Mathematik: Analysis I - §3 Die reellen Zahlen
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Mathematik

\(\begingroup\) da_bounce und FlorianM schreiben:

§3 Die reellen Zahlen

In diesem Artikel wollen wir die reellen Zahlen einführen, damit wir mit ihnen so rechnen können, wie wir es aus der Schule gewöhnt sind. Warum dies sinnvoll ist und was wir davon haben, soll in diesem Artikel deutlich werden. Des Weiteren werden wir einen kleinen Exkurs in die Lineare Algebra vornehmen und euch erklären, warum die Menge der reellen Zahlen einen Körper bildet und was wir unter einem Körper überhaupt verstehen. Dort wird dann auch deutlich werden, warum 1+1 eben nicht immer 2 ist. Weitere wichtige Begriffe in diesem dritten Kapitel sind das Archimedische Axiom und das Vollständigkeitsaxiom. Wir wünschen viel Spaß!


§3 Die reellen Zahlen

\grey\ \big\ Inhalt dieses Artikels: \darkblue\ \big\ 3. Die reellen Zahlen 3.1 Was ist ein Körper? (Kurzer Exkurs in die lineare Algebra) 3.2 Existenz und Eindeutigkeit der reellen Zahlen 3.3 Anordnung 3.4 Vollständigkeit 3.5 Was unterscheidet den Körper der reellen Zahlen von anderen Körpern? 3.6 Lösungen zu den Übungsaufgaben
3.1 Was ist ein Körper? (Kleiner Exkurs in die lineare Algebra) So viel können wir schon verraten: Die Menge der reellen Zahlen bildet einen Körper. Aber was verstehen wir unter einem Körper? Es gibt einige äquivalente Definitionen. Wir wollen zwei anführen. Je nachdem, welche Vorkenntnisse ihr in der Linearen Algebra besitzt, wird euch die eine oder die andere eher zusagen. Um Genaueres über Körper zu erfahren, verweisen wir auf die Grundvorlesung "Lineare Algebra I". 3.1.1 Definition eines Körpers \big\ 1. Definition: Ein Körper ist ein vom Nullring verschiedener kommutativer Ring \(mit Einselement) mit der Eigenschaft, dass jedes Element a!=0 ein \(multiplikativ) Inverses besitzt. Jetzt eine Definition, die man auch ohne Kenntnisse über Ringe oder Ähnliches verstehen kann. \big\ 2. Definition: Ein Tripel (K, +, *), bestehend aus einer Menge K und zwei Verknüpfungen \void\ + und \void\ * \(Addition und Multiplikation) heißt Körper, wenn folgende Axiome erfüllt sind. \big\ \darkblue\ Assoziativität der Addition \forall\ x, y, z\el\ K: (x+y)+z=x+(y+z) \big\ \darkblue\ Kommutativität der Addition \forall\ x, y\el\ K: x+y=y+x \big\ \darkblue\ Existenz eines additiv neutralen Elements \(Nullelement) \exists\ 0\el\ K: \forall\ x\el\ K: x+0=x \big\ \darkblue\ Existenz additiv inverser Elemente Zu jedem x\el\ K existiert ein y mit x+y=0. \stress\ Wir bezeichnen dieses zu einem x\el\ K gehörende y auch mit -x. Weiterhin werden wir die Eindeutigkeit der inversen Elemente zeigen. \big\ \darkblue\ Assoziativität der Multiplikation \forall\ x, y, z\el\ K: (x*y)*z=x*(y*z) \big\ \darkblue\ Kommutativität der Multiplikation \forall\ x, y\el\ K: x*y=y*x \big\ \darkblue\ Existenz eines multiplikativ neutralen Elements \(Einselement) \exists\ 1\el\ K: \forall\ x\el\ K: x*1=x \big\ \darkblue\ Existenz multiplikativ inverser Elemente Zu jedem x\el\ K \\ menge(0) existiert ein y mit x*y=1. \stress\ Wir bezeichnen dieses zu einem x\el\ K \\ menge(0) gehörende Element y auch mit x^(-1). Außerdem müssen wir noch die Eindeutigkeit der inversen Elemente zeigen. \big\ \darkblue\ Distributivgesetze \forall\ x, y, z\el\ K: x*(y+z)=x*y+x*z und (x+y)*z=x*z+y*z Da wir von der Multiplikation axiomatisch schon die Kommutativität gefordert haben, reicht es, array(nur eines)__ der beiden Distributivgesetze zu verlangen, weil sich daraus das andere als Satz____ beweisen lässt, z.B.: (x+y)*z=z*(x+y)=z*x+z*y=x*z+y*z Wir fordern weiter die \big\ \darkblue\ Verschiedenheit der beiden neutralen Elemente 0!=1 \stress\ Kürzer kann man sagen: \stress\ Ein Körper ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen \void\ + \(Addition) und \void\ * \(Multiplikation) mit der Eigenschaft, dass diese Menge mit der Verknüpfung \void\ + und mit der Verknüpfung \void\ * jeweils eine abelsche Gruppe bildet. Des Weiteren sind diese beiden Verknüpfungen durch die Distributivgesetze miteinander verbunden. Hier müssen wir aber etwas aufpassen, wir meinen natürlich, dass (K\\{0},*) eine Gruppe sein soll. Wir schließen hier die Null aus, da die Null kein Inverses besitzt. Weiterhin bedenke, dass 1!=0. 3.1.2 Beispiele für exotische Körper Der kleinste Körper, den man konstruieren kann, ist der Körper, der nur aus den Elementen 1 und 0 besteht. Dabei ist 0 das additiv Inverse und die 1 das multiplikativ Inverse. Diesen Körper nennen wir \IF_2. Hierbei kann man die folgenden Verknüpfungstabellen aufstellen: Zunächst für die Addition: Der Körper F2 Und jetzt noch für die Multiplikation: Der Körper F2 An einer \(und eigentlich an der einzigen) Stelle könntet ihr ins Staunen kommen. Denn warum ist 1+1=0? Brechen jetzt alle Welten zusammen? Denn in der Schule lernt man doch, dass 1+1=2, oder etwa nicht!? Warum das so ist, kann man sich ganz leicht klar machen: Man muss bedenken, dass der Körper nur die Elemente 0 und 1 besitzt. Als Ergebnis von 1+1 kann also nur 1 oder 0 herauskommen. Aber warum ist 1+1=1 nicht möglich? Ganz einfach: Wenn 1+1=1, dann müsste doch 1=0 sein, denn Null ist das additiv neutrale Element. Wir hatten aber zuvor gefordert, dass 1!=0. Also bleibt nur noch 1+1=0. \ \stress\ Anmerkung: Wir müssen etwas aufpassen, denn 1=0 folgt erst, nachdem man die Eindeutigkeit des neutralen Elementes bewiesen hat. Vorher wäre es durchaus denkbar, dass 1 eines von mehreren Nullelementen ist. Auch sprechen wir ständig von dem__ neutralen Element und von dem__ inversen Element. Dass wir dieses dürfen, klären wir weiter unten, wenn wir deren Eindeutigkeit beweisen. Da wir an vielen Stellen die Eindeutigkeit brauchen werden, werden wir diese und noch ein paar andere Dinge zunächst beweisen und dann nochmals ein ausführliches Beispiel anführen. 3.1.3 Folgerungen aus den Körperaxiomen Wir geben nun einige Folgerungen aus den Körperaxiomen, die wir auch beweisen werden. Es ist sehr wichtig, diese für euch trivial erscheinenden Beweise nachzuvollziehen und den Gedankengang zu begreifen. a) Die Null \(das additiv neutrale Element) ist eindeutig bestimmt. b) Das additiv Inverse zu jedem x\el\ K ist eindeutig bestimmt. c) \forall\ x\el\ K: -(-x)=x d) Die Eins \(das multiplikativ neutrale Element) ist eindeutig bestimmt. e) \forall\ x\el\ K \\ menge(0): (x^(-1))^(-1)=x f) \forall\ x\el\ K: x*0=0*x=0 g) In einem Körper K gilt die Nullteilerfreiheit, das heißt x*y=0 =>x=0 \or\ y=0 \big\ Beweise: \big\ a) Die Null (das additiv neutrale Element) ist eindeutig bestimmt. Dies beweist man sehr leicht. Seien einfach 0 und 0' zwei Nullelemente. Wir müssen zeigen, dass 0=0'. Dies ist aber erfüllt, denn zum einen gilt 0+0'=0 \(weil 0' ein Nullelement ist) und zum anderen gilt aber auch 0+0'=0'+0=0' \(wegen der Kommutativität der Addition, und weil 0 ein Nullelement ist). Daraus folgt 0=0'. \big\ b) Das additiv Inverse zu jedem x\el\ K ist eindeutig bestimmt. Auch hier wenden wir denselben Trick wie unter a) an. Wir wählen uns einfach zwei zu x additiv inverse Elemente -x und (-x)'. Nun gilt: (-x)'=(-x)'+0 \(0 ist das additiv neutrale Element) (-x)'=(-x)'+(x+(-x)) \(-x ist additiv invers zu x) (-x)'=((-x)'+x)+(-x) \(Assoziativität) (-x)'=(x+(-x)')+(-x) \(Kommutativität) (-x)'=0+(-x) \((-x)' ist additiv invers zu x) (-x)'=(-x)+0 \(Kommutativität) (-x)'=-x \(0 ist das Nullelement, also das additiv neutrale Element) Also sind auch die additiv Inversen eindeutig bestimmt. \big\ c) \forall\ x\el\K: -(-x)=x Es gilt x+(-x)=0. Dies kann man aber auf zwei verschiedene Arten lesen: Zum einen, dass -x das additive Inverse zu x ist und zum anderen \(wegen der Kommutativität der Addition gilt ja x+(-x)=(-x)+x), dass x das additiv Inverse zu (-x) ist. Insgesamt folgt also -(-x)=x. \big\ d) Die Eins \(das multiplikativ neutrale Element) ist eindeutig bestimmt. Der Beweis erfolgt hier analog wie in a). Seien also 1 und 1' zwei Einselemente. Dann gilt: 1*1'=1 \(weil 1' ein multiplikativ neutrales Element ist) und 1*1'=1' \(weil 1*1'=1'*1, und weil 1 ein Einselement ist) Insgesamt also 1=1', was zu zeigen war. \big\ e) \forall\ x\el\ K \\ menge(0): (x^(-1))^(-1)=x Es gilt bekanntlich x*x^(-1)=1. Auch dies liest man auf zwei Arten: 1.) x^(-1) ist das multiplikativ Inverse zu x oder 2.) x ist das multiplikativ Inverse zu x^(-1). Also: (x^(-1))^(-1)=x \stress\ Die Formulierung "\.das__ multiplikativ Inverse" setzt natürlich bereits voraus, dass dieses Inverse eindeutig bestimmt ist, obwohl wir das noch nicht bewiesen haben. Daher haben wir eine erste Übungsaufgabe für euch: \big\ \red\ Aufgabe 1: Beweise die Eindeutigkeit des multiplikativ inversen Elements. \big\ f) \forall\ x\el\ K: x*0=0*x=0 x*0=x*(0+0)=x*0+x*0 =>0=x*0 und analog: 0*x=(0+0)*x=0*x+0*x => 0=0*x \stress\ Anmerkung: Da bei dem von uns gewählten Axiomensystem jeder Körper eine kommutative multiplikative Verknüpfung besitzt, genügt es hier auch, eine der beiden Gleichungen, etwa 0*x=0 so__ zu beweisen und die andere aus der Kommutativität zu folgern. Überlegt euch die Einzelheiten! Wir erklären diese Beweisidee nochmals: In dem Schritt "x*0=x*(0+0)" haben wir einfach in der Klammer Null addiert; dies ist möglich, da 0+0=0. In dem weiteren Schritt "x*(0+0)=x*0+x*0" haben wir das Distributivgesetz angewendet. Und danach haben wir zu den beiden Seiten der Gleichung x*0=x*0+x*0 das zu x*0 additiv Inverse addiert \(oder anders formuliert, wir haben \|+(-(0*x)) gerechnet). \big\ g) In einem Körper K gilt die Nullteilerfreiheit, das heißt \big\ x*y=0 => x=0 \or\ y=0 Sei zunächst x!=0. Dann existiert das Inverse x^(-1). Also: x^(-1)*x*y=x^(-1)*0 => 1*y=0 => y=0 Analog wenn y!=0. Dies garantiert die Existenz von y^(-1), insgesamt: x*y*y^(-1)=0*y^(-1) => x*1=0 => x=0 Damit haben wir alles gezeigt. Versucht, die Beweise wirklich nachzuvollziehen. Bei Fragen wende man sich gerne per PM an uns! Es ist ein Trugschluss, zu glauben, dass die Beweise in den ersten Semestern nicht wichtig sind. Nur wenn man diese verstanden hat, kann man auch den Stoff richtig verstehen. So meinen wir jedenfalls. Nun nochmal zu einem ausführlichen Beispiel: Wir wollen jetzt einen weiteren Körper konstruieren. Und zwar einen Körper mit den Elementen 0, 1 und \alpha. Dabei sei 1 das Einselement und 0 das Nullelement. Weiterhin ist \alpha!=1, 0. Bevor wir die Verknüpfungstabellen konstruieren, wollen wir einige Dinge beweisen: (a) \alpha^2=1 (b) \alpha +1=0 (c) 1+1=\alpha Beginnen wir: (a) Wie macht man das? Nun, eigentlich wie oben. Wir müssen bedenken, dass das Ergebnis von \alpha^2:=\alpha*\alpha nur 1, 0 oder \alpha sein kann. Dann betrachten wir doch mal, was es heißt, wenn \alpha * \alpha=\alpha. Das würde aber bedeuten, dass \alpha=0 \(wegen der Folgerung f)oder \alpha=1 \(wegen der Folgerung d). Beides haben wir vorher aber ausgeschlossen. Was ist mit \alpha * \alpha=0. Warum ist dies nicht möglich? Dann wäre \alpha=0 \(wegen der Folgerung g), was wir oben ausgeschlossen hatten. Damit bleibt nur noch \alpha^2=1 übrig. Genauso verfahren wir mit den anderen: (b) Wir zeigen, dass \alpha +1=0. Wenn \alpha +1=1, dann wäre \alpha =0, was nicht sein kann. Wenn \alpha +1=\alpha, dann wäre 1=0, was einem Axiom widerspricht. Also bleibt nur noch \alpha +1=0. (c) Wenn 1+1=1, dann wäre 1=0. \blitz Wäre 1+1=0, dann würde mit (b) folgen, dass 1+1=0=\alpha+1 und hieraus \alpha=1, was ebenfalls nicht sein kann. Damit ist alles gezeigt. Die Verknüpfungstabellen sehen also wie folgt aus: Körper mit drei Elementen Körper mit drei Elementen Noch ein paar Erklärungen dazu: Die Additionstabelle sollte euch einleuchten, wenn ihr bedenkt, dass 0 das Nullelement ist, und wenn ihr das oben Bewiesene berücksichtigt. Die unterstrichenen Werte folgen direkt aus \(b) und \(c). Nur der fettgedruckte Wert könnte euch vielleicht ins Grübeln bringen. Aber: Überlegt erstmal in Ruhe, warum dort die Eins stehen muss. Jetzt also nicht weiterlesen, sondern ein paar Minuten oder auch ein paar mehr in euch gehen, nachdenken, und dann sollte euch das selbst klar sein. Wir erklären es dennoch nochmal: Warum ist \alpha + \alpha=\alpha nicht möglich? Klar, sonst wäre \alpha=0. Warum ist \alpha + \alpha =0 nicht möglich? Auch klar, denn mit (b) folgt dann, dass \alpha + \alpha= \alpha +1 und hieraus \alpha=1, was wiederum nicht sein kann. Also bleibt nur noch die Möglichkeit \alpha + \alpha=1 übrig. Nun zur Multiplikationstabelle: Hier müssen wir eigentlich nichts weiter klären. Wir wollen nur darauf hinweisen, dass 1 das Einselement ist. Alles weitere ergibt sich aus (a)-(c). \stress\ Anmerkung: Bei diesem Beispiel hätten wir natürlich noch die Assoziativ\- und Distributivgesetze nachrechnen müssen. Aber das ist eher langweilig und wurde deshalb weggelassen. Aber keine Scheu, probiert es ruhig.
3.2 Existenz und Eindeutigkeit der reellen Zahlen An keiner Stelle haben wir bis jetzt erwähnt, dass so ein Körper der reellen Zahlen überhaupt existieren muss, und wer sagt uns überhaupt, dass dieser eindeutig ist? Vielleicht gibt es ja sogar zwei oder drei oder vielleicht sogar unendlich viele, die gewisse Eigenschaften erfüllen. Die Frage ist doch, was den Körper der reellen Zahlen so einmalig macht. Wenn ihr "Lineare Algebra I" hört, dann werdet ihr auch schon mitbekommen haben, dass die Menge der rationalen Zahlen oder die Menge der komplexen Zahlen ebenfalls einen Körper bilden. Es gibt aber gewisse Axiome, die dort nicht, sondern nur im Körper der reellen Zahlen gelten. Wir kommen hierauf in den nächsten Abschnitten nochmal zu sprechen, indem wir erklären und zusammenfassen werden, was denn nun den Körper der reellen Zahlen von allen anderen Körpern unterscheidet. Nun geben wir zwei Sätze an, die wir nicht beweisen werden. Wir verweisen dazu auf unsere Literaturempfehlungen am Ende des Kapitels. a) \big\ \darkblue\ Der Existenzsatz: Es existiert eine nichtleere Menge M mit zwei Verknüpfungen \void\ + und \void\ * und einer Relation \void\ <, so dass die Körperaxiome \(siehe Abschnitt 3.1 "Was versteht man unter einem Körper"), die Anordnungsaxiome \(siehe Abschnitt 3.3) und das Vollständigkeitsaxiom \(siehe Abschnitt 3.4) erfüllt sind. b) \big\ \darkblue\ Der Eindeutigkeitssatz: Die unter a) genannte Menge ist bis auf Isomorphismen \(bijektive Abbildungen), die mit sämtlichen Axiomen verträglich sind, eindeutig. Wir definieren also: Die in a) und b) genannte und bis auf Isomorphismen eindeutig festgelegte Menge heißt Menge der reellen Zahlen und wird mit \IR bezeichnet. Man kann alle Zahlenmengen, insbesondere die reellen Zahlen, ausgehend von der Mengenlehre herleiten. Dies wird in [1] gemacht und sei jedem Leser ans Herz gelegt. Obwohl wir gleich dazu sagen müssen, dass das Buch nicht für jeden Studenten im ersten Semester geeignet ist. Hebt es euch vielleicht bis zum dritten Semester auf, wenn ihr mit der mathematischen Denk- und Schreibweise noch mehr vertraut seid.
3.3 Anordnung Ein Körper K heißt angeordnet____, wenn es eine Relation auf ihm gibt, welche wir mit < bezeichnen, für welche die folgenden array(3 Anordnungsaxiome)____ gelten: \squaredot \big\ \darkblue\ Trichotomie: Für jedes x\el\ K gilt genau eine der folgenden Aussagen: x=0, x<0, 00, wenn wir auch noch die Relation > einführen; 3.3.1.b wird zeigen, dass 0<-x auch zu x<0 und daher zu 0>x gleichwertig ist). Wir vereinbaren nun, wie eben schon angedeutet, dass wir auch x>0 schreiben, wenn 0. Nun können wir natürlich einige Beispiele für angeordnete Körper angeben. Zum Beispiel sind die rationalen Zahlen und die reellen Zahlen mit der üblichen Kleiner\-Relation angeordnete Körper. (\IC,+,*) dagegen lässt sich nicht zu einem angeordneten Körper machen. Frage an die Leser: Ist der Körper \IF_2 angeordnet? Wenn nicht, wieso nicht? Wenn ja, warum? Tipp: Trichotomie! 3.3.1 Folgerungen aus den Anordnungsaxiomen Auch hier schreiben wir wieder einige Folgerungen und deren Beweise auf. a) \big\ \darkblue\ Transitivität: \big\ \darkblue\ Aus x>y und y>z folgt x>z b) \big\ \darkblue\ x -y<-x c) \big\ \darkblue\ x!=0 <=> x^2>0, insbesondere 1>0 d) \big\ \darkblue\ xy>0 <=> (x>0 und y>0) oder (x<0 und y<0) \big\ \darkblue\ xy<0 <=> (x>0 und y<0) oder (x<0 und y>0) e) \big\ \darkblue\ x>0 <=> x^(-1)>0 f) \big\ \darkblue\ Aus xzy g) \big\ \darkblue\ Aus x^20 und y>0 folgt xy :<=> x-y>0 und dass \forall\ x, y \el\ K gilt x-y:=x+(-y). \big\ Beweise: a) Aus x-y>0 (was nach Definition gleichbedeutend ist mit x>y) und y-z>0 folgt aus der Monotonie der Addition (x-y)+(y-z)>0 <=>x-z>0 <=> x>z. b) x 00<(-x)-(-y) <=> -y < -x c) Bei diesem Beweis verwenden wir \forall\ x\el\ K: x^2=(-x)*(-x). Dies solltet ihr auf jeden Fall versuchen, zu beweisen. Die Behauptung folgt dann sofort aus der Monotonie der Multiplikation, denn x!=0 impliziert wegen der Trichotomie x>0 oder -x>0. Da aber x*x=x^2=(-x)*(-x), folgt in jedem Fall aus der Monotonie der Multiplikation \(mit y=x bzw. y=-x) die Aussage x^2>0. d) Dies folgt direkt aus der Monotonie der Multiplikation. Der Beweis selbst ist aber doch etwas aufwendiger. Ihr solltet euch dran probieren. :) e) Aus (d) folgt \(durch einfache Extraktion) leicht (x>0\and\ y<0) => x*y<0, was \(mit y:=x^(-1)\.) die Voraussetzung__ x>0 und die Annahme__ x^(-1)<0 sofort in x*x^(-1)<0 überführt. Wegen der Definition x*x^(-1)=1 ergibt das den Widerspruch 1<0 zu dem in (c) bewiesenen 1>0 \(Trichotomie). Also müssen wir die Annahme fallen lassen, es gilt daher x^(-1)>=0. Aus x^(-1)=0 würde aber \(nach 3.1.3.f) 1=x*x^(-1)=x*0=0 folgen, was dem Axiom__ 1!=0 widerspricht. Also folgt aus der Trichotomie x^(-1)>0. Die Umkehrung x^(-1)>0=>x>0 beweist man ganz analog. f) Um dies zu beweisen, müssen wir wissen, dass a*(-b)=-(a*b) bzw. (-a)*(-b)=a*b gelten. Es soll euch als Übungsaufgabe überlassen werden, dies zu zeigen, wir geben nur den Beweis von f an: Da x 0 0<-z, folgt nach der Monotonie der Multiplikation: 0<(y-x)(-z)=zx-zy <=> zy0 und y>0 folgt zunächst wegen der Monotonie der Addition x+y>0. Dann gilt zunächst x^2 00 und y+x>0) oder (y-x<0 und y+x<0). Also y-x>0 und damit x3.3.2 Der Betrag (K, +, *, <) sei ein angeordneter Körper. Wir definieren die \big\ \darkblue\ Betragsfunktion \normal\ wie folgt: K->K, abs(x):=cases( x,für x>=0;-x,für x<0) Zum Beispiel ist für K=\IR also abs(2)=abs(-2)=2. Es gibt einige wichtige Eigenschaften des Betrags, die wir nun anführen wollen. a) \forall\ x\el\ K: abs(x)>=0 und abs(x)=0 <=> x=0 b) \forall\ x\el\ K: abs(-x)=abs(x) c) \forall\ x, y\el\ K: abs(xy)=abs(x)*abs(y) d) Dreiecksungleichung: \forall\ x, y\el\ K: abs(x+y)<=abs(x)+abs(y) Diese kann man in einer auch oftmals nützlichen, anderen "Schreibweise" so formulieren: abs(abs(x)-abs(y))<=abs(x-y) \big\ Beweise: a) und b) folgen direkt aus der Definition des Betrags mit Hilfe einer entsprechenden Fallunterscheidung und c) folgt aus dem Teil e) der Folgerungen aus den Anordnungsaxiomen. d) Übungsaufgabe. Tipp: Fallunterscheidungen Weitere Aufgabe an euch: Wie zeigt man abs(abs(x)-abs(y))<=abs(x-y)? Habt ihr selbst genug nachgedacht? Nein, dann nicht weiterlesen. Wenn ja, dann hier die Lösung: Ohne Beschränkung der Allgemeinheit \(dies kürzt man mit o.B.d.A ab und bedeutet so viel, dass wir jenes annehmen können, ohne irgendeinen Fall zu vergessen) können wir annehmen, dass abs(x)>=abs(y) \(da abs(abs(x)-abs(y))=abs(abs(y)-abs(x))). Dann gilt: abs(abs(x)-abs(y))=abs(x)-abs(y)=abs(x-y+y)-abs(y) Nun wenden wir die "normale" Dreiecksungleichung an: abs(x-y+y)-abs(y)<=abs(x-y)+abs(y)-abs(y)=abs(x-y) und da steht es: abs(abs(x)-abs(y))<=abs(x-y) \bigbox
3.4 Vollständigkeit Wir haben gesehen, dass sowohl die Menge der rationalen Zahlen als auch die Menge der reellen Zahlen Körper sind, die beide angeordnet sind. Es muss also etwas geben, was den Körper der reellen Zahlen besonders macht. Was kein anderer Körper besitzt. Denn wir haben in Abschnitt 3.2 ja gerade die Eindeutigkeit gefordert. Zur Charakterisierung benötigen wir also noch ein Axiom. Und das ist das Vollständigkeitsaxiom. Bevor wir dies formulieren können, benötigen wir einige wichtige Definitionen. 3.4.1 Supremum und Infimum \big\ Definition der oberen und unteren Schranke Eine nichtleere Teilmenge A \subsetequal\ K heißt nach (oben beschränkt)____, wenn es eine Zahl M\el\ K gibt mit x<=M \forall\ x\el\ A. Eine solche Zahl M heißt (obere Schranke)____. \boxoff\ Wir müssen natürlich noch erwähnen, dass K eine geordnete__ Menge sein muss. Eine nichtleere Teilmenge A \subsetequal\ K heißt nach (unten beschränkt)____, wenn es eine Zahl m\el\ K gibt mit x>=m \forall\ x\el\ A. Eine solche Zahl m heißt (untere Schranke)____. Eine nicht leere Teilmenge A \subsetequal\ K heißt beschränkt____, wenn sie sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist. Wenn es also m,M\el\K gibt, sodass m<=x<=M \forall\ x\el\ A gilt. Betrachten wir als Beispiel die Teilmenge A:=menge(x\el\ \IQ | x^2<=2) array(von \IQ.) Diese Menge A ist beschränkt. Nach oben z.B. durch M=2, da abs(x)^2=x^2<=2<=4 \forall\ x\el\ A und somit abs(x)<2. sqrt(2) wäre keine obere Schranke, denn sqrt(2)\notel\ \IQ, siehe hierzu Kapitel 2. Eine untere Schranke wäre z.B. m=-2 Nun sieht man ja auch an dem Beispiel, dass es ganz viele obere bzw. untere Schranken einer Menge geben kann. Man interessiert sich aber vor allem für "besondere" Schranken. Nämlich für die kleinste obere Schranke bzw. die größte untere Schranke. Diese haben besondere Namen. Aber bevor wir diese anführen, erstmal eine saubere Definition: Eine Zahl M\el\ K bzw. m\el\ K heißt (kleinste obere)____ bzw. (größte untere)____ Schranke einer nichtleeren Teilmenge A\subsetequal\ K, wenn sie 1.) eine obere bzw. untere Schranke von A ist und es 2.) keine kleinere bzw. größere Schranke von A gibt. Wenn ihr also DIE kleinste obere Schranke bzw. DIE größte untere Schranke angeben sollt, dann müsst ihr zwei Dinge prüfen: Einmal, dass es eine obere bzw. untere Schranke ist und zum anderen, dass es keine kleinere obere bzw. größere untere Schranke gibt. Wie man das am Beispiel macht, werden wir gleich sehen. Dazu muss man zunächst einmal einen geeigneten Kandidaten suchen, mit dem man dann die beiden angegebenen Schritte durchführen kann. Die kleinste obere Schranke einer Teilmenge A\subsetequal\ K nennen wir das \big\ Supremum \normal\ sup|A von A. Die größte untere Schranke einer Teilmenge A\subsetequal\ K nennen wir das \big\ Infimum \normal\ inf|A von A. Das Supremum bzw. Infimum müssen nicht immer zur Menge selbst gehören. Betrachten wir zum Beispiel die Menge A:=menge(x\el\IR | 0=1)\subsetequal\ \IR. Dort wollen wir das Maximum, Supremum, Minimum und Infimum bestimmen, sofern diese überhaupt existieren. \squaredot \big\ Bestimmung des Supremums: Wie geht man an so eine Aufgabe ran? Erstmal kann man ein paar Werte einsetzen. Setzen wir doch einfach mal die kleinstmöglichen x\- und y\-Werte ein. Also x=y=1. Wir erhalten sqrt(1+1)/(1*1)=sqrt(2). Sei nun x=y=2. Es ergibt sich sqrt(2+2)/(2*2)=sqrt(4)/4=2/4=1/2 . Die Werte werden anscheinend bei größeren x und y immer kleiner. Man könnte also vermuten, dass sqrt(2) eine obere Schranke ist. Zeigen wir dies: Es gilt (sqrt(x+y))/(x\.y)=sqrt(1/(x\.y^2)+1/(x^2\.y))<=sqrt(2), denn x, y>=1. Wir wollen nun zeigen, dass es keine kleinere obere Schranke gibt, dass also sqrt(2) die kleinste obere Schranke, sprich das Supremum der Menge ist. Wie weist man dies nach? Nun, nehmen wir einmal an, dass sqrt(2) das Supremum der Menge ist, dann darf es also keine kleinere obere Schranke geben. Sei d>0. Wir müssen zeigen, dass sqrt(2)-d>=(sqrt(x+y))/(x\.y) \(\*) , dabei wäre dann sqrt(2)-d eine kleinere obere Schranke, da wir ja noch von sqrt(2) etwas Positives abziehen. Da dies aber für alle x, y>=1 gelten muss, reicht es, ein Gegenbeispiel anzugeben, für das \(\*) nicht gilt. Sei also x=y=1. Dann folgt: sqrt(2)-d>=sqrt(2) <=> -d>=0 <=> d<=0 \blitz Dies ist ein Widerspruch zu unserer Annahme d>0. Damit haben wir ein Gegenbeispiel konstruiert und gezeigt, dass es keine kleinere obere Schranke als sqrt(2) geben kann. Dass sqrt(2) eine obere Schranke ist, haben wir schon gezeigt. \squaredot \big\ Bestimmung des Maximus: Wir haben oben gesehen, dass sqrt(2) das Supremum der Menge ist. Da es für x=y=1 sogar angenommen wird, gilt max M=sqrt(2). \squaredot \big\ Bestimmung des Infimums: Man könnten durch Einsetzen weiterer Werte für x und y vermuten, dass 0 eine untere Schranke der Menge M ist. Um zu zeigen, dass 0 eine untere Schranke ist, zeigen wir mal, dass Null nicht angenommen werden kann. Denn was folgt aus 0=(sqrt(x+y))/(x*y) \? Es würde sich 0=sqrt(x+y) bzw. x+y=0 <=> y=-x gelten. Wenn jetzt aber x>=1, dann würde y<=-1 folgen, was nicht sein kann, denn nach Voraussetzung ist x, y>=1. Weiterhin gilt natürlich (sqrt(x+y))/(x*y)>0, denn x, y>=1. Wir zeigen nun analog wie beim Supremum, dass es keine größere untere Schranke als 0 geben kann. Oder mit anderen Worten, dass 0 das Infimum der Menge ist. Sei also 00 ist weitere untere Schranke, denn: Für \epsilon>=4 ist dies wegen b:=(sqrt(x+y))/(xy)<=sqrt(2)<4=<=\e klar. Für \epsilon<4 wählen wir x=y=2/\epsilon und erhalten b^2=(x+y)/(x^2 *y^2)=(\epsilon^3)/4=\epsilon^2*\epsilon/4<\epsilon^2. Daraus folgt b<\epsilon und daraus \(insgesamt) inf(M)=0. \squaredot \big\ Bestimmung des Minimums: Wenn es ein Minimum geben sollte, dann muss es das Infimum sein. Oben haben wir aber schon gezeigt, dass 0 nicht angenommen wird. Daher existiert kein Minimum. Fassen wir nochmals zusammen: max M=sup|M=sqrt(2), inf|M=0, min|M existiert nicht. Nun können wir endlich das Vollständigkeitsaxiom formulieren. \big\ Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge A\subsetequal\ K besitzt eine kleinste obere Schranke (Supremum). \big\ Äquivalent dazu: \big\ Jede nichtleere nach unten beschränkte Teilmenge A\subsetequal\ \IR besitzt eine größte untere Schranke (Infimum). Dass die letzte Aussage wirklich zur ersten äquivalent ist, zeigen wir wie folgt: Es gilt x<=a <=> -a<=-x a ist also genau dann kleinste obere Schranke für eine Menge M, wenn -a größte untere Schranke für M^\-:=menge(-x | x\el\ M) ist. Damit haben wir alles gezeigt. 3.4.2 Der Satz des Archimedes Zunächst ein anderer wichtiger Satz: \big\ \darkblue\ Satz: A\subsetequal\ K sei nichtleer. Dann gilt: a) Wenn sup A existiert, so existiert zu jedem \epsilon>0 ein x\el\ A mit x>sup|A-\epsilon \(Das Epsilon ist dabei beliebig klein, es wird uns in Kapitel 4 noch begegnen). b) Wenn sup A nicht existiert, so existiert zu jedem M\el\ K ein x\el\ A mit x>M. \big\ Beweis: a) Wir führen den Beweis indirekt: Wäre x<=sup|A-\epsilon \forall\ x\el\ A, so wäre sup|A-\epsilon eine obere Schranke, die kleiner als sup|A wäre, also noch kleiner als die kleinste obere Schranke. Das ist nicht möglich und genau das ist unser Widerspruch, den wir gesucht haben. Damit folgt die Behauptung. b) Nun existiere sup A nicht. Wäre x<=M \forall\ x\el\ A, dann wäre die Menge A nach oben beschränkt. Aber sup A existiert nicht und das heißt gerade, dass die Menge nicht nach oben beschränkt ist. \big\ \darkblue\ Der Satz von Archimedes: Zu jedem x\el\IR existiert ein n\el\IN mit n>x. Mit anderen Worten: Wir können zu jeder beliebigen reellen Zahl eine natürliche Zahl finden, die größer ist. \big\ Beweis: Wir führen auch hier den Beweis indirekt. Wäre für ein x\el\IR und alle n\el\IN die Ungleichung n<=x erfüllt, dann wäre \IN\subset\ \IR nach oben durch x beschränkt. Nach dem Vollständigkeitsaxiom würde es eine kleinste obere Schranke von \IN geben. Das heißt M:=sup|\IN<=x. Aus dem oben bewiesenen Satz folgt dann mit A:=\IN und \epsilon=1, dass es ein n\el\IN mit sup|A-\epsilon=sup|A-1=M-13.5 Was unterscheidet den Körper der reellen Zahlen von anderen Körpern? Wir wollen diesen Abschnitt nochmal nutzen, um zwischen den verschiedenen Körpern der rationalen Zahlen, der komplexen Zahlen und der reellen Zahlen zu unterscheiden. Die Menge der natürlichen Zahlen bildet keinen Körper, da es z.B. kein multiplikativ inverses Element zu 2 gibt. Daher sind nicht einmal die Körperaxiome erfüllt. Die Menge der rationalen Zahlen bildet zwar einen Körper, da die Körperaxiome erfüllt sind. Dieser Körper ist auch angeordnet, aber nicht vollständig. Die Menge der komplexen Zahlen bildet ebenfalls einen Körper, wie ihr in einer Übungsaufgabe mal nachweisen könnt. Dieser ist aber nicht angeordnet. Nur der Körper der reellen Zahlen erfüllt die Körperaxiome, die Anordnungsaxiome und das Vollständigkeitsaxiom. Das macht ihn so besonders.
3.6 Lösungen zu den Übungsaufgaben \big\ \red\ Lösung zu Aufgabe 1: Beweise die Eindeutigkeit des multiplikativ inversen Elements. Seien x^(-1) und (x^(-1))' zwei multiplikativ inverse Elemente zu einem Element x eines Körpers K. Wir müssen nun zeigen, dass x^(-1)=(x^(-1))'. Dies schließen wir wie folgt: x^(-1)=1*x^(-1) x^(-1)=((x^(-1))'*x)*x^(-1) x^(-1)=(x^(-1))'*(x*x^(-1)) x^(-1)=(x^(-1))'*1 x^(-1)=(x^(-1))' Fragen an die Leser: An welcher Stelle haben wir die Assoziativität ausgenutzt?
Abschluss und Literatur [1] Mengenlehre für den Mathematiker Hiermit wollen wir den dritten Teil beenden. Nun haben wir endlich die reellen Zahlen eingeführt und können damit so umgehen, wie wir es von der Schule her gewohnt sind. Lasst uns noch einen kleinen Ausblick zum vierten Kapitel wagen: Dort wird es um Folgen und um den Grenzwertbegriff bei Folgen gehen. Es wird wieder ein sehr ausführliches Kapitel sein, da der Inhalt sehr wichtig ist. Aber auch dort werden wir die Theorie mit vielen Beispielen untermauern. Seid gespannt. Also bis dahin. Wir wollen uns an dieser Stelle aber noch ganz herzlich bei unseren Testlesern robbe, Wally, Wauzi und fru bedanken, die hervorragende Arbeit geleistet haben. :-)

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-> §1 Einführung und Grundlagen
-> §2 Die Beweisverfahren
-> §3 Die reellen Zahlen
-> §4 Folgen
-> §5 Reihen
-> §6 Grenzwerte und Stetigkeit
-> §7 Differenzierbarkeit
-> §8 Integration
-> §9 Besondere Reihe
-> §10 Funktionenfolgen (Punktweise und gleichmäßige Konvergenz)

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: Mathematik :: Analysis :: Standardbasis :
Analysis I - §3 Die reellen Zahlen [von FlorianM]  
Einführung der reellen Zahlen, Vollständigkeit, Supremum und Infimum werden Begriffe sein.
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"Mathematik: Analysis I - §3 Die reellen Zahlen" | 6 Comments
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Re: Analysis I - §3 Die reellen Zahlen
von: kostja am: Di. 05. August 2008 11:23:00
\(\begingroup\)Hallo! Der Satz des Archimedes ist für die Eindeutigkeit der reellen Zahlen notwendig und fehlt in Eurem "Eindeutigkeitssatz", weil es noch weitere angeordnete vollständige Körper gibt. Eine Konstruktion der reellen Zahlen über Äquivalenzklassen von Cauchyfolgen wäre doch interessant gewesen und hätte auch prima in den Stoff einer Ana I "Vorlesung" gepasst. Dies würde auch gleich einen wichtigen Satz beweisen: Jeder metrische Raum ist vervollständigbar. Übrigens möchte ich in diesem Zusammenhang auch auf die sehr interessanten Artikel zur Konstruktion der (gängigen) Zahlensysteme von Martin verweisen. Dort werden auch unter anderem die reellen Zahlen über Dedekindschnitte konstruiert. Konstantin\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §3 Die reellen Zahlen
von: gaussmath am: Di. 05. August 2008 14:12:31
\(\begingroup\)Hallo, ein sehr schöner Artikel! Was die Cauchyfolgen betrifft, stimme ich kostja zu. Außerdem hätte ich es interessant gefunden, wenn Ihr mehr über die Notwendigkeit/Sinnhaftigkeit des Vollständigkeitsaxioms geschrieben hättet. Viele Grüße Marc \(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §3 Die reellen Zahlen
von: Martin_Infinite am: Di. 05. August 2008 16:24:47
\(\begingroup\)@kostja: jeder vollständig angeordnete körper ist archimedisch, das wurde im artikel auch bewiesen. @florian: gut geschriebener artikel. aber der aspekt der vollständigkeit wird m.E. zu wenig erläutert. vor allem sollte man in einer solchen reihe darauf eingehen, welche konstruktionen und sätze damit erst möglich werden. aber es wird ja noch einige teile geben ;).\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §3 Die reellen Zahlen
von: kostja am: Di. 05. August 2008 17:19:39
\(\begingroup\)Es tut mir Leid, ich habe etwas verwechselt. Die Beispiele an die ich dachte sind leider nicht vollständig. Konstantin\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §3 Die reellen Zahlen
von: FlorianM am: Mi. 06. August 2008 20:00:10
\(\begingroup\)Hallo ihr drei, danke unter anderem für das Lob. Ja, wir haben das mit den Cauchyfolgen nicht gemacht, da diese erst in Kapitel 4 eingeführt werden. Aber für eine Ergänzung, auch was das Thema "Wozu die Vollständigkeit?" angeht, das Martin angesprochen hat, ist ja jeder Zeit noch Platz. Wir werden es also nochmal nachholen, wenn Kapitel 4 zur Verfügung steht. Gruss Florian\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §3 Die reellen Zahlen
von: Euler74 am: Fr. 08. August 2008 20:22:24
\(\begingroup\)Hallo zusammen, schöner Artikel. Das Supremumsprinzip bzw Infimumsprinzip wurde ja ausführlichst beleuchtet. Eine weitere Möglichkeit den Körper der reellen Zahlen einzuführen, wäre mittels sogenannter "Positivitätsbereiche" gewesen und zusammen mit der Anordnung und dem dedekindschen Schnittaxiom. Außerdem, was man hier schon an der Stelle einführen könnte und sollte, ist der Begriff der Dichtheit, zumindest könnte man nachweisen, dass die rationalen und irrationalen Zahlen dicht in den reellen Zahlen liegen. Diese Tatsache braucht man später immer wieder mal. Gruß Euler 74\(\endgroup\)
 

 
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