Mathematik: Der Satz von Cayley-Hamilton: Ein topologischer Beweis
Released by matroid on Mo. 20. Oktober 2008 10:26:51 [Statistics]
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Mathematik

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Der Satz von Cayley-Hamilton: Ein topologischer Beweis

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Siehe auch hier. Wir zeigen im Folgenden:

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Daraus wird dann der Satz von Cayley-Hamilton folgen. Es gibt noch zwei verbreitete Beweise: Einer benutzt adjungierte Matrizen (siehe z.B. Bosch, Lineare Algebra, 6.2/10, oder Gerd Fischer, Lineare Algebra, 4.5.3, oder das ganze abstrakt formuliert im Beweisarchiv von Wikipedia), und im anderen wird benutzt, dass Matrizen über algebraisch abgeschlossenen Körpern trigonalisierbar sind, wo dann eine kleine Induktion zum Ziel führt (siehe z.B. Gerd Fischer, Lineare Algebra, 4.5.3).

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: Determinanten :: Algebra :: Lineare Algebra :: Topologie :: Polynome :: Algebraische Geometrie :: Reine Mathematik :
Der Satz von Cayley-Hamilton: Ein topologischer Beweis [von Martin_Infinite]  
Beweis des Satzes von Cayley-Hamilton durch ein Dichtsheitsargument in der Zariski-Topologie.
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"Mathematik: Der Satz von Cayley-Hamilton: Ein topologischer Beweis" | 11 Comments
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Re: Der Satz von Cayley-Hamilton: Ein topologischer Beweis
von: CyCeVa am: Mo. 20. Oktober 2008 13:49:49
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Sehr netter Beitrag und eine wirklich schoene Idee. Danke Martin!\(\endgroup\)
 

Re: Der Satz von Cayley-Hamilton: Ein topologischer Beweis
von: scorp am: Mo. 20. Oktober 2008 16:56:37
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Hübsch, hübsch. Ist bekannt, von wem diese Idee stammt? (Von dir, aus einer Vorlesung, oder gar Erstniederschrieb ...)

Alex\(\endgroup\)
 

Re: Der Satz von Cayley-Hamilton: Ein topologischer Beweis
von: Martin_Infinite am: Mo. 20. Oktober 2008 17:17:45
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danke.
 
das ist hier eine ausarbeitung/modifikation von
www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=232172
der beweis ist ziemlich sicher folklore ;-).\(\endgroup\)
 

Re: Der Satz von Cayley-Hamilton: Ein topologischer Beweis
von: Patrix am: Sa. 03. Oktober 2009 01:30:13
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Patrick\(\endgroup\)
 

Re: Der Satz von Cayley-Hamilton: Ein topologischer Beweis
von: Martin_Infinite am: Sa. 03. Oktober 2009 01:56:02
\(\begingroup\)
... oder für einen beliebigen körper mit der zariski-topologie argumentieren :). da braucht man dann auch keine konvergenz, sondern nur die topologie.\(\endgroup\)
 

Re: Der Satz von Cayley-Hamilton: Ein topologischer Beweis
von: Hanno am: Sa. 03. Oktober 2009 10:38:50
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Sehr elegant!\(\endgroup\)
 

Re: Der Satz von Cayley-Hamilton: Ein topologischer Beweis
von: Patrix am: Di. 06. Oktober 2009 16:50:11
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gruß
Patrick\(\endgroup\)
 

Re: Der Satz von Cayley-Hamilton: Ein topologischer Beweis
von: Martin_Infinite am: Sa. 11. Juni 2011 12:12:01
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@Patrick: Schöner Beweis. Das Motto ist hier wohl: Gilt eine algebraische Gleichung generisch, so gilt sie überall.\(\endgroup\)
 

Re: Der Satz von Cayley-Hamilton: Ein topologischer Beweis
von: Dune am: Fr. 05. Juli 2013 12:55:14
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Hi Martin,

wirklich schöner Beweis!

Ich frage mich nur gerade, wo du eigentlich die algebraische Abgeschlossenheit des Körpers verwendet hast. Man kann ja über jedem Körper die gemeinsamen Nullstellenmengen von Polynomen als abgeschlossene Mengen einer Topologie auffassen (die man wohl nur im algebraisch abgeschlossenen Fall als Zariski-Topologie bezeichnet). Wäre dein Beweis dann immer noch gültig?


Viele Grüße,
Dune\(\endgroup\)
 

Re: Der Satz von Cayley-Hamilton: Ein topologischer Beweis
von: Martin_Infinite am: Fr. 05. Juli 2013 14:51:47
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Ich brauche, dass jede Matrix mit paarweise verschiedenen Eigenwerten schon diagonalisierbar ist.\(\endgroup\)
 

Re: Der Satz von Cayley-Hamilton: Ein topologischer Beweis
von: Dune am: Fr. 05. Juli 2013 15:14:55
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Verstehe. Danke dir!\(\endgroup\)
 

 
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