Mathematik: Amnestie: Auch Untergruppen frei
Released by matroid on So. 14. Dezember 2008 23:12:03 [Statistics]
Written by Gockel - 3059 x read [Outline] Printable version Printer-friendly version -  Choose language   
Mathematik

\(\begingroup\)

 
Gruppenzwang XIII

Da sind wir wieder mit dem nächsten Teil der unendlichen Geschichte Gruppenzwang-Reihe.

Wir haben im letzten Artikel die freien Gruppen kennen gelernt. Diesen Artikel möchte ich nutzen, um ein wichtiges Resultat über freie Gruppen zu beweisen: Den Satz von Schreier-Nielsen, der besagt, dass jede Untergruppe einer freien Gruppe selbst frei ist. Dafür werden wir einige Hilfsmittel aus der Graphentheorie kennenlernen und benutzen.


 
Inhalt

  1. Graphen
    1. Gerichtete und ungerichtete Graphen
    2. Kreise, Wege, Bäume
    3. Quotientengraphen
  2. Cayley-Graphen
  3. Der Satz von Schreier-Nielsen
  4. Abschluss


 
Graphen



Ich kann hier keinen vollständigen Überblick über die Graphentheorie liefern. Nicht einmal eine angemessene Einführung. Ich empfehle daher allen Interessenten etwa den Artikel von jannna Warum wohnt der Nikolaus nicht im Bungalow?. Die Arbeitsgruppe Alexandria hat auch einige andere Graphentheorie-Artikel in ihrem Verzeichnis.
In diesem Artikel kann ich nur einen Crashkurs durch die allernotwendigsten Definitionen geben und ein Mindestmaß an Anschauung geben, mehr aber auch nicht.

fed-Code einblenden


Es sei nochmal explizit darauf hingewiesen: Wir machen hier keine der sonst in der Graphentheorie üblichen Einschränkungen! Wir fordern weder, dass V und E endlich sind, noch dass jeder Knoten nur endlich viele Nachbarn hat o.Ä., noch verbieten wir beispielsweise, dass ein Knoten mit sich selbst verbunden ist (das ist eine so genannte "Schlinge").

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

 
Kreise, Wege, Bäume



fed-Code einblenden

fed-Code einblenden


fed-Code einblenden

Wege und Kreise haben bei mir nach Definition immer endliche Länge. Einige Resultate in der Theorie unendlicher Graphen gelten auch für (geeignet definierte) unendliche Wege und Kreise. Diese werden für uns aber keine Rolle spielen. Im Gegenteil: Kreise und Wege müssen endlich sein, sonst funktioniert Vieles von dem, was wir vorhaben, nicht mehr.
Und weil die entsprechenden Definitionen auch ausarten würden, lasse ich sie hier weg.

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden


Der erste Satz aus der Graphentheorie, den wir brauchen werden, ist folgender:
fed-Code einblenden

Recht naheliegend und hilfreich ist auch folgender Satz:

fed-Code einblenden

 
Quotientengraphen



Wir schauen uns jetzt eine Konstruktion analog zu Quotientenstrukturen in anderen Kategorien an und wie man sie auf Graphen übertragen kann.

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden


Auch auf die zweite Methode, Quotientengraphen zu erhalten, gehen wir noch genauer ein und zeigen Folgendes:
fed-Code einblenden

 
Cayley-Graphen



Nachdem wir nun im Höchsttempo die für uns wichtigen Begriffe der Graphentheorie eingeführt haben, möchte ich die Graphen definieren, welche für den Gruppentheoretiker den besonderen Reiz ausmachen: Die Cayley-Graphen.

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden
fed-Code einblenden


fed-Code einblenden

 
Der Satz von Schreier-Nielsen



Kommen wir nun endlich zum Beweis des Satzes von Schreier-Nielsen.

fed-Code einblenden

Der eben bewiesene Satz riecht natürlich schon verdächtig nach dem Satz von Schreier-Nielsen. In der Tat ist dieser Beweis nun einfach, ja beinahe trivial:

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

 
Abschluss



Ich persönlich finde diesen Beweis sehr interessant. Zum einen, weil er wiedermal demonstriert, wie unglaublich nützlich Gruppenoperationen für das Studium von Gruppen sind, und zum anderen, weil er eine schöne Verbindung zwischen Graphentheorie und Gruppentheorie aufzeigt, die ebenfalls sehr fruchtbar sein kann.
fed-Code einblenden

 
Die Gruppenzwang-Reihe



Teil 1: Wir rechnen mit allem
Teil 2: Anonyme Mathematiker bieten Gruppentherapie an
Teil 3: Sensation: Homo Morphismus ist ein Gruppentier
Teil 4: Gruppencamper brauchen Iso(morphie)matten
Teil 5: Dr.Cauchy und Dr.Sylow bitte zur GruppenOP
Teil 6: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden
Teil 7: Gruppen sind immer noch top!
Teil 8: Konvois auf der A20: Autos nur noch in Gruppen unterwegs
Teil 9: Unfall im Genlabor: (Per)mutationen in der Bevölkerung
Teil 10: Jäger der verlorenen Gruppe - Special Xtended Version
Teil 11: Der Gruppentheorie-Adventskranz
Teil 12: Wegen guter Führung entlassen: Gruppen sind frei
Teil 13: Amnestie: Auch Untergruppen frei
\(\endgroup\)
Get link to this article Get link to this article  Printable version Printer-friendly version -  Choose language     Kommentare zeigen Comments  
pdfFür diesen Artikel gibt es keine pdf-Datei


Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen:
: Mathematik :: Algebra :: Gruppentheorie :: Graphentheorie :: Reine Mathematik :
Gruppenzwang XIII: Amnestie: Auch Untergruppen frei [von Gockel]  
Cayley-Graphen, Satz von Schreier-Nielsen
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
 
Aufrufzähler 3059
 
Aufrufstatistik des Artikels
Insgesamt 114 externe Seitenaufrufe zwischen 2012.01 und 2020.11 [Anzeigen]
DomainAnzahlProz
http://google.de8372.8%72.8 %
http://gruppentheorie.de1614%14 %
http://www.gruppentheorie.de32.6%2.6 %
http://www.ecosia.org21.8%1.8 %
http://google.cz21.8%1.8 %
http://www.bing.com54.4%4.4 %
https://duckduckgo.com10.9%0.9 %
http://searchresults.verizon.com10.9%0.9 %
http://ecosia.org10.9%0.9 %

Häufige Aufrufer in früheren Monaten
Insgesamt 85 häufige Aufrufer [Anzeigen]
DatumAufrufer-URL
2013-2015 (40x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=
2012-2015 (16x)http://gruppentheorie.de/
2012-2013 (9x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=quotientengraph
201301-01 (6x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zornsches lemma aufspannende bäume
201205-05 (5x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=starke zusammenhangskomponente = äquival...
201202-06 (5x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=freie gruppenoperation
201210-10 (4x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=mathe amnestie

[Top of page]

"Mathematik: Amnestie: Auch Untergruppen frei" | 2 Comments
The authors of the comments are responsible for the content.

Re: Amnesie: Auch Untergruppen frei
von: Hanno am: Mo. 15. Dezember 2008 01:10:46
\(\begingroup\)
Hallo Johannes,

danke für den interessanten Artikel!

Zur Frage nach dem Rang von Untergruppen freier Gruppen kann man z.B. folgendes sagen: ist G frei vom Rang n und H eine Untergruppe vom Index k, dann ist H frei vom Rang 1 + k*(n-1).


Liebe Grüße,
Hanno\(\endgroup\)
 

Re: Amnestie: Auch Untergruppen frei
von: Martin_Infinite am: Mi. 31. Dezember 2008 17:03:01
\(\begingroup\)
Schöner Artikel.

Am Anfang wären ein paar mehr anschauliche Bemerkungen zu den Definitionen vermutlich hilfreich, wenn man das erste mal von Graphentheorie hört. Der Abschnitt über Zusammenhangskomponenten wäre deutlicher und klarer mit der Bemerkung, dass "x ~ y <=> x und y sind durch einen Weg verbunden" eine Äquivalenzrelation ist. Übrigens hast du dich oft unnötigerweise damit rumgeschlagen, Schlingen aus "Wegen" zu entfernen: Für die Frage nach dem Wegzusammenhang spielt das aber keine Rolle. Im Beweis der Kreisfreiheit in 1.2 muss man den Fall n = 1, also die Nichtexistenz von Schlingen, gesondert behandeln. Ansonsten habe ich einige Änderungsvorschläge bez. Tippos abgeschickt ;).

Übrigens liefert dieser "zornige" Beweis hier, dass Untergruppen freier Gruppen wieder frei sind, keinen Anhaltspunkt, wie man eine Basis der Untergruppe findet. Für Untergruppen von endlichem Index gibt es aber eine Methode und diese führt auch zu Hannos Formel.\(\endgroup\)
 

 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]