Mathematik: Wegen guter Führung entlassen: Gruppen sind frei
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Mathematik

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Gruppenzwang XII

Da sind wir wieder mit dem nächsten Teil der unendlichen Geschichte Gruppenzwang-Reihe. In den letzten Artikeln der Reihe, die nun auch schon wieder ein gutes Jahr zurückliegen, waren der Satz von Schur-Zassenhaus bzw. eine Klassifizierung der Sylowgruppen von Sn und GLn(q) die Highlights. Diesen Artikel will ich dazu nutzen, um euch die so genannten "Freien Gruppen" und die Möglichkeit, Gruppen durch "Erzeugende und Relationen" zu definieren, näherzubringen. Im folgenden Teil möchte ich euch dann wieder ein Highlight, nämlich den Satz von Schreier-Nielsen, und einen - wie ich finde - sehr schönen Beweis desselben präsentieren.

 
Inhalt

  1. Freie Gruppen
  2. Wichtige Eigenschaften freier Gruppen
  3. Präsentationen von Gruppen: Erzeugende und Relationen
  4. Ein Blick über den Tellerrand: Freie Objekte
  5. Abschluss

 
Freie Gruppen

Der Satz von Schreier-Nielsen, der unser Ziel ist, macht eine Aussage über die so genannten "freien Gruppen". Bevor wir über den Satz reden, müssen wir uns also erst einmal Klarheit darüber verschaffen, was freie Gruppen eigentlich sind. Sei S eine beliebige Menge \(durchaus auch die leere oder eine unendliche\). Eine \darkblue array(freie Gruppe über S)__\black ist eine Gruppe F mit S\subseteq\ F und folgender so genannter \darkblue array(universeller Eigenschaft)__\black: Für jede Gruppe G und jede Abbildung f: S\to G existiert genau ein Gruppenhomomorphismus f^^: F\to G, der f^^_\|S = f erfüllt. "Soweit, so unspektakulär" könnte man meinen. Der Kenner sieht jedoch sofort, dass es sich hierbei um eine sehr interessante Eigenschaft handelt. Sie macht aus der Menge S eine Gruppe, die (das werden wir gleich sehen) von S erzeugt wird und in der uns jede beliebige Zuordnung von Elementen von S zu Elementen einer anderen Gruppe G einen Gruppenhomomorphismus induziert. Da ein Homomorphismus ja die Struktur der Gruppe erhalten muss, kann normalerweise nicht einfach beliebig zugeordnet werden. Ein ähnliches Verhalten kennt man bereits: Basen von Vektorräumen haben ein analoges Verhalten: Jede Zuordnung der Vektoren in der Basis zu beliebigen Vektoren in einem anderen Vektorraum induziert genau einen Vektorraumhomomorphismus. Aufgrund dieser Analogie wird in obiger Situation S auch eine \darkblue array(freie Basis von F)__\black genannt. Wir überlegen uns zunächst, dass S ein Erzeugendsystem für jede freie Gruppe über S sein muss: \darkred\ll(1.1)Ist S eine Menge und G frei über S, so ist G=braket(S). \blue\ Beweis: Dazu betrachten wir die von S in F erzeugte Untergruppe U:=braket(S) und bezeichnen mit i die Inklusionsabbildung i: U\hookrightarrow F. Wir werden zeigen, dass aus f\circ\ i=g\circ\ i für jede Gruppe G und beliebige Homomorphismen f,g: F->G bereits f=g folgt. Es ist bekannt, dass diese Eigenschaft zur Surjektivität von i äquivalent ist.^array(\red\ 1\black) Sei also f\circ\ i=g\circ\ i, d.h. f_\|U=g_\|U. Dann gilt insbesondere auch f_\|S=g_\|S, d.h. f=g da ein Homomorphismus aufgrund der universellen Eigenschaft von F eindeutig durch seine Werte in S bestimmt ist. Es gilt also \forall f,g:F\to G: f\circ i=g\circ i=>f=g. Also ist i damit surjektiv, d.h. U=im(i)=F, also F=braket(S) wie behauptet. \blue\ q.e.d. 1 Das hat Martin_Infinite z.B. in seinem Artikel Kategorien 3: Ja Mono Epi Iso bewiesen. Das ist dort Lemma 9. Nun werden wir uns der Frage zuwenden, ob freie Gruppen denn überhaupt existieren, wie sie explizit aussehen und ob sie eindeutig bestimmt sind: \darkred\ll(1.2)Sei S eine beliebige Menge. Dann gilt: \darkred\ll(i)Es gibt ein freies Monoid S^\* über S, d.h. S\subseteq\ S^\* und für jede Abbildung f:S\to M in ein beliebiges Monoid M gibt es genau einen Monoidhomomorphismus f^-: S^\*\to M, der f fortsetzt. \darkred\ll(ii)Es gibt eine freie Gruppe F(S) über S. \darkred\ll(iii)Bis auf einen kanonischen Isomorphismus ist F(S) die einzige solche. Die Konstruktion ist etwas ungewohnt, wenn man sie das erste Mal explizit ausführt. Vorangeschickt sei deshalb die Anschauung, die uns dabei begleitet: Wir definieren eine Gruppe, die von S erzeugt wird, d.h. jedes Element der Gruppe lässt sich irgendwie als s_1^(+-1)*s_2^(+-1)*...*s_k^(+-1) schreiben mit \(nicht notwendigerweise verschiedenen\) Elementen s_i\in\ S. Normalerweise wissen wir nicht, wann zwei solcher Darstellungen dasselbe Element beschreiben, da ja durchaus eine Relation wie s_1^5*s_2^(-3)=1 gelten könnte, mit der man aus einer gegebenen Darstellung eine verschiedene Darstellung desselben Elements gewinnen kann. Jede solche Relation "behindert" uns aber dabei, die universelle Eigenschaft zu erfüllen, da sie einschränkende Bedingungen an Homomorphismen zur Folge hat. Also werden wir versuchen, in der Gruppe F(S) keinerlei Relationen vorkommen zu lassen, die nicht zwangsläufig sein müssen \(also sowas wie (s^(-1))^(-1)=s und (st)^(-1)=t^(-1)\.s^(-1) etc.\). \blue\ Beweis von \ref(i) Diesen Gedanken im Hinterkopf verfahren wir wie folgt: Wir definieren zunächst einmal, was ein \darkblue\ Wort__\black über dem Alphabet S ist, wobei S eine beliebige Menge sei. Ein Wort ist eine endliche Folge von Elementen aus S, d.h. ein Element von S^\*:=union(S^n,n\in\IN,opimg(*)). Dabei ist das leere Wort \(n=0\) explizit zugelassen. Im Kontext freier Gruppen \(oder etwa der Informatik auch\) wird solch ein Wort, welches ja ein Tupel (s_1, s_2, ..., s_n) ist, einfach ohne Klammern und Kommata als s_1\.s_2\....\.s_n geschrieben. Das leere Wort bezeichnen wir vorerst mit \eps. Wir unterscheiden hierbei auch nicht zwischen den Elementen von S und den 1-Tupeln aus S^1, d.h. wir identifizieren S mit einer Teilmenge von S^\*. Auf S^\* ist dann bereits eine assoziative Operation definiert durch das Hintereinanderschreiben \("Konkatenation"\) von Wörtern: s_1\....\.s_n*t_1\....\.t_m:=s_1\....\.s_n\.t_1\....\.t_m s_1\....\.s_n*\eps:=\eps*s_1\....\.s_n:=s_1\....\.s_n \eps*\eps:=\eps Das dies assoziativ ist, sieht man leicht ein. Man sieht an der Definition auch sofort, dass \eps hier die Rolle des neutralen Elements einnimmt. Wir haben damit ein Monoid gefunden, das von S erzeugt wird und in dem jedes Element eine eindeutige__ Darstellung als Produkt von Elementen aus S hat. \(\eps ist einfach ein leeres Produkt\). Das sieht doch schon verlockend aus. Schauen wir, ob dieses S^\* die universelle Eigenschaft erfüllt. Sei f:S\to\ M beliebig. Wir definieren f^- auf S^\*, indem wir f^-(\eps):=1, f^-(s):=f(s) für s\in\ S und f^-(s_1*...*s_n):=f(s_1)*...*f(s_n) definieren. Da in M diese Produktdarstellungen eindeutig sind, ergibt sich hier kein Problem mit der Wohldefiniertheit. Außerdem sieht man sofort, dass es sich um einen Homomorphismus zwischen Monoiden handelt. Umgekehrt muss natürlich jeder Homomorphismus der f^-(s)=f(s) für alle s\in\ S erfüllen will, diese sein. \blue\ Beweis von \ref(ii) Natürlich kann es in S^\* keine Inversen außer \eps^(-1)=\eps geben, da die Länge jedes Wortes beim multiplizieren nur anwachsen kann. Wir führen also "künstlich" Inverse ein. Wir betrachten ein Menge S', die zu S gleichmächtig, aber disjunkt zu S ist. Wir fixieren ein Bijektion zwischen diesen Mengen und schreiben vorerst s' für das zu s\in\ S gehörige Element von S'. Dieses s' wird die Rolle des Inversen von s einnehmen. Wir nutzen die Notation gleich so, als ob wir das schon wüssten, indem wir nämlich festlegen, dass auch die umgekehrte Bijektion auch mit ' bezeichnet werde, d.h. s=(s')' für alle s\in\ S. Nun kommt der schwierige Teil: Wir müssen dafür sorgen, dass alle Eigenschaften inverser Elemente erfüllt sind, dürfen aber keine unnötigen Relationen zwischen den Elementen einführen. Dafür definieren wir eine Äquivalenzrelation ~ auf dem freien Monoid M=(S\union S')^\* wie folgt: Zwei Worte y und z seien äquivalent, wenn es eine Folge von Worten y=x_0, x_1, ..., x_m=z gibt, sodass stets x_(i+1)=w*cc'*w^- und x_i=w*w^- oder umgekehrt für geeignete Worte w, w^-\in\ M und einen Buchstaben c\in\ S\union S' gilt. Das heißt y geht aus z hervor durch Einfügen und Streichen von Paarungen der Gestalt cc'. Dies ist tatsächlich eine Äquivalenzrelation, davon kann man sich einfach überzeugen. Reflexivität und Symmetrie sind durch die Definition bereits gesichert, die Transitivität folgt auch leicht durch "Zusammensetzen" geeigneter Folgen. Weiter gilt aber, dass diese Relation mit der Multiplikation im freien Monoid verträglich ist: Ist y~y^- und z~z^-, so ist auch y*z~(y*z)^-. Das folgt sehr einfach aus (w*cc'*w^-)*z=w*cc'*(w^-*z)~w*(w^-*z)=(w*w^-)*z. Damit ist also eine assoziative Operation auf F(S):=M\/~ gegeben: [y]*[z]:=[y*z] Die Äquivalenzklasse [\eps] fungiert als neutrales Element und [c_1*...*c_n]^(-1)=[c'_n*...*c'_1] \(c_i\in S\union\ S'\) ist jeweils das inverse Element, da c_1\....\.c_n*c'_n\....\.c'_1~c_1\....\.c_(n-1)*c'_(n-1)\....\.c'_1~...~c_1*c'_1~\eps gilt. F(S) ist also eine Gruppe und sie wird offenbar von menge([s] | s\in\ S) erzeugt. Diese Menge werden wir gleich noch mit S identifizeren. Es bleibt, die universelle Eigenschaft nachzuprüfen: Sei f: S\to G eine beliebige Abbildung. Gibt es eine Fortsetzung zu einem Gruppenhomomorphismus f^^: F(S)\to G, so ist diese natürlich durch ihre Werte auf dem Erzeugendsystem menge([s] | s\in\ S) festgelegt. Das zeigt die Eindeutigkeit. Die Existenz folgt in zwei Schritten: Zunächst setzen wir f zu f^-: M\to G fort. Das geht, indem wir die universelle Eigenschaft von M ausnutzen und f^- als Fortsetzung von s\mapsto\ f(s) und s'\mapsto f(s)^(-1) definieren. Da G eine Gruppe ist, ist f^- mit der Äquivalenz verträglich: f^-(w*cc'*w^~)=f^-(w)*f^-(c)*f^-(c')*f^-(w^~)=f^-(w)*f^-(c)*f^-(c)^(-1)*f^-(w^~)=f^-(w*w^~), d.h. y~z => f^-(y)=f^-(z). Das wiederum sagt uns, dass f^^([y]):=f^-(y) ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus F(S)\to G ist. Es ist also auch die Existenz gegeben. Da dies für jede__ Abbildung S->G funktioniert, sind insbesondere die Elemente menge([s] | s\in\ S)\subseteq\ F(S) alle voneinander verschieden, denn für s!=s' finden wir eine Abbildung S->\IZ\/2\IZ, die auf s und s'!=s verschiedene Werte annimmt. Diese setzen wir auf F(S) fort, dann nehmen sind auch die Bilder von [s] und [s'] verschieden, also sind auch [s] und [s'] verschieden. Wir identifizieren daher S mit menge([s] | s\in\ S)\subseteq F(S) und haben damit auch die letzte Bedingung S\subseteq\ F(S) erzwungen. \blue\ Beweis von \ref(iii): Das wiederum ist sehr viel einfacher: Seien F_1 und F_2 zwei freie Gruppen über S. Da S\subseteq\ F_1 und S\subseteq\ F_2 gibt es Homomorphismen f: F_1\to F_2 und g: F_2\to F_1, die f_\|S=g_\|S=id_S erfüllen. Es gilt damit auch (f\circ g)_\|S=id_S, d.h. f\circ\ g: F_1\to F_1 ist ein Homomorphismus, der auf S die Identität ist. Dieser Homomorphismus ist nun aber eindeutig laut universeller Eigenschaft und id_(F_1) ist selbst ein solcher. Daraus folgt, dass f\circ\ g=id_(F_1) sein muss. Analog ist auch g\circ\ f=id_(F_2), sodass f und g zueinander inverse Gruppenhomomorphismen sind => F_1~=F_2 wie behauptet. \blue\ q.e.d. Es sei auch einmal festgehalten, was eigentlich passiert, wenn S die leere Menge ist. Dann enthält M nur einziges Wort, nämlich das leere Wort. Auch F(S) ist dann einelementig. Die triviale Gruppe ist also auch eine freie Gruppe. Die Homomorphismen, die durch die universelle Eigenschaft bestimmt sind, sind uns ebenfalls bestens bekannt: Es sind die trivialen Homomorphismen {1}-> G, die einfach 1 auf 1 abbilden. Für jedes G ist dieser Homomorphismus natürlich eindeutig bestimmt. Wir haben also schon ein bekanntes Phänomen hier eingeordnet. Eine weitere uns bestens bekannte Gruppe ist frei: Die ganzen Zahlen sind isomorph zu F(S) für diejenigen S, die genau ein Element haben. Das sieht man dadurch, dass man die universelle Eigenschaft für \IZ nachprüft, etwa mit S={1}. Jede Abbildung von {1} in eine Gruppe G besteht aus der Wahl eines Gruppenelements g\in\ G. Ein Homomorphismus, der 1\mapsto g fortsetzen will, muss natürlich k=1+1+...\mapsto g*g*...||=g^k erfüllen, d.h. der Homomorphismus k\mapsto g^k ist die eindeutig bestimmte Fortsetzung. Damit ist \IZ als freie Gruppe über {1} erkannt.

 
Wichtige Eigenschaften freier Gruppen

Die universelle Eigenschaft von F(S) hat einige sehr nützliche Konsequenzen und macht das Arbeiten mit freien Gruppen sehr bequem, wie man an folgendem Satz gut sieht: \darkred\ll(2.1)Für zwei Mengen S und T gilt: \darkred\ll(i)F(S)~=F(T) genau dann, wenn abs(S)=abs(T) \darkred\ll(ii)F(S) ist abelsch genau dann, wenn \abs(S)<=1 \blue\ Beweis von \ref(i): Gibt es eine Bijektion \sigma: S\to T mit Inverser \tau: T\to S, so ist der induzierte Homomorphismus \sigma^^: F(S)\to F(T) ein Isomorphismus, denn für \tau^^: F(T)\to F(S) gilt: (\tau^^\circ\sigma^^)_\|S=id_S => \tau^^\circ\sigma^^=id_(F(S)) und analog (\sigma^^\circ\tau^^)_\|T=id_T => \sigma^^\circ\tau^^=id_(F(T)) d.h. \sigma^^ und \tau^^ sind zueinander inverse Isomorphismen zwischen F(T) und F(S). Für die umgekehrte Richtung stellen wir zuerst fest, was abs(F(S)) ist. Ist abs(S)<=\kappa für eine unendliche Kardinalzahl \kappa, so ist auch abs(S^n)<=\kappa^n=\kappa und abs(M)=abs(union(S^n,n\in\IN))<=abs(\IN)*\kappa=\kappa. => abs(F(S))=abs(M\/~)<=abs(M)<=\kappa. Für S=\0 haben wir bereits abs(F(S))=1 festgestellt. Ansonsten gibt es eine Abbildung S\to{1}, sodass es einen Gruppenhomomorphimus F(S)->\IZ gibt. Da 1 ein Erzeuger von \IZ ist, ist dieser surjektiv, d.h. abs(F(S))>=abs(\IZ)=abs(\IN). Für endliches S gilt also abs(F(S))=cases(1,S=\0;abs(\IN),sonst). Ist S unendlich, so gilt abs(S)<=abs(F(S)), da S\subseteq\ F(S), d.h. wir haben in diesem Fall abs(S)<=abs(F(S))<=abs(S), also abs(F(S))=abs(S). Nun können wir uns der umgekehrten Richtung der Aussage widmen. Es ist abs(F(S))=abs(F(T)). Ist dies überabzählbar, so wissen wir damit sofort abs(S)=abs(T). Sind F(S) und F(T) höchstens abzählbar, so betrachten wir die Gruppenhomomorphismen. Es gibt genau 2^abs(S) Abbildungen S\to \IZ_2, also gibt es auch genausoviele Gruppenhomomorphismen F(S)\to\IZ_2. Ebenso gibt es 2^abs(T) Gruppenhomomorphismen F(T)\to\IZ_2. Da F(S)~=F(T) gilt, muss also 2^abs(S)=2^abs(T) gelten. Das ist endlich genau dann, wenn abs(S)=abs(T) endlich ist. Das ist unendlich genau dann, wenn der letzte übriggebliebene Fall abs(S)=abs(\IN)=abs(T) eintritt. Damit ist die Aussage bewiesen. \blue\ q.e.d. \blue\ Beweis von \ref(ii): Dass F(S) für abs(S)<=1 abelsch ist, haben wir bereits gesehen. Dass es sonst nicht abelsch ist, folgt daraus, dass wir für abs(S)>=2 eine surjektive Abbildung f: S\to menge((12),(23))\subseteq\ S_3 finden können, etwa f(s)=(12) und f(s')=(23). Dann liefert die universelle Eigenschaft einen Homomorphismus F(S)\to S_3. Da (12) und (23) nicht miteinander kommutieren, können bereits s und s' nicht miteinander kommutieren. Da das für jedes Paar s!=s'\in\ S funktioniert, erhält man damit sogar, dass alle Elemente von S paarweise nicht miteinander kommutieren. \blue\ q.e.d. Eine wichtige Frage ist für uns noch zu klären: Wenn ich eine Teilmenge S von einer Gruppe F habe, wie kann ich dann feststellen, ob S eine freie Basis von F ist? Die Antwort darauf werden wir im Folgenden erarbeiten. Ein notwendiges Kriterium ist natürlich, dass braket(S)=F und dass S\cut\ S^(-1)=\0 sein muss, denn die universelle Eigenschaft freier Gruppen impliziert beides. \small\(Man betrachte den Homomorphismus f^^: F(S)\to\IZ, alle s auf 1 abbildet. Dann ist f^^(s^(-1))=-f^^(s)=-1!=1=f^^(s') also s^(-1)!=s' für alle s'\in\ S. Daraus folgt S\cut\ S^(-1)=\0 in F(S).\) Gut, das kann man beides noch vergleichsweise "einfach" überprüfen. Aber wie macht man weiter? Es geht wieder darum, dass wir sicherstellen müssen, dass mehr als die unbedingt notwendigen Relationen zwischen den Elementen von S nicht gelten können. Dazu werden wir über "reduzierte Worte" reden. Ein Wort t_1*...*t_n \in(S\union\ S^(-1))^\* heißt \darkblue\ reduziert__\black, falls alle t_i\in\ S\union\ S^(-1) sind und stets t_i!=t||array(\small\ -1;i\+1\normal) gilt. \darkred\ll(2.2)Sei S eine beliebige Menge. Dann hat jede Äquivalenzklasse in F(S) enthält genau ein reduziertes Wort als Vertreter \blue\ Beweis: Sei x=t_1*...*t_n\in(S\union\ S^(-1))^\* ein Wort, das in seiner Äquivalenzklasse minimale Länge hat. Dann ist x reduziert, denn gäbe es ein i mit t_i=t||array(\small\ -1;i\+1\normal), so wäre x~t_1*...*t_(i-1)*t_(i+2)*...*t_n, d.h. x wäre doch nicht von minimaler Länge. Setze nun X:=menge(w\in\ (S\union\ S^(-1))^\* | w ist reduziert). Wir betrachten nun für jedes t\in\ S\union\ S^(-1) die Abbildung \phi_t: X\to\ X, die \eps auf t und ein nichtleeres Wort nach der Vorschrift t_1*t_2...*t_n\mapsto\ cases(t*t_1*...*t_n,t!=t_1^(-1);t_2*...*t_n,t=t_1^(-1)) abbildet. Offenbar ist dies wirklich eine Abbildung, die aus reduzierten Wörtern wieder reduzierte Wörter macht. Außerdem sieht man sofort ein, dass \phi_t\circ\phi_(t^(-1))=\phi_(t^(-1))\circ\phi_t=id_X ist, d.h. \phi_t\in\ Sym(X). Wir bekommen aus der universellen Eigenschaft einen Monoidhomomorphismus \phi: (S\union\ S^(-1))^\*\to\ Sym(X), der t auf \phi_t abbildet. Da wir in eine Gruppe abbilden, ist \phi konstant auf den Äquivalenzklassen von F(S), d.h. x~y => \phi_x=\phi_y. Ist nun x=t_1*...*t_n ein x reduziertes Wort, so gilt: \align\phi_x(\eps)><=(\phi_t_1\circ...\circ\phi_t_n)(\eps) ><=(\phi_t_1\circ...\circ\phi_t_(n-1))(t_n) ><=(\phi_t_1\circ...\circ\phi_t_(n-2))(t_(n-1)*t_n) ><=... ><=\phi_t_1(t_2*...*t_n) ><=t_1*t_2*...*t_n ><=x \stopalign da x eben reduziert ist. Insbesondere folgt daraus, dass es in jeder Äquivalenzklasse genau ein reduziertes Wort als Vertreter gibt, da x~y => x=\phi_x(\eps)=\phi_y(\eps)=y. \blue\ q.e.d. Man identifiziert daher oftmals F(S) mit der Menge aller reduzierten Wörter. Die Gruppenverknüpfung in F(S) lässt sich dann anschaulich so beschreiben: Nimm zwei reduzierte Wörter, schreibe sie nebeneinander und kürze alles, was möglich ist, bis du wieder ein reduziertes Wort erhälst. Nun aber zurück zur eigentlichen Frage: \darkred\ll(2.3)Sei G eine Gruppe, S\subseteq\ G mit S\cut\ S^(-1)=\0. Bezeichne mit \phi den Auswertungshomomorphismus (S\union\ S^(-1))^\*\to\ G, der jedem Wort über S\union\ S^(-1) das Element von G zuordnet, welches durch dieses Wort dargestellt wird. Äquivalent sind dann: \darkred\ll(i)braket(S)<=G ist frei über S \darkred\ll(ii)\phi ist injektiv auf den reduzierten Wörtern \darkred\ll(iii)\eps ist das einzige reduzierte Wort, welches \phi(x)=1 erfüllt. \blue\ Beweis: Da wir in eine Gruppe abbilden, ist \phi wieder auf den Klassen von F(S) konstant, d.h. \psi: F(S)\to G, [w]\mapsto\phi(w) ist ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus. Das Bild von \psi ist nach Definition genau braket(S). Aus \ref(ii) und \ref(iii) folgt, dass \psi auch injektiv ist: Ist [w]\in\ker(\psi), so wählen wir das reduzierte Wort x\in[w] aus. Dann ist 1=\psi([x])=\phi(x), nach Voraussetzung also x=\eps => [w]=1. Also ist \psi ein Gruppenisomorphismus. Die freie Basis S\subseteq\ F(S) wird dabei identisch auf S\subseteq\ G abgebildet, d.h. S ist eine freie Basis von braket(S). Der Satz \ref(2.2) zeigt uns, dass umgekehrt die Bedingungen \ref(ii) und \ref(iii) in einer freien Gruppe erfüllt sind. \blue\ q.e.d. Wir wollen den Satz nutzen, um zu zeigen, dass S:=menge(x^n*y*x^(-n) | n\in\IN)\subseteq\ F({x,y}) eine freie Basis für die Untergruppe H:=braket(S) ist. Das erscheint erstmal überraschend, denn \ref(2.1(i)) sagt uns ja, dass jede freie Basis von F({x,y}) genau zwei Elemente hat. Dass eine \(echte\) Untergruppe eine freie Basis mit mehr, sogar mit unendlich vielen Elementen haben kann, kommt zumindest auf den ersten Blick etwas unerwartet. Es ist aber trotzdem richtig. Betrachten wir dazu eine abzählbare Menge T=menge(t_n | n\in\IN) und ein reduziertes Wort w=u_1*...*u_m\in(T\union\ T^(-1))^\*. Dabei nehmen wir gleich an, wir hätten w so zusammengefasst, dass u_i=t||array(\small\ k_i;n_i\normal) für geeignete k_i\in\IZ\\{0\}, n_i\in\IN ist. Betrachte dann den Auswertungshomomorphismus \phi: t_n\mapsto\ x^n*y*x^(-n). Dann gilt: \align\phi(w)><=\phi(u_1)*...*\phi(u_m) ><=(x^(n_1)*y^(k_1)*x^(-n_1))*(x^(n_2)*y^(k_2)*x^(-n_2))*...*(x^(n_m)*y^(k_m)*x^(-n_m)) ><=x^(n_1)*y^(k_1)*x^(-n_1+n_2)*y^(k_2)*x^(-n_2+n_3)*...*y^(k_(m-1))*x^(-n_(m-1)+n_m)*y^(k_m)*x^(-n_m) \stopalign Da w reduziert, also n_i!=n_(i+1) ist, sind die x^(-n_i+n_(i+1)) also !=1. Ebenso sind die y^(k_i)!=1, da kein k_i=0 ist. Damit ist dieses Wort reduziert. Insbesondere sind die Exponenten n_1, k_1, -n_1+n_2, k_2, -n_2+n_3, ..., k_(m-1), -n_(m-1)+n_m, k_m, n_m eindeutig durch \phi(w) bestimmt. Also lässt sich w aus \phi(w) rekonstruieren, \phi ist injektiv auf den reduzierten Wörtern und H damit wie behauptete eine freie Gruppe mit abzählbarer freier Basis. Wir haben damit eine Untergruppe einer freien Gruppe gefunden, die selbst frei ist. Der Satz von Schreier-Nielsen, auf den wir ja hinarbeiten, hätte uns gesagt, dass das überhaupt nicht überraschend ist, denn in der Tat ist jede Untergruppe einer freien Gruppe selbst eine freie Gruppe. Das werden wir allerdings erst im nächsten Artikel beweisen können. Erstmal möchte ich noch etwas zum Vorkommen von freien Gruppen "in der freien Natur" erläutern.

 
Präsentationen von Gruppen: Erzeuger und Relationen

Freie Gruppe kann man nicht nur nutzen, um eine Gruppe zu erzeugen, die von einer vorgegebenen Menge erzeugt wird und gar keine (nicht aus den Gruppenaxiomen folgenden) Relationen zwischen den Erzeugern hat. Man kann sie auch nutzen, um sich Gruppen zu beschaffen, in denen beliebige, vorgegebene Relationen gelten. Man kann noch weiter gehen und folgendes beweisen: \darkred\ll(3.1)Jede Gruppe ist Faktorgruppe einer freien Gruppe. \blue\ Beweis: Sei S ein Erzeugendsystem von G \(im Zweifelsfalle G selbst\). Dann induziert id_S: S\to\ G einen surjektiven Gruppenhomomorphismus \phi: F(S)\to\ G, d.h. G~=F(S)\/ker \phi. \blue\ q.e.d. Wir können also jede Gruppe als Faktorgruppe einer freien Gruppe darstellen. Faktorgruppen von freien Gruppen ermöglichen es uns weiterhin, Gruppen zu konstruieren, in denen wir die Gültigkeit gewisser Relationen "erzwingen" können: Sei S eine beliebige Menge und R\subseteq\ (S\union\ S^(-1))^\* eine Menge von Worten. Bezeichne <> den von R erzeugten Normalteiler von F(S), d.h. <>:=cut(N,array(N<|F(S);R\subseteq\ N)). Die Gruppe G:=braket(S,R):=F(S)\/<> wird dann von S^- erzeugt und für jedes Wort s_1^(+-1)*...*s_n^(+-1)\in\ R gilt in G: (s_1)^-^(+-1)*...*(s_n)^-^(+-1)=1. Wir haben also eine Gruppe mit vorgegebenen Erzeugern und Relationen gefunden. Wir haben sogar eine "universelle" Gruppe mit dieser Eigenschaft gefunden: Ist G^~ eine weitere Gruppe, die von einer zu S^- gleichmächtigen Menge S^~ erzeugt wird, sodass zu jedem Wort s_1^(+-1)*...*s_n^(+-1)\in\ R das zugehörige Element s^~_1^(+-1)*...*s^~_n^(+-1)\in\ G^~ gleich 1 ist, dann gibt es einen Homomorphismus G\to\ G^~, der jedes s^-\in\ S^- auf das zugehörige s^~\in\ S^~ abbildet. Das liegt natürlich an der universellen Eigenschaft von F(S) und daran, dass <> der kleinste Normalteiler war, der R enthält. Der Satz eben sagt uns, dass wir in der Tat jede Gruppe auf diese Weise beschreiben können. So ist etwa F(S)=braket(S,\0), 1=braket(\0,\0) und \IZ~=braket(s,\0) als Spezialfall davon. \IZ_n~=braket(s,s^n) D_n~=braket(s\,r,s^2 \, r^n \, srs^(-1)\.r) Dabei sagt natürlich niemand, dass so eine Präsentation einer Gruppe mit einem endlichen S oder R auskommen muss. Ist jedoch eine Präsentation mit endlichem S möglich, so nennt man G bekanntlich "endlich erzeugt". Ist sogar eine Präsentation mit endlichem S und endlichem R möglich, so nennt man G \darkblue array(endlich präsentiert)__\black. Ob so eine Beschreibung einer Gruppe mit Erzeugern und Relationen auch sinnvoll ist, hängt natürlich vom konkreten Problem ab. Die symmetrischen Gruppen etwa wird man in fast jeder Anwendung als Gruppe von Abbildungen beschreiben wollen und nicht durch eine Präsentation. Es gibt jedoch eine wesentliche Einschränkung: Wir können erzwingen, dass bestimmte Gleichungen gelten. Die Gültigkeit von Ungleichungen können wir jedoch nicht erzwingen. So ist in obiger Präsentation von D_n zwar s^2=1 gesichert, ob die Ordnung von s jedoch wirklich 2 oder vielleicht doch nur 1 ist, kann man nicht ohne Weiteres ablesen. So ist beispielsweise die Gruppe braket(a\,b,ab^2\.a^(-1)=b^3 \, ba^2\.b^(-1)=a^3) trivial, auch wenn man dies nicht auf den ersten Blick sieht. In der Tat steckt da eine echte Schwierigkeit dahinter. Zu erkennen, ob eine gegebene Präsentation die triviale Gruppe beschreibt oder nicht, ist z.B. ein algorithmisch nicht lösbares Problem. Eine Reihe von verwandten Problem wird damit ebenfalls algorithmisch unlösbar: Etwa das \darkblue\ Wortproblem__\black, das die Frage stellt, ob ein beliebig gegebenes Wort das neutrale Element beschreibt. Für einige Typen von Gruppen gibt es natürlich sehr wohl einen Algorithmus, für allgemeine Gruppen jedoch nicht.

 
Ein Blick über den Tellerrand: Freie Objekte

"Freie Objekte" sind gar nicht so selten in der Mathematik. Wir haben schon festgestellt, dass beispielsweise K-Vektorräume bzgl. jeder ihrer Basen eine ganz analoge universelle Eigenschaft für K-Vektorräume statt für Gruppen erfüllen. Auch das Monoid M, welches wir in (1.2) konstruiert haben, erfüllt eine solche universelle Eigenschaft für Monoide und wurde von uns deshalb auch bereits als freies Monoid bezeichnet. Zumindest der Vollständigkeit halber möchte ich eine allgemeine Definition freier Objekte angeben: Sei \stress\ C\normal eine Kategorie, die konkret ist, d.h. für die ein treuer Funktor \calV:\stress\ C\normal\ \to\stress\ Set\normal existiert. Ist \calF: \stress\ Set\normal\ \to\stress\ C\normal linksadjungiert zu \calV, so heißt das Objekt \calF(D) freies \stress\ C\normal\-Objekt über D. Etwas entdröselt sagt die Definition Folgendes: \calF(D)\in\stress\ C\normal ist frei über D\in\stress\ Set\normal, falls es für jedes Objekt C\in\stress\ C\normal eine natürliche Bijektion zwischen den \stress\ C\normal\-Morphismus \calF(D)\to\ C und den Abbildungen D\to\calV(C) gibt: Mor_array(\stress\ C\normal)(\calF(D),C)<->Abb(D,\calV(C)) Viele weitere Beispiel sind unter anderen Namen ebenfalls bereits bekannt: So ist der Polynomring \IZ[X] für jede Menge von Unbestimmten X ein freies Objekt über X in der Kategorie der Ringe mit 1. Wir schauen uns einmal an, wie der Freie Funktor \calF genau aussieht, wenn man für \stress\ C\normal die Kategorie der K\-Vektorräume einsetzt. Wir müssen also aus jeder Menge S einen K-Vektorraum mit Basis S machen. Die übliche Konstruktion ist \calF(S):=K^(S) zu setzen. Dabei steht K^(S) für menge(((k_s))_(s\in\ S) | k_s=0 für fast alle s\in\ S) Die Verknüpfungen in diesem Raum sind natürlich punktweise definiert. Man identifiziert dann s\in\ S üblicherweise mit der Abbildung d_s, die genau in der s\-ten Komponente eine 1 und in allen anderen eine 0 hat. Man überzeugt sich dann sofort davon, dass dies eben eine freie Konstruktion im Sinne der universellen Eigenschaft liefert: Jede Abbildung f von S in einen Vektorraum V kann eindeutig zu einer linearen Abbildung \calF(f): K^(S)\to\ V fortgesetzt werden. Dieses Prinzip kann man nur bedingt auf allgemeine Gruppen übertragen, da ja die Möglichkeit der Nichtkommutativität ins Spiel kommen muss. Man kann es aber auf abelsche__ Gruppen übertragen: \darkred\ll(4.1)Sei S eine Menge. Definiere \IZ^(S) wie oben. Dann gilt: \darkred\ll(i)\IZ^(S) ist eine freie, abelsche Gruppe über S, d.h. für jede abelsche Gruppe A und jede Abbildung f: S\to A gibt es genau einen Homomorphismus f^^: \IZ^(S)\to A, der S fortsetzt. \darkred\ll(ii)\IZ^(S) ist bis auf einen kanonischen Isomorphismus die einzige Gruppe mit dieser Eigenschaft. \darkred\ll(iii)\IZ^(S) ist isomorph zur Abelianisierung von F(S), d.h. F(S)^ab:=F(S)\/F(S)' \darkred\ll(iv)Ist T eine andere Menge, so gilt \IZ^(S)~=\IZ^(T) genau dann, wenn abs(S)=abs(T). \blue\ Beweis: Ist f:S\to A beliebig, so definiert ((z_s))_(s\in\ S)\mapsto sum(z_s*f(s),s\in\ S) einen Homomorphismus \IZ^(S)\to A \(die Summe ist in Wirklichkeit endlich, da nur endlich viele z_s!=0 sind\), der das Tupel d_s \(wie oben definiert\) genau auf f(s) abbildet. Da die Tupel d_s die Gruppe \IZ^(S) erzeugen, ist dies auch der einzige, der das tut. \ref(ii) beweist man wie \ref(1.2(ii)): Gibt es zwei freie abelsche Gruppen F,F' über S, so induziert die Identität S\to S zwei Homomorphismen g:F\to F', h:F'\to F. Die Komposition g\circ\ h: F\to F ist auf S gleich id, also g\circ\ h=id_F aufgrund der Eindeutigkeit. Genauso ist h\circ\ g=id_F', also sind g und h Isomorphismen. Um \ref(iii) zu zeigen, rechnen wir nach, dass F(S)^ab=F(S)\/F(S)' die universelle Eigenschaft einer freien abelschen Gruppe hat. Ist f:S\to A eine beliebige Abbildung von S in eine abelsche Gruppe A, so gibt es einen Homomorphismus f^^: F(S)\to A. Da A abelsch ist, ist F(S)'\subseteq\ ker(f^^), d.h. es wird ein Homomorphismus f^-: F(S)^ab\to A induziert, der f^-(s^-)=f(s) erfüllt. Dieser ist eindeutig bestimmt, denn da S ein Erzeugendsystem von F(S) ist, ist S^-\subseteq\ F(S)^ab ein Erzeugendsystem von F(S)^ab, also sind Homomorphismen durch ihre Werte auf S^- bereits eindeutig festgelegt. Der Beweis von \ref(2.1.(i)) überträgt sich mit wenigen Abwandlungen auf die Aussage \ref(iv). Die Größe der Gruppe ist genau wie im nichtabelschen Fall abs(\IZ^(S))=cases(1,S=\0;abs(\IN), abs(S)<=abs(\IN);abs(S),abs(S)>abs(\IN)) die Gruppe \IZ_2, deren Homomorphismen wir gezählt haben, ist abelsch, funktioniert hier also genauso gut. \blue\ q.e.d. Es sei nochmal explizit darauf hingewiesen: Eine "freie abelsche Gruppe" ist i.A. nicht das gleiche wie eine "freie Gruppe, die abelsch ist". Wir haben gesehen, dass es von letzterem bis auf Isomorphie genau zwei gibt, während es von ersterem beliebig viele gibt.

 
Abschluss

Der nächste Artikel wird einen - wie ich finde - hochinteressanten, graphentheoretischen Beweis des Satzes von Schreier-Nielsen vorführen. Der Satz sagt aus, dass jede Untergruppe einer freien Gruppe selbst frei ist. Diese auf den ersten Blick überraschende Aussage wird eine ganz natürliche geometrische Entsprechung finden. Seid also gespannt. F(mfg)=Gockel.

 
Die Gruppenzwang-Reihe

Teil 1: Wir rechnen mit allem Teil 2: Anonyme Mathematiker bieten Gruppentherapie an Teil 3: Sensation: Homo Morphismus ist ein Gruppentier Teil 4: Gruppencamper brauchen Iso(morphie)matten Teil 5: Dr.Cauchy und Dr.Sylow bitte zur GruppenOP Teil 6: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden Teil 7: Gruppen sind immer noch top! Teil 8: Konvois auf der A20: Autos nur noch in Gruppen unterwegs Teil 9: Unfall im Genlabor: (Per)mutationen in der Bevölkerung Teil 10: Jäger der verlorenen Gruppe - Special Xtended Version Teil 11: Der Gruppentheorie-Adventskranz Teil 12: Wegen guter Führung entlassen: Gruppen sind frei Teil 13: Amnestie: Auch Untergruppen frei
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Gruppenzwang XII: Wegen guter Führung entlassen: Gruppen sind frei [von Gockel]  
Freie Gruppen, Erzeugende und Relationen
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"Mathematik: Wegen guter Führung entlassen: Gruppen sind frei" | 3 Comments
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Re: Wegen guter Führung entlassen: Gruppen sind frei
von: Martin_Infinite am: Di. 09. Dezember 2008 04:00:22
\(\begingroup\) sehr guter artikel; genau die richtigen bemerkungen an der richtigen stelle. ich habe noch ein paar ergänzungen. 1. S muss in der definition keine teilmenge von F(S) sein. man sollte von einer abbildung i : S -> F \(die einheit der adjunktion\) sprechen. dasselbe gilt bei der definition des freien monoiden. später kann man dann natürlich zeigen, dass diese abbildungen injektiv sind. bei freien konstruktionen ist das aber i.A. überhaupt nicht so. insofern sollte man das nicht in die definition mit reinschreiben. die universelle eigenschaft von sollte entsprechend so formuliert werden: dies ist eine gruppe zusammen mit einer abbildung i : S -> , also einem monoidhomomorphismus (S u S^(-1))^\* -> , derart, dass sich diesbezüglich homomorphismen -> G mit abbildungen S -> G identifizieren lassen, die die relationen aus R verschwinden lassen. 2. der nachweis für F = geht einfacher: die abbildung i : S -> induziert einen hom. F -> . dann ist F -> \< i(S) \> \subseteq F die identität, weil es mit i vorgeschaltet i ist \(eindeutigkeit in der universellen eigenschaft\). das zeigt F = . dasselbe vorgehen zeigt zum beispiel, dass das tensorprodukt von moduln von elementartensoren erzeugt wird. 3. dein beweis für F(S) ~= F(T) => S ~= T ist interessant; ich hätte nicht gedacht, dass es direkt mit abzählen funktioniert. es geht auch so: aus F(S) kann ich den freien \IQ\-vektorraum über S gewinnen, indem ich nämlich erst abelisiere und dann skalarerweiterung mit \IQ durchführe \(weil diese konstruktionen frei sind\). da kann ich die kardinalität von S aber anhand der dimension über \IQ ablesen. insbesondere ergibt sich auch auch die aussage für freie abelsche gruppen in 4.1 (iv). 4. der beweis von (2.2) ist toll, weil man gar nicht die explizite konstruktion von F(S) braucht, um die eindeutige darstellung durch reduzierte wörter zu zeigen, sondern man muss hier nur die universelle eigenschaft auf das objekt selbst anwenden: das objekt muss sozusagen erst mit sich selbst reden, um etwas über sich herauszufinden. dasselbe prinzip findet man dann bei der reduzierten darstellung von elementen in amalgamierten summen von gruppen. überhaupt finde ich es schön, dass du in deinem artikel den gebrauch der universellen eigenschaft von F(S) so oft illustriert hast, anstatt auf den elementen herumzureiten. 5. dass F(S)^ab = \IZ^(S) ist, benutzt in wahrheit gar nicht, dass S ein erzeugendensystem von F(S) ist, sondern eben nichts anderes als die universellen eigenschaften. für abelsche gruppen G gilt nämlich Hom(F(S)^ab,G) = Hom(F(S),G) = Abb(S,G) = Hom(\IZ^(S),G). das kannst du auch in die allgemeine gleichung (F \circ G)^ad = G^ad \circ F^ad für adjungierte funktoren einordnen. 6. die existenz von freien gruppen kann man als spezialfall eines sehr allgemeinen satzes ansehen, den ich hier nur der vollständigkeit halber ergänze: freyd adjoint functor theorem: sei C eine vollständige kategorie, D eine kategorie und G : C \to D ein funktor. genau dann hat G einen linksadjungierten funktor, wenn G limites erhält und die folgende bedingung erfüllt: für jedes d \in D gibt es eine menge\(!\) von objekten ( c_i )_(i \in I) in C zusammen mit morphismen d \to G(c_i), sodass jeder weitere morphismus d \to G(c), c \in C, via einem c_i \to c über d \to G(c_i) faktorisiert. \small\den allgemeinen fall kann man via kommakategorien auf den fall zurückführen, dass D ein punkt ist, wo wir also die existenz eines initialen objektes zu zeigen haben. dieses kann man anhand der daten explizit konstruieren. das kann man auf den vergißfunktor menge(gruppen) -> menge(mengen) anwenden. dieser erzeugt limites \(auf dem limes der unterliegenden mengen kann man direkt eine gruppenstruktur definieren, sodass es der limes in der kategorie der gruppen wird\), insbesondere bilden die gruppen eine vollständige kategorie und der vergißfunktor erhält limites. wenn nun X eine menge, G eine gruppe und f : X \to G eine abbildung ist, so faktorisiert diese über die von f(X) erzeugte untergruppe S von G. dann ist aber S gleichmächtig zu einer teilmenge der menge der endlichen folgen in X bzw. X^(-1). bis auf isomorphie gibt es also nur eine menge von nicht\-isomorphen gruppen, die für S in frage kommen, womit wir die bedingung gezeigt haben. \blue\die existenz von freien gruppen besteht also im prinzip nur aus abstract nonsense und einer kleinen mengentheoretischen überlegung!\black dieses vorgehen zeigt allgemeiner, dass in jeder kategorie von "algebraischen strukturen", definiert durch funktionssymbole und identitäten zwischen ihnen, freie objekte existieren. der satz zeigt aber z.B. auch, dass der vergißfunktor menge(hausdorffräume) \to menge(topologische räume) einen linksadjungierten funktor H besitzt, also H(X) ist irgendwie der größte hausdorffsche quotient von X. vielleicht kann mir jemand sagen, wie H "konkret" aussieht. #;-) so genug abgeschweift: der satz von schreier-nielsen ist in der tat recht schön mit freien gruppenwirkungen auf bäumen zu beweisen. und hier noch ein bild aus abstract and concrete categories #;-) Bild\(\endgroup\)
 

Re: Wegen guter Führung entlassen: Gruppen sind frei
von: gaussmath am: Di. 09. Dezember 2008 11:34:47
\(\begingroup\)Dass Kommentare oft interessanter sind als der eigentliche Artikel, überrascht mich gar nicht mehr so sehr. Klar, man gewinnt an Erfahrung dazu und stumpft irgendwie ab. Aber dass diese auch länger sind als der eigentliche Artikel, das versetzt mich jedesmal in Erstaunen. @Gockel: Die Struktur scheint mir klar und konsequent zu sein, leider auch etwas "trocken". Ich vermisse Beispiele und anschauliche Erklärungen. Welche Zielgruppe sprichst Du hier wirklich an?\(\endgroup\)
 

Re: Wegen guter Führung entlassen: Gruppen sind frei
von: Gockel am: Di. 09. Dezember 2008 16:08:02
\(\begingroup\)Hi ihr beiden. Vielen Dank, Martin, für deinen ausführlichen Kommentar, das beleuchtet viele Aspekte nochmal aus einem anderen Blickwinkel und liefert interessante zusätzliche Infos. Deine Ausführungen zeigen auch nochmal, wie elegant einiges wird, wenn man sich erstmal auf die Kategorien einlässt. Ich kenne ehrlich gesagt keine Anschauung für die freien Gruppen, Marc. Im nächsten Teil werden die freien Gruppen als (bestimmte Untergruppen von) Automorphismengruppen von bestimmten Graphen beschrieben werden. Das ist zwar etwas geometrisch angehaucht, aber nicht sonderlich viel anschaulicher. Die Beschreibung von freien Gruppen als Menge von "Wörtern ohne Relationen", in der die Gruppenoperation durch "Hintereinanderschreiben und Kürzen" funktioniert, ist mE diejenige, die intuitivste Beschreibung des Ganzen liefert. Die Zielgruppe ist ganz klar jeder und niemand. 😄 Ich schreibe Artikel hier aus Spaß an der Freude und stelle sie allen zur Verfügung. Wer mag, soll sie lesen. Wer nicht, der nicht. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

 
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