Mathematik: Wegen guter Führung entlassen: Gruppen sind frei
Released by matroid on Di. 09. Dezember 2008 00:05:21 [Statistics]
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Mathematik

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Gruppenzwang XII

Da sind wir wieder mit dem nächsten Teil der unendlichen Geschichte Gruppenzwang-Reihe.

In den letzten Artikeln der Reihe, die nun auch schon wieder ein gutes Jahr zurückliegen, waren der Satz von Schur-Zassenhaus bzw. eine Klassifizierung der Sylowgruppen von Sn und GLn(q) die Highlights.

Diesen Artikel will ich dazu nutzen, um euch die so genannten "Freien Gruppen" und die Möglichkeit, Gruppen durch "Erzeugende und Relationen" zu definieren, näherzubringen.
Im folgenden Teil möchte ich euch dann wieder ein Highlight, nämlich den Satz von Schreier-Nielsen, und einen - wie ich finde - sehr schönen Beweis desselben präsentieren.


 
Inhalt

  1. Freie Gruppen
  2. Wichtige Eigenschaften freier Gruppen
  3. Präsentationen von Gruppen: Erzeugende und Relationen
  4. Ein Blick über den Tellerrand: Freie Objekte
  5. Abschluss


 
Freie Gruppen



Der Satz von Schreier-Nielsen, der unser Ziel ist, macht eine Aussage über die so genannten "freien Gruppen". Bevor wir über den Satz reden, müssen wir uns also erst einmal Klarheit darüber verschaffen, was freie Gruppen eigentlich sind.

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"Soweit, so unspektakulär" könnte man meinen.
Der Kenner sieht jedoch sofort, dass es sich hierbei um eine sehr interessante Eigenschaft handelt. Sie macht aus der Menge S eine Gruppe, die (das werden wir gleich sehen) von S erzeugt wird und in der uns jede beliebige Zuordnung von Elementen von S zu Elementen einer anderen Gruppe G einen Gruppenhomomorphismus induziert. Da ein Homomorphismus ja die Struktur der Gruppe erhalten muss, kann normalerweise nicht einfach beliebig zugeordnet werden.
Ein ähnliches Verhalten kennt man bereits: Basen von Vektorräumen haben ein analoges Verhalten: Jede Zuordnung der Vektoren in der Basis zu beliebigen Vektoren in einem anderen Vektorraum induziert genau einen Vektorraumhomomorphismus.

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1 Das hat Martin_Infinite z.B. in seinem Artikel Kategorien 3: Ja Mono Epi Iso bewiesen. Das ist dort Lemma 9.


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Es sei auch einmal festgehalten, was eigentlich passiert, wenn S die leere Menge ist. Dann enthält M nur einziges Wort, nämlich das leere Wort. Auch F(S) ist dann einelementig. Die triviale Gruppe ist also auch eine freie Gruppe. Die Homomorphismen, die durch die universelle Eigenschaft bestimmt sind, sind uns ebenfalls bestens bekannt: Es sind die trivialen Homomorphismen {1}-> G, die einfach 1 auf 1 abbilden. Für jedes G ist dieser Homomorphismus natürlich eindeutig bestimmt.
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Wichtige Eigenschaften freier Gruppen



Die universelle Eigenschaft von F(S) hat einige sehr nützliche Konsequenzen und macht das Arbeiten mit freien Gruppen sehr bequem, wie man an folgendem Satz gut sieht:

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Eine wichtige Frage ist für uns noch zu klären: Wenn ich eine Teilmenge S von einer Gruppe F habe, wie kann ich dann feststellen, ob S eine freie Basis von F ist?
Die Antwort darauf werden wir im Folgenden erarbeiten.

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Man identifiziert daher oftmals F(S) mit der Menge aller reduzierten Wörter. Die Gruppenverknüpfung in F(S) lässt sich dann anschaulich so beschreiben: Nimm zwei reduzierte Wörter, schreibe sie nebeneinander und kürze alles, was möglich ist, bis du wieder ein reduziertes Wort erhälst.

Nun aber zurück zur eigentlichen Frage:

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Wir haben damit eine Untergruppe einer freien Gruppe gefunden, die selbst frei ist. Der Satz von Schreier-Nielsen, auf den wir ja hinarbeiten, hätte uns gesagt, dass das überhaupt nicht überraschend ist, denn in der Tat ist jede Untergruppe einer freien Gruppe selbst eine freie Gruppe.
Das werden wir allerdings erst im nächsten Artikel beweisen können. Erstmal möchte ich noch etwas zum Vorkommen von freien Gruppen "in der freien Natur" erläutern.

 
Präsentationen von Gruppen: Erzeuger und Relationen



Freie Gruppe kann man nicht nur nutzen, um eine Gruppe zu erzeugen, die von einer vorgegebenen Menge erzeugt wird und gar keine (nicht aus den Gruppenaxiomen folgenden) Relationen zwischen den Erzeugern hat. Man kann sie auch nutzen, um sich Gruppen zu beschaffen, in denen beliebige, vorgegebene Relationen gelten.

Man kann noch weiter gehen und folgendes beweisen:
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Ob so eine Beschreibung einer Gruppe mit Erzeugern und Relationen auch sinnvoll ist, hängt natürlich vom konkreten Problem ab. Die symmetrischen Gruppen etwa wird man in fast jeder Anwendung als Gruppe von Abbildungen beschreiben wollen und nicht durch eine Präsentation.


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Ein Blick über den Tellerrand: Freie Objekte



"Freie Objekte" sind gar nicht so selten in der Mathematik. Wir haben schon festgestellt, dass beispielsweise K-Vektorräume bzgl. jeder ihrer Basen eine ganz analoge universelle Eigenschaft für K-Vektorräume statt für Gruppen erfüllen.
Auch das Monoid M, welches wir in (1.2) konstruiert haben, erfüllt eine solche universelle Eigenschaft für Monoide und wurde von uns deshalb auch bereits als freies Monoid bezeichnet.

Zumindest der Vollständigkeit halber möchte ich eine allgemeine Definition freier Objekte angeben:

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Es sei nochmal explizit darauf hingewiesen: Eine "freie abelsche Gruppe" ist i.A. nicht das gleiche wie eine "freie Gruppe, die abelsch ist". Wir haben gesehen, dass es von letzterem bis auf Isomorphie genau zwei gibt, während es von ersterem beliebig viele gibt.

 
Abschluss



Der nächste Artikel wird einen - wie ich finde - hochinteressanten, graphentheoretischen Beweis des Satzes von Schreier-Nielsen vorführen. Der Satz sagt aus, dass jede Untergruppe einer freien Gruppe selbst frei ist. Diese auf den ersten Blick überraschende Aussage wird eine ganz natürliche geometrische Entsprechung finden. Seid also gespannt.

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Die Gruppenzwang-Reihe



Teil 1: Wir rechnen mit allem
Teil 2: Anonyme Mathematiker bieten Gruppentherapie an
Teil 3: Sensation: Homo Morphismus ist ein Gruppentier
Teil 4: Gruppencamper brauchen Iso(morphie)matten
Teil 5: Dr.Cauchy und Dr.Sylow bitte zur GruppenOP
Teil 6: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden
Teil 7: Gruppen sind immer noch top!
Teil 8: Konvois auf der A20: Autos nur noch in Gruppen unterwegs
Teil 9: Unfall im Genlabor: (Per)mutationen in der Bevölkerung
Teil 10: Jäger der verlorenen Gruppe - Special Xtended Version
Teil 11: Der Gruppentheorie-Adventskranz
Teil 12: Wegen guter Führung entlassen: Gruppen sind frei
Teil 13: Amnestie: Auch Untergruppen frei
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Gruppenzwang XII: Wegen guter Führung entlassen: Gruppen sind frei [von Gockel]  
Freie Gruppen, Erzeugende und Relationen
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"Mathematik: Wegen guter Führung entlassen: Gruppen sind frei" | 3 Comments
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Re: Wegen guter Führung entlassen: Gruppen sind frei
von: Martin_Infinite am: Di. 09. Dezember 2008 04:00:22
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Re: Wegen guter Führung entlassen: Gruppen sind frei
von: gaussmath am: Di. 09. Dezember 2008 11:34:47
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Dass Kommentare oft interessanter sind als der eigentliche Artikel, überrascht mich gar nicht mehr so sehr. Klar, man gewinnt an Erfahrung dazu und stumpft irgendwie ab. Aber dass diese auch länger sind als der eigentliche Artikel, das versetzt mich jedesmal in Erstaunen.  

@Gockel: Die Struktur scheint mir klar und konsequent zu sein, leider auch etwas "trocken". Ich vermisse Beispiele und anschauliche Erklärungen. Welche Zielgruppe sprichst Du hier wirklich an?\(\endgroup\)
 

Re: Wegen guter Führung entlassen: Gruppen sind frei
von: Gockel am: Di. 09. Dezember 2008 16:08:02
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Hi ihr beiden.

Vielen Dank, Martin, für deinen ausführlichen Kommentar, das beleuchtet viele Aspekte nochmal aus einem anderen Blickwinkel und liefert interessante zusätzliche Infos.
Deine Ausführungen zeigen auch nochmal, wie elegant einiges wird, wenn man sich erstmal auf die Kategorien einlässt.


Ich kenne ehrlich gesagt keine Anschauung für die freien Gruppen, Marc. Im nächsten Teil werden die freien Gruppen als (bestimmte Untergruppen von) Automorphismengruppen von bestimmten Graphen beschrieben werden. Das ist zwar etwas geometrisch angehaucht, aber nicht sonderlich viel anschaulicher.
Die Beschreibung von freien Gruppen als Menge von "Wörtern ohne Relationen", in der die Gruppenoperation durch "Hintereinanderschreiben und Kürzen" funktioniert, ist mE diejenige, die intuitivste Beschreibung des Ganzen liefert.

Die Zielgruppe ist ganz klar jeder und niemand. :-)
Ich schreibe Artikel hier aus Spaß an der Freude und stelle sie allen zur Verfügung. Wer mag, soll sie lesen. Wer nicht, der nicht.

mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

 
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