensionales Äquivalent zu einem Polyeder betrachtet, es besteht also aus nichtgekrümmten Begrenzungsräumen. An bezeichne die Anzahl der n-dimensionalen Begrenzungsräume dieses Äquivalents.

Dann ist

fed-Code einblenden

Dies ist der Eulersche Polyedersatz, erweitert auf jeden möglichen d-dimensionalen Raum.

Der Satz des Pythagoras, verallgemeinert auf n Dimensionen

fed-Code einblenden

Wie sieht ein vierdimensionaler Körper aus, wenn man ihn auf eine Ebene projiziert?

Die Antwort dazu liefert dieser Link:
http://www.tan-gram.de
Besonders zu empfehlen ist die Ansicht mit Java.

Schau alternativ dazu hier vorbei.

Muss für einen d-dimensionalen Raum d immer ganzzahlig sein?

Wer sich für d-dimensionale Räume mit fed-Code einblenden interessiert, sollte sich mit diesem Link beschäftigen.

Welcher Dimension gehört die Küste Großbritanniens an?
Was ist mit der Kochkurve, der Mandelbrot- und der Juliamenge?

Der Link liefert die Antwort.

Literatur

Besonders empfehlenswert ist das Buch "Flächenland" (Edwin A. Abbott) sowie die Fortsetzung dazu, das Buch "Silvestergespräche eines Sechsecks" (Dionys Burger). Beide handeln von Polygonen, die in einer Ebene leben und plötzlich mit einem 3-dimensionalen Wesen in Kontakt treten.

Schluss

Ich möchte mich bei allen bedanken, die diesen Artikel gelesen haben. Ich hoffe, er war informativ. Wenn ihr noch etwas dazu sagen wollt, schreibt doch einfach einen Kommentar.

Viele Grüße,

Krischi
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"Mathematik: Eine Reise durch die Dimensionen" | 9 Comments
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Re: Eine Reise durch die Dimensionen
von: kostja am: Di. 03. Juni 2008 18:35:39
\(\begingroup\)
Hallo! Netter Artikel. Vielen Dank.

Aber irgendwie gefällt er mir nicht. Vlt. bin ich zu pessimistisch eingestellt.
kirschi schreibt:
Man suche sich nun einen beliebigen Punkt auf dieser Ebene und errichte in diesem Punkt eine Senkrechte auf die Ebene. Ein 3-dimensionaler Raum ist entstanden.
Aber wie? Wenn es nur die zwei Richtungen gibt.
kirschi schreibt:
Allgemein kann amn sagen:
 
Wenn man zu einem n-dimensionalen Raum eine Senkrechte errichtet, erhält man einen (n+1)-dimensionalen Raum. Befindet man sich in diesem Raum, kann man Gegenstände aus dem n-dimensionalen Raum herausnehmen, "umkehren" und woanders wieder hereinsetzen.
Das hört sich irgendwie zu einfach an.

Gruß Konstantin\(\endgroup\)
 

Re: Eine Reise durch die Dimensionen
von: diluvian am: Di. 03. Juni 2008 21:38:41
\(\begingroup\)
Besonders die Literaturempfehlung "Silvestergespräche eines Sechsecks" finde ich gut. Und genau dort wird es mit dem Herausnehmen und "Umkehren" beschrieben, sehr schön anschaulich (keinesfalls mathematisch).\(\endgroup\)
 

Re: Eine Reise durch die Dimensionen
von: cow_gone_mad am: Mi. 04. Juni 2008 02:26:50
\(\begingroup\)
Ich muss mal dadrauf hinweisen, dass was ich als "vierte" Dimension nichts damit zu tun hat, was normalerweise als "vierte Dimension" bezeichnet wird (Zeit). Das ist naemlich lustigerweise irgendwie was anderes... 😉\(\endgroup\)
 

Re: Eine Reise durch die Dimensionen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 07. Juni 2008 15:21:42
\(\begingroup\)
Hallo Krischi,
hört sich spannend an, ist mir aber eigentlich zu kompliziert, dafür muss man wohl Mathematiker sein, um das nachzuvollziehen; ist nix für normale Menschen 😵\(\endgroup\)
 

Re: Eine Reise durch die Dimensionen
von: Zacharias_Fox am: Fr. 13. Juni 2008 18:25:11
\(\begingroup\)
In diesem Zusammenhang empfehle ich auch das Buch "Flacherland" von Ian Stewart, in gewissem Sinne auch eine Fortsetzung von Flächenland. Hier werden auch viele andere Räume und Geometrien beschrieben, nicht nur euklidische.\(\endgroup\)
 

Re: Eine Reise durch die Dimensionen
von: PeterTheMaster am: Sa. 14. Juni 2008 18:33:27
\(\begingroup\)
irgendwie bleibt mir der sinn dieses artikels verborgen. es wird ja nichtmal der begriff dimension definiert. und warum ist die zeit etwas ganz anderes? fuer mich ist ein verlauf so ziemlich die einzige moeglichkeit, mir etwas vierdimensionales zu veranschaulichen.\(\endgroup\)
 

Re: Eine Reise durch die Dimensionen
von: huepfer am: Sa. 14. Juni 2008 21:26:22
\(\begingroup\)
Hallo Peter,

die Zeit ist deshalb etwas anderes als eine Raumdimension, weil man in ihr prinzipiell nicht rückwärts laufen kann. Man kann sich aber gegebenenfalls durchaus mehr als nur drei Raumdimensionen vorstellen. Das hängt natürlich vom Vorstellungsvermögen ab, was durchaus schwierig ist, da wir zumindest scheinbar in einer dreidimensionalen Welt Leben. Da hilft sowas wie Flächenland, was oben schon angesprochen wurde.

Gruß,
   Felix\(\endgroup\)
 

Re: Eine Reise durch die Dimensionen
von: krischi am: Di. 05. August 2008 13:01:38
\(\begingroup\)
@Zacharias_Fox: Habe ich jetzt gelesen. Ist echt empfehlenswert! Danke für den Tip.\(\endgroup\)
 

Re: Eine Reise durch die Dimensionen
von: Luke am: Fr. 08. August 2008 14:10:35
\(\begingroup\)
"Hallo Krischi,
hört sich spannend an, ist mir aber eigentlich zu kompliziert, dafür muss man wohl Mathematiker sein, um das nachzuvollziehen; ist nix für normale Menschen 😵 "

im gegenteil.

man darf jedenfalls von diesem artikel nicht all zu viel verlangen. das ist mehr gedankenspielerei als tatsaechliche mathematik.
vielleicht kann man es als anregung sehen, sich selbst ein mal gedanken zu machen und besser zu formulieren.

"gesetze der analogie". die werde ich auch beim naechsten induktionsbeweis zitieren. =)
"gilt fuer 1.. also auch fuer alle andern zahlen (gesetze der analogie)".

ausserdem besteht der eindimensionale kreis aus 2 punkten. als "durchmesser" wuerde ich das nicht bezeichnen.
die eindimensionale kreisscheibe ist eine strecke.\(\endgroup\)
 

 
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