Mathematik: Analysis I - §4 Folgen
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Analysis

\(\begingroup\) da_bounce und FlorianM schreiben:

§4 Folgen

Nachdem der letzte Teil Nummer 3 sehr abstrakt war, wird es jetzt wieder etwas anschaulicher werden. In diesem Artikel tauchen wir eigentlich erst richtig in die Analysis I ein. Wir werden hier das erste Mal Kontakt mit dem Unendlichen und den Grenzwertbegriffen von Folgen haben. Folgen werden euch im ersten Semester sehr oft begegnen. Es ist wichtig, dass ihr begreift, was man darunter versteht, wenn eine Folge konvergiert. Wie man entscheiden kann, ob eine Folge konvergiert und wie man ihren Grenzwert ausrechnet, werden wir ebenfalls beschreiben. Als einen wichtigen Satz werden wir den Satz von Bolzano-Weierstraß beweisen, der besagt, dass jede beschränkte Folge mindestens einen Häufungspunkt besitzt. Was wir unter Beschränktheit einer Folge oder unter einem Häufungspunkt verstehen, werdet ihr gleich sehen. Eine Anwendung findet sich in §5, wenn wir dann Reihen betrachten. Dies sind einfach Folgen von Partialsummen, also "besondere Folgen". Aber soweit sind wir noch nicht. Wir wünschen viel Spaß! Alles zur Analysis 1 und Linearen Algebra 1 in dem Buch "Tutorium Analysis 1 und Lineare Algebra 1".


§4 Folgen

\grey\ \big\ Inhalt dieses Artikels: \darkblue\ \big\ 4. Folgen 4.1 Was ist eine Folge? 4.2 Folgenkonvergenz 4.3 Grenzwertsätze 4.4 Teilfolgen und Häufungspunkte 4.5 Konvergenzkriterien für Folgen 4.6 Rekursiv definierte Folgen 4.7 Abschätzungskatalog 4.8 Lösungen zu den Übungsaufgaben
4.1 Was ist eine Folge? Erstmal die harte mathematische Definition und danach ein paar Beispiele: Unter einer (endlichen Folge)__ verstehen wir eine Abbildung menge(1, ..., n)->M und unter einer Folge__ allgemein eine Abbildung von der Menge der natürlichen Zahlen in eine Menge M. Betrachten wir am besten einige Beispiele, dann wird es euch vielleicht klarer. a) ((a_n))_(n \el\ \IN):=((x_n))_(n \el\ \IN)=(x_1 , x_2 , x_3 , ...) b) ((b_n))_(n \el\ \IN):=(1/n)_(n \el\ \IN)=(1, 1/2, 1/3, 1/4, ...) c) ((c_n))_(n \el\ \IN):=(n/(n+1))_(n \el\ \IN)=(1/2, 2/3, 3/4, 4/5, ...) Wir setzen also für n nacheinander die natürlichen Zahlen ein und berechnen so die Glieder__ der Folge. a) \- c) zeigen Beispiele für Folgen, deren Abbildungsvorschrift direkt angegeben ist. Wenn wir jetzt sagen würden, dass ihr doch mal das 837. Folgenglied der Folge ((b_n))_(n \el\ \IN) berechnen sollt, dann setzt ihr einfach für n=837 ein und nennt uns das 837. Folgenglied und wir sind glücklich. Man kann eine Folge aber auch rekursiv definieren. D.h. man gibt einen Startwert an und dann eine Vorschrift, wie man das nächste, folgende, Glied berechnen kann. Dort ist es dann schwer, das 837. Folgenglied zu berechnen. Ihr müsstet nämlich 836 Rechnungen durchführen. Na dann viel Spaß ... Nun zu einer Folge, die rekursiv definiert ist und die euch eventuell zu Weltruhm verhelfen könnte. Sei a_0 \el\ \IN beliebig und die Folge rekursiv definiert durch a_(n+1):=cases((a_n)/2, falls a_n gerade;3*a_n +1, falls a_n ungerade) Diese Folge ist in der Mathematik als (Collatz\-Folge)__ bekannt. Nehmen wir doch mal den Startwert a_0=3 und berechnen die ersten Folgenglieder durch einfaches Einsetzen: a_1=10, a_2=5, a_3=16, a_4=8, a_5=4, a_6=2, a_7=1, a_8=4,... Merkt ihr was? Wir befinden uns in einer Art "Schleife". Ist das für jeden Startwert so? Probieren wir es aus. Sei nun a_0=7. Wir berechnen: a_1=7, a_2=22, a_3=11, a_4=34, a_5=17, a_6=52, a_7=26, a_8=13, a_9=40, a_10=20, a_11=10, a_12=5, a_13=16, a_14=8, a_15=4, a_16=2, a_17=1, a_18=4, ... Auch hier gelangen wir wieder in diese "Schleife" ... Bist jetzt ist noch nicht bewiesen, ob dies für jeden Anfangswert a_0 gilt. Also, ran ans Werk und beweist das! ;) \stress\ Eine kleine Anmerkung müssen wir noch geben: Vielleicht ist dem einen oder anderen aufgefallen, dass wir oben 0\notel\IN haben, aber dennoch ein Folgenglied a_0 angegeben haben. Wir treffen nun die Vereinbarung, dass wir Startwerte von Folgen ruhig mit a_0 bezeichnen dürfen, obwohl dies nicht ganz mit unser obigen Definition übereinstimmt.
4.2 Folgenkonvergenz Nun zu einer wichtigen Definition, wann eine Folge konvergiert. Sie macht einigen Anfängern große Probleme, obwohl man sie sich anschaulich sehr gut klar machen kann. Wir beschränken uns im Folgenden auf reelle Folgen und nehmen weiterhin an, dass die Zielmenge M eine Metrik besitzt und nicht völlig strukturlos ist. \big\ (Definition der Folgenkonvergenz)____ Für alle \epsilon>0 existiert ein n_0\el\IN mit der Eigenschaft abs(a_n-a)<\epsilon für alle n>=n_0. Hierbei ist a der Grenzwert der Folge. Wir können das Ganze auch mit unseren schönen Quantoren schreiben: lim(n->\inf,a_n)=a <=> a_n ->a <=> \forall\epsilon>0 \exists\ n_0\el \IN \forall n>=n_0: abs(a_n-a)<\epsilon Um die Konvergenz deutlicher zu machen, kann man die Definition auch so formulieren: Es gibt ein a\el\ \IR, so daß zu jedem \epsilon>0 ein n_0=n_0(\epsilon)\el\IN existiert mit der Eigenschaft abs(a_n-a)<\epsilon für alle n>=n_0. Wem das immer noch nicht ganz zusagt, den verweisen wir auf diesen Link hier: Limits: Formal definition and proof using epsilon-delta syntax Leute, die eher in die Ingenieursrichtung gehen wollen, werden diese Definition wohl nur einmal kurz hören und dann später mit einer anderen Methode die Grenzwerte von Folgen untersuchen. \big\ \darkblue\ Was bedeutet das? abs(a_n-a) misst den Abstand eines Folgenglieds von dem Grenzwert der Folge. Und genau dieser Abstand soll ab einem bestimmten Folgenglied beliebig klein werden. Pflücken wir die Definition also nochmal auseinander: Ab einem bestimmten Folgenglied \(also ab einem hinreichend__ großen Index n_0\.) wird der Abstand der Folgenglieder zum Grenzwert der Folge beliebig__ klein, fast Null. Malt euch doch einfach mal ein Bildchen, was man sich "anschaulich" darunter vorstellen kann. Folgenkonvergenz In jeder \epsilon\-Umgebung des Grenzwertes a liegen fast alle Glieder der Folge unabhängig von n_0, außerhalb entsprechend nur endlich viele. "Fast alle" bedeutet also "bis auf Ausnahme endlich vieler". Ab einem n_0 liegen dann aber alle Glieder drin. Der Nachteil bei dieser Definition ist, dass man den Grenzwert der Folge erstmal kennen muss, um nachzuweisen, dass die Folge konvergiert. Im Laufe dieses Artikels werden wir aber noch Grenzwertsätze kennenlernen, mit denen man den Grenzwert der Folge sehr leicht berechnen kann. Außerdem werden wir sogenannte Cauchy\-Folgen kennenlernen, bei denen wir den Grenzwert der Folge erst gar nicht kennen müssen. Es bleibt also noch spannend! Wenn eine Folge nicht konvergiert, so nennen wir sie divergent__. Es gibt noch die Begriffe "uneigentlich konvergent" oder "bestimmt divergent". Diese wollen wir nun vom Divergenzbegriff abgrenzen, indem wir einige Beispiele anführen. \squaredot Die Folge a_n=(-1)^n=-1, 1, -1, 1, -1, 1, ... ist divergent. Sie konvergiert gegen keinen Grenzwert. Man sagt auch, sie ist alternierend, weil das Vorzeichen dauernd wechselt. \squaredot Die Folge b_n=n=1, 2, 3, 4, 5, ... ist bestimmt divergent \(oder uneigentlich konvergent), da die Folge gegen Unendlich konvergiert. Ihre Glieder werden beliebig groß. Wir präzisieren das etwas: Falls es zu jedem M \el\IR ein n_0\el\IN gibt, sodass \forall\ n>=n_0: a_n>M , dann sagen wir: die Folge ((a_n))_(n\el\ \IN) array(konvergiert uneigentlich \(divergiert bestimmt))__ gegen Unendlich und schreiben lim(n->\inf,a_n)=\inf. Analog schreiben wir lim(n->\inf,a_n)=-\inf, wenn es zu jedem m\el\IR ein n_0\el\IN gibt, sodass \forall\ n>=n_0: a_n0 gilt. Das ist anschaulich auch sehr klar, denn der Abstand zwischen den Folgengliedern und dem Grenzwert wird ja beliebig klein; im Grenzfall halt Null.
4.2.1 Ein paar Beispiele a) Betrachten wir die konstante Folge ((a_n))_(n\el\IN)=(a)_(n\el\IN), wobei a\el\IR. Z.B. also ((a_n))_(n\el\IN)=(2)_(n\el\IN)=2, 2, 2, 2, 2, 2, ... Diese Folge konvergiert gegen a. Was uns anschaulich so klar ist, muss aber natürlich nachgewiesen werden. Dazu wenden wir einfach die Definition der Folgenkonvergenz an. Sei also \epsilon>0 beliebig vorgegeben. Dann gilt abs(a_n-a)=abs(a-a)=0<\epsilon \forall\ n>=1. Schon ab dem ersten Folgenglied ist dies also erfüllt, man kann jedes n_0>=1 wählen. Damit ist die Konvergenz der Folge gegen den Grenzwert a nachgewiesen, man schreibt lim(n->\inf,a_n)=a. b) Betrachten wir nun die Folge ((b_n))_(n\el\IN):=(1/n)_(n\el\IN). Schreibt man sich einige Folgenglieder auf, so könnte man den Grenzwert vermuten: ((b_n))_(n\el\IN):=(1/n)_(n\el\IN)=1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... Die Folgenglieder werden also immer kleiner. Sie konvergieren gegen Null, so scheint es jedenfalls. Weisen wir dies nach: Wir geben uns ein beliebiges \epsilon>0 vor. Dann gilt: abs(a_n-a)=abs(1/n-0)=abs(1/n)=1/n Wir müssten jetzt zeigen, dass abs(1/n)<\epsilon gilt. In der Definition steht, dass zu jedem \epsilon>0 ein n_0\el\IN existiert. Dann geben wir doch einfach eins an! Wir wählen n_0 so, dass 1/(n_0)<\epsilon ist, also n_0>1/\epsilon. Damit ergibt sich insgesamt für n>=n_0 \(denn dann ist 1/n<=1/n_0\.) abs(a_n-a)=abs(1/n-0)=abs(1/n)=1/n<=1/n_0<\epsilon. Folglich haben wir die Konvergenz der Folge gegen Null nachgewiesen. Ach so, hinter 1/n_0<\epsilon steckt der Satz von Archimedes, den wir in §3 eingeführt und gezeigt haben. Macht euch klar, wieso! Wir können also auch schreiben: Nach dem Satz des Archimedes existiert ein n_0\el\IN mit n_0>1/\epsilon. Dann gilt für alle n>=n_0 auch n>=n_0>1/\epsilon und somit abs(1/n-0)=abs(1/n)=1/n<\epsilon. Nun zwei Beispiele, deren Begründung ihr erst im Laufenden verstehen könnt. Ihr solltet dann auf diese Beispiele nochmal zurückkommen, wenn wir die entsprechenden Sätze eingeführt und bewiesen haben. c) Die Folge ((c_n))_(n\el\IN):=(n)_(n\el\IN) ist divergent. Denn die Folge ist nicht beschränkt. Und Beschränktheit ist ein notwendiges Kriterium für die Konvergenz einer Folge. d) Die Folge ((d_n))_(n\el\IN):=((-1)^n)_(n\el\IN) ist divergent, da die Folge zwei Häufungspunkte besitzt. Eine konvergente Folgen besitzt aber nur genau einen Häufungspunkt \(und zwar den Grenzwert der Folge). Wie gesagt, den Inhalt könnt ihr erst später in diesem §4 verstehen. Habt noch Geduld!
4.2.2 Eindeutigkeit des Grenzwertes Wer sagt uns, dass eine Folge nicht zwei, drei oder sogar unendlich viele Grenzwerte besitzen kann? Der folgende Satz. \big\ \darkblue\ Eindeutigkeit des Grenzwertes Eine konvergente Folge besitzt genau einen Grenzwert. Dies müssen wir jetzt beweisen. Denn wir können ja viel behaupten. Dies ist aber ausgesprochen einfach. \big\ Beweis: Wir nehmen einfach mal an, dass eine Folge a_n zwei Grenzwerte a und a' besitzt und zeigen mittels der Definition der Folgenkonvergenz, dass a=a' ist. Damit hätten wir die Eindeutigkeit gezeigt. Der Reihe nach: Seien a und a' zwei Grenzwerte der Folge a_n. Dann existiert für alle \epsilon>0 ein N_1\el\IN mit der Eigenschaft abs(a_n-a)<\epsilon/2 \forall\ n>=N_1. Da aber auch a' ein Grenzwert der Folge sein soll, existiert für alle \epsilon>0 ein N_2\el\IN mit der Eigenschaft abs(a_n-a')<\epsilon/2 \forall\ n>=N_2. Insgesamt ergibt sich also für abs(a-a') Folgendes: Hier wenden wir einen Trick an, den ihr euch unbedingt merken solltet. Wir addieren nämlich Null. Das heißt genauer abs(a-a_n+a_n-a'). Jetzt wenden wir die Dreiecksungleichung an: abs(a-a')=abs(a-a_n+a_n-a')<=abs(a-a_n)+abs(a_n-a')<\epsilon/2+\epsilon/2=\epsilon \forall\ n>=max||menge(N_1, N_2). =>a-a'=0=>a=a' \bigbox Der letzte Teil folgt direkt aus unser äquivalenten Definition der Folgenkonvergenz.
4.2.3 Beschränktheit von Folgen \big\ \darkblue\ Definition: Eine Folge a_n heißt (nach oben beschränkt)__, wenn es eine Zahl S\el\IR gibt mit \forall\ n\el\IN: a_n<=S. Das heißt, es gibt eine Zahl S, sodass kein Folgenglied größer als S ist. Eine Folge a_n heißt (nach unten beschränkt)__, wenn es eine Zahl s\el\IR gibt mit \forall\ n\el\IN: a_n>=s. Das heißt, es gibt eine Zahl s, sodass kein Folgenglied kleiner als s ist. Die Begriffe Supremum und Infimum übertragen sich auf Folgen analog. Als Übung formuliert doch einmal die entsprechende Definition! Ein wichtiger Satz ist der folgende: \big\ Jede konvergente Folge ist beschränkt. Dies liefert ein notwendiges Kriterium für die Folgenkonvergenz. D.h. WENN eine Folge konvergiert, dann muss sie auf jeden Fall beschränkt sein. Wichtig ist, dass die Umkehrung nicht gilt. Es gilt also nicht____, dass jede beschränkte Folge konvergent ist. So ist zum Beispiel die Folge a_n:=(-1)^n nach oben durch 1 und nach unten durch -1 beschränkt, aber nicht konvergent. Dieser Satz gibt aber schon mal ein erstes Konvergenzkriterium für Folgen. So können wir nämlich begründen, dass die Folge a_n:=n nicht konvergent ist. Sie ist nämlich nicht beschränkt und folglich kann sie nicht konvergieren. Wir wollen den Satz \big\ beweisen: Es sei a_n eine Folge, die gegen a konvergiert. Da die Folge konvergent ist, können wir zu jedem \epsilon>0 ein n_0 \el\IN finden mit abs(a_n-a)<\epsilon \forall\ n>=n_0. Also wählen wir beispielsweise \e=1. Daraus folgt aber unter Anwendung unseres Tricks "Addieren von Null": abs(a_n)=abs(a_n -a+a)<=abs(a_n-a)+abs(a)<1+abs(a) Hier haben wir die Dreiecksungleichung und abs(a_n-a)<\epsilon=1 ausgenutzt. Hier sehen wir jetzt aber, dass der erste Summand durch \epsilon (in unserem Fall durch 1) beschränkt ist \(da die Folge konvergiert) und abs(a) ist sowieso beschränkt. Damit folgt also sofort die Behauptung. \big\ \darkblue\ Ein ausführliches Beispiel: Es sei x\el\IR. Wir betrachten die Folge a_n:=x^n. Man sieht schon sehr schnell, dass die Folgenkonvergenz vom x abhängig ist. Wir müssen also eine Fallunterscheidung durchführen: \squaredot x=1 oder x=0 Wenn x=1 bzw. x=0, dann erhalten wir die konstante Folge a_n=1^n=1 bzw. a_n=0^n=0. Diese konvergiert trivialerweise gegen 1 bzw. 0, denn die Folge hat ja nur die Folgenglieder 1 bzw. 0. \squaredot x=-1 Diesen Fall hatten wir schon mal betrachtet. Es ergibt sich jetzt a_n=(-1)^n. Diese Folge ist divergent, weil sie zwei konvergente Teilfolgen, sprich zwei Häufungspunkte, besitzt, eine konvergente Folge aber nur genau einen besitzen kann \(diesen Satz haben wir soeben in 4.2.2 bewiesen). \squaredot abs(x)>1 Wenn abs(x)>1 \(also z.B. a_n=2^n\.), dann ist die Folge nicht beschränkt. Die Folgenglieder werden beliebig groß und daher kann die Folge nicht konvergieren. \squaredot 0=1+n*(1/abs(x)-1) Sei \epsilon>0. Nun wählen wir n_0 \el\IN so groß, dass 1+n_0*(1/abs(x)-1)>1/\epsilon gilt, also n_0>(1/\e-1)/(1/abs(x)-1). Dann gilt \forall\ n>=n_0: 1/abs(x)^n>=1+n*(1/abs(x)-1)>=1+n_0*(1/abs(x)-1)>1/\epsilon. Es gilt: abs(x^n-0)=abs(x^n)<\epsilon Und da steht das Gewünschte. Aber wie kommen wir darauf? Ganz einfach: Aus 1/abs(x)^n>1/\epsilon folgt durch Umstellen doch \epsilon>abs(x)^n.
4.3 Grenzwertsätze Nun zu wichtigen Grenzwertsätzen, mit denen wir den Grenzwert von Folgen sehr leicht berechnen können. Diese Sätze gelten natürlich nur für konvergente Folgen. Was passiert, wenn man diese Grenzwertsätze auch für divergente Folgen anwendet, werden wir gleich sehen.
4.3.1 Die Grenzwertsätze \big\ \darkblue\ Die Grenzwertsätze Seien ((a_n))_(n\el\IN) und ((b_n))_(n\el\IN) zwei konvergente__ Folgen mit lim(n->\inf,a_n)=a und lim(n->\inf,b_n)=b. Dann gilt: a) Die Folge (a_n+b_n)_(n\el\IN) konvergiert und es gilt: \red\ lim(n->\inf,(a_n+b_n))=lim(n->\inf,a_n)+lim(n->\inf,b_n)=a+b b) Die Folge (a_n*b_n)_(n\el\IN) konvergiert und es gilt: \red\ lim(n->\inf,a_n*b_n)=lim(n->\inf,a_n)*lim(n->\inf,b_n)=a*b c) Ist zusätzlich b!=0, so existiert ein m\el\IN mit b_n!=0 \forall\ n>=m, und für die Folge (a_n/b_n)_(n\el\IN_>=m) gilt: sie konvergiert und es ist \red\ lim(n->\inf,a_n/b_n)=lim(n->\inf,a_n)/lim(n->\inf,b_n)=a/b Dies wollen wir nun \big\ beweisen\normal\ : a) Sei \epsilon>0. Dann existieren N_1, N_2 \el\IN mit abs(a_n-a)<\epsilon/2 \forall\ n>=N_1 und abs(b_n-b)<\epsilon/2 \forall\ n>=N_2. Dann gilt nun \forall\ n>=max|menge(N_1, N_2): abs(a_n+b_n-(a+b))=abs(a_n+b_n-a-b)=abs(a_n-a+b_n-b)<=abs(a_n-a)+abs(b_n-b)<\epsilon/2+\epsilon/2=\epsilon \forall\ n>=n_0:=max|menge(N_1, N_2) Hier haben wir auch wieder die Dreiecksungleichung ausgenutzt. Damit ist alles gezeigt. b) Die beiden Folgen ((a_n))_(n\el\IN) und ((b_n))_(n\el\IN) sind nach Voraussetzung konvergent und damit beschränkt. Daher existiert ein M>0 mit abs(a)<=M, abs(a_n)<=M, abs(b_n)<=M für alle n\el\IN. Ferner existieren zu \epsilon>0 ein N_1 und ein N_2\el\IN mit abs(a_n-a)<\epsilon/2M und abs(b_n-b)<\epsilon/2M. \blue\ Warum man gerade \epsilon/2M wählt, werden wir gleich sehen. Nun gilt aber für alle n>=n_0:=max|menge(N_1, N_2): abs(a_n*b_n-ab)=abs(a_n*b_n-ab_n+ab_n-ab) \blue\ Null addiert =abs(b_n*(a_n-a)+a*(b_n-b)) <=abs(b_n*(a_n-a))+abs(a*(b_n-b)) \blue\ Dreiecksungleichung angewendet =abs(b_n)*abs(a_n-a)+abs(a)*abs(b_n-b) =n_0 \blue\ Und genau aus diesem Grund haben wir am Anfang \epsilon/2M gewählt, weil jetzt ein sehr schönes Ergebnis rauskommt, nämlich \epsilon . Natürlich hätten wir dies auch anders wählen können, ggf. hätten wir 2\epsilon erhalten. Das wäre auch okay gewesen. Aber so ist es doch schöner, oder? Das macht man bei vielen Beweisen, die euch im ersten Semester begegnen. Man schaut erstmal, was rauskommt und formuliert dann erst den endgültigen Beweis, den ihr dann in der Vorlesung vorgesetzt bekommt. Insgesamt erhalten wir jetzt also abs(a_n*b_n-ab)<\epsilon \forall\ n>=n_0. Damit haben wir gezeigt, dass die Folge (a_n*b_n)_(n\el\IN) gegen a*b konvergiert. c) Es ist b!=0. Damit existiert ein n_0\el\IN mit abs(b_n-b)=n_0 \(\*) \blue\ Denn die Folge ((b_n))_(n\el\IN) ist doch konvergent. \blue\ Auch hier wählen wir das \epsilon wieder so, dass es am Ende "schön aufgeht". Dann gilt für alle n>=n_0: abs(b)=abs(b-(b_n-b_n)) \blue\ Null addiert =abs((b-b_n)+b_n) <=abs(b-b_n)+abs(b_n) \blue\ Dreiecksungleichung angewendet \inf,(\lambda*a_n))=\lambda*lim(n->\inf,a_n) Dies folgt direkt aus Teil b) mit b_n=\lambda . Außerdem gilt: lim(n->\inf,(a_n-b_n))=lim(n->\inf,a_n)-lim(n->\inf,b_n) Und dies folgt aus dem ersten Teil des Korollars und a) von oben mit a_n-b_n=a_n+(-1)*b_n. \big\ \red\ Achtung! Wir möchten nochmal auf eins ausdrücklich hinweisen: Die Grenzwertsätze gelten nur__ für konvergente Folgen. Dazu betrachten wir einfach mal die divergente Folge a_n=n und die konvergente Folge b_n=1/n. Es gilt also a_n*b_n=n*1/n=1->1 für n->\inf . (Aber:)__ a_n=n->\inf für n->\inf und b_n=1/n->0 für n->\inf. Aber was ist "\inf*0"?
4.3.2 Zeit für die ersten Beispiele Nun ist es Zeit für einige \big\ Beispiele\normal\ : Wie kann man Konvergenz von Folgen zeigen? Es gibt zwei mögliche Wege: Einmal mit einem \epsilon\-n_0\.\-Beweis oder mit den Grenzwertsätzen. Die Grenzwertsätze ermöglichen ja erst, dass man den Grenzwert der Folge kennt \(ggf. könnte man ihn natürlich auch raten). Aber erst wenn man den Grenzwert kennt, kann man den \epsilon\-n_0\.\-Beweis anwenden. \big\ 1. Beispiel: Wir betrachten die Folge a_n=(2n^2-3)/(3*n^2+2*n-1). Ist diese Folge konvergent? Angenommen, die Folge wäre konvergent. Dann können wir mittels den Grenzwertsätzen den Grenzwert sofort ohne Probleme bestimmen: lim(n->\inf,(2n^2-3)/(3*n^2+2*n-1))=lim(n->\inf,(n^2*(2-3/n^2))/(n^2*(3+2/n-1/n^2)) =lim(n->\inf,(2-3/n^2)/(3+2/n-1/n^2))=lim(n->\inf,(2-3/n^2))/lim(n->\inf,(3+2/n-1/n^2)) =(lim(n->\inf,2)-lim(n->\inf,3/n^2))/(lim(n->\inf,3)+lim(n->\inf,2/n)-lim(n->\inf,1/n^2)) =(2-0)/(3+0-0)=2/3 Nun wissen wir also, dass die Folge, wenn sie konvergiert, gegen 2/3 konvergiert. Wir müssen dies nochmals mit unserer Definition nach weisen. Wir müssen in diesem Fall zeigen: Für alle \epsilon >0 existiert ein n_0\el\ \IN mit der Eigenschaft, dass abs(a_n-a)=abs((2n^2-3)/(3*n^2+2*n-1)-2/3)<\epsilon für alle n>=n_0. Machen wir dies doch also. Dazu formen wir abs((2n^2-3)/(3*n^2+2*n-1)-2/3) erstmal durch Hauptnennerbildung um: abs((2n^2-3)/(3*n^2+2*n-1)-2/3)=abs((3*(2n^2-3))/(3*(3*n^2+2*n-1))-(2*(3*n^2+2*n-1))/(3*(3*n^2+2*n-1))) =abs((3*(2n^2-3)-2*(3*n^2+2*n-1))/(3*(3*n^2+2*n-1)))=abs((6*n^2-9-6*n^2-4*n+2)/(3*(3*n^2+2*n-1))) =abs((-4*n-7)/(3*(3*n^2+2*n-1))) Jetzt können wir ganz grob abschätzen, da wir ja nicht an einem möglichst kleinen n_0 interessiert sind. abs((-4*n-7)/(3*(3*n^2+2*n-1))) <(4*n)/(3*n^2) < 4/n . (\*) Jetzt wissen wir, wo wir hin müssen und können nochmal den Beweis "neu" aufschreiben: Sei \epsilon >0 beliebig vorgegeben. Wähle ein n_0\el\ \IN derart, dass 4/n_0 < \epsilon <=> n_0>4/\epsilon. So ein n_0 existiert nach dem Satz von Archimedes. Nach der obigen Abschätzung gilt dann abs((2n^2-3)/(3*n^2+2*n-1)-2/3)<4/n <4/n_0 <\epsilon für alle n>=n_0. Damit ist alles gezeigt. \stress\ Bemerkung: Die Abschätzung (\*) ist nicht ohne weiteres so einzusehen. Daher macht euch klar, wieso sie stimmt.
\big\ 2. Beispiel: Wir betrachten die Folge b_n:=sqrt(n^2+n)-n. Zunächst einmal wollen wir den Grenzwert wieder mittels der Grenzwertsätze bestimmen: Dazu formen wir etwas um: sqrt(n^2+n)-n=((sqrt(n^2+n)-n)*(sqrt(n^2+n)+n))/(sqrt(n^2+n)+n) =(n^2+n-n^2)/(sqrt(n^2+n)+n)=(n)/(sqrt(n^2+n)+n)=(n)/(sqrt(n^2*(1+1/n))+n) =(n)/(n*sqrt(1+1/n)+n)=1/(sqrt(1+1/n)+1) Mit den Grenzwertsätzen folgt nun der Grenzwert 1/(sqrt(1+0)+1)=1/2 Diesen Trick mit dem Erweitern könnt ihr euch ruhig merken, man kann ihn öfters bei solchen Aufgaben mal anwenden. Und nun wenden wir unsere Definition an: Wir schätzen abs(b_n -1/2) ab. abs(b_n -1/2)=abs(sqrt(n^2+n)-n -1/2)=abs(sqrt(n^2+n)-(n +1/2)) =abs(((sqrt(n^2+n)-(n +1/2))*(sqrt(n^2+n)+(n +1/2)))/(sqrt(n^2+n)+(n +1/2)) =abs((n^2+n-(n^2+n+1/4))/(sqrt(n^2+n)+(n +1/2)) =abs((n^2+n-n^2-n-1/4))/(sqrt(n^2+n)+(n +1/2)) =abs((-1/4)/(sqrt(n^2+n)+(n +1/2)))<=1/4n Sei nun \epsilon >0. Dann gibt es ein n_0\el\ \IN, dass n_0>1/(4*\epsilon). Dann gilt für alle n>=n_0: abs(b_n -1/2)<=1/(4*n)<=1/(4*n_0)<\epsilon Damit ist auch hier alles gezeigt. Wir wollen noch ein paar Übungsaufgaben in diesem Abschnitt geben. Es versteht sich von selbst, dass ihr sehr viele Aufgaben rechnen solltet, um die Technik des \epsilon\-n_0\.\-Beweises zu verstehen und mit Routine anwenden zu können. Wir sind uns sicher, dass bei einigen Lesern dieser Zeilen, solch eine Aufgabe in der Analysis\-I\-Klausur dran kommen wird.
\big\ \red\ Aufgabe 1: Berechne den Grenzwert der Folge a_n:=sqrt(n^2+3*n)-n. \big\ \red\ Aufgabe 2: Berechne den Grenzwert der Folge b_n:=(n;k)/(n^k). Berechnet dann den Grenzwert der Folge c_n:=(n;3)/n^3\.. \big\ \red\ Aufgabe 3: Berechne den Grenzwert der Folgen (a_n)! a)| | ((a_n))= (2/n)_(n\in\IN) b)| | ((a_n))=(((n+2)/sqrt(n))^2-n)_(n\in\IN) c)| | ((a_n))=((8n^11+4n^2+5)/(6n^11+12n^3+n))_(n\in\IN) d)| | ((a_n))=(sqrt(n^2+3n+1)-sqrt(n^2+2n))_(n\in\IN) \big\ \red\ Aufgabe 4: Man zeige, dass ((a_n))=(sqrt(n+1)-sqrt(n-1))_(n\in\IN) eine Nullfolge ist.
4.4 Teilfolgen und Häufungspunkte 4.4.1 Was ist eine Teilfolge? Die Definition__ am Anfang: Unter einer Teilfolge verstehen wir folgendes: Sei ((a_n))_(n\el\ \IN) eine beliebige Folge und \phi2:\IN->\IN eine streng monotone Abbildung, das heißt es gelte \phi2(m)>\phi2(n) \forall\ m, n\el\ \IN mit m>n. Dann nennen wir die Folge ((a_(\phi2(k))))_(k\el\ \IN) eine Teilfolge von ((a_n))_(n\el\ \IN). In den meisten Fällen setzen wir n_k:=\phi2(k) und schreiben ((a_n_k))_(k\el\ \IN) statt ((a_(\phi2(k))))_(k\el\ \IN). Das klingt erstmal kompliziert. Ist es aber gar nicht. Wir versuchen es mal anschaulich zu erklären, was es mit diesen k's auf sich hat. :-D Also nehmen wir mal die Folge a_n=n . Setzt man für n nacheinander die natürlichen Zahlen ein, so erhält man ja die Folgenglieder der Folge. Also ((a_n))=(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...). Nun kann man ja einschränken, was man für n einsetzen möchte. Dann sagt man sich: Ich möchte nur gerade natürliche Zahlen einsetzen. Also würde man die Teilfolge (2, 4, 6, 8, ...) erhalten. Dies muss man natürlich mathematisch irgendwie aufschreiben und dafür sind diese k's gut, wenn wir das mal so salopp ausdrücken dürfen. Man will für n ja nur gerade natürliche Zahlen einsetzen. Wie erhält man eine gerade natürliche Zahl? Klar, wenn man eine natürliche Zahl k\el\ \IN mit zwei multipliziert. Also ist n_k=2k. Sprich: ((a_n_k))=((a_2k))=(2, 4, 6, 8, ...) Ist euch klar, warum? Denn das k durchläuft jetzt die natürlichen Zahlen. Für k=1 ergibt sich n_1=2*1=2. Für k=2 ergibt sich n_2=2*2=4 Für k=3 ergibt sich n_3=2*3=6 ... Das sind jetzt die neuen n's, die man in die Folge einsetzen muss. Und damit erhält man also die Teilfolge ((a_n_k))=(2, 4, 6, 8, ...) Frage an die Leser: Wie erhält man die Teilfolge (1, 3, 5, 7, ...) ? Wie lautet dann n_k ?
Vielleicht noch ein (Beispiel:)__ Wir betrachten die Folge b_n:=(-1)^n. Welche Teilfolgen besitzt diese Folge? Dies ist sehr leicht, denn die Folgenglieder lauten doch (1, -1, 1, -1, ...). Es gibt also die Teilfolgen (1, 1, 1, ...) und (-1, -1, -1, ...). Aber wie schreiben wir dies denn nun auf? Wir definieren uns wieder n_k erstmal als n_k:=2k und erhalten damit nur gerade Exponenten, die wir für n in b_n=(-1)^n einsetzen. Also ist n_1=2*1=2, n_2=2*2=4 usw. und damit ((a_2k))=((-1)^(2k))=(1, 1, 1, 1, ...). Und schon haben wir unsere erste Teilfolge. Die zweite bestimmen wir ganz ähnlich. Hier gilt dann nun n_k:=2k-1 und entsprechend n_1=2*1-1=1,n_2=2*2-1=3, ... Analog ergibt sich jetzt die zweite Teilfolge ((a_(2k-1)))=((-1)^(2k-1))=(-1, -1, -1, -1, ...). Ach, doch noch was "Exotisches". Wir betrachten die Folge c_n:=cases(1/n, falls n gerade;n,falls n ungerade). Diese Folge ist unbeschränkt. Sie besitzt aber Teilfolgen und eine davon, nämlich ((a_(n_k)))_(k\el\ \IN)=((a_(2k)))_(k\el\ \IN)=(1/2k)_(k\el\ \IN) ist sogar konvergent gegen 0.
4.4.2 Was versteht man unter einem Häufungspunkt? (Definition des Häufungspunktes:)____ Eine reelle Zahl x heißt Häufungspunkt__ einer reellen Zahlenfolge ((a_n))_(n\el\ \IN), wenn es eine Teilfolge ((a_(n_k)))_(k\el\ \IN) von ((a_n))_(n\el\ \IN) gibt, die gegen x konvergiert. Betrachten wir die beiden Folgen aus Abschnitt 4.4.1, dann können wir ganz schnell Häufungspunkte von Folgen angeben. Betrachten wir also nochmals die Folge a_n=n. Hier hatten wir z.B. die Teilfolge ((a_2k))=(2, 4, 6, 8, ...) angegeben. Wir brauchen uns aber gar nicht die Mühe zu machen, nach einem Häufungspunkt zu suchen, denn dieser kann doch gar nicht existieren, denn die Folge a_n=n ist uneigentlich konvergent. Wie kann es dann einen Häufungspunkt, geschweige denn eine konvergente Teilfolge, geben? Betrachten wir also die Folge b_n:=(-1)^n. Auch diese Folge ist divergent. Dennoch können wir hier zwei Häufungspunkte angeben. In Abschnitt 4.4.1 haben wir nämlich zwei konvergente Teilfolgen gefunden, nämlich ((b_2k))=(1, 1, 1, ...) bzw. ((b_(2k-1)))=(-1, -1, -1, ...). Beide Folgen sind konvergent. Die eine konvergiert gegen 1 und die andere gegen -1. Und genau das ist der Grund, warum b_n divergent ist. Eine konvergente Folge kann nämlich nur genau einen Häufungspunkt besitzen, und genau das ist der Grenzwert der Folge. Denn was passiert, wenn eine konvergente Folge zwei Häufungspunkte besitzen würde? Klar, das ist absurd, da es nicht möglich ist. Aber warum ist das nicht möglich? Ganz einfach: In einer Epsilon\-Umgebung des ersten Häufungspunktes würden ja fast alle Folgenglieder der Folge liegen, dann blieben für die Epsilon\-Umgebung des zweiten Häufungspunktes aber nur noch endlich viele Folgenglieder übrig. Gerade das widerspricht aber der Definition des Häufungspunktes. Wir kommen nun aber erst zu einem sehr wichtigen Satz. Er hat einen eigenen Abschnitt verdient.
4.4.3 Der Satz von Bolzano-Weierstraß \big\ \darkblue\ Jede beschränkte Folge besitzt mindestens eine konvergente Teilfolge \(d.h. mindestens einen Häufungspunkt). Für einen Beweis verweisen wir auf einschlägige Analysisbücher. :)
4.5 Konvergenzkriterien für Folgen In diesem Abschnitt wollen wir einige Sätze und Hilfestellungen geben, um zu entscheiden, ob eine Folge konvergiert oder divergiert. Bevor wir mit den Konvergenzkriterien beginnen können, benötigen wir noch eine Definition der Monotonie von Folgen: (Monotonie von Folgen:)____ Eine reelle Folge (a_n) heißt (monoton (streng monoton) wachsend)__, falls \forall\ n\el\ \IN: a_n<=a_(n+1) (a_n=a_(n+1) (a_n>a_(n+1)).
4.5.1 Beschränktheit als notwendiges Kriterium Dies hatten wir schon oft angedeutet: Die Beschränktheit ist ein notwendiges Kriterium für die Folgenkonvergenz. D.h. wenn eine Folge konvergiert, muss sie auf jeden Fall beschränkt sein. Das bedeutet aber auch wiederum: \big\ Wenn eine Folge nicht beschränkt ist, kann sie nicht konvergent sein. Es bedeutet aber nicht__, dass eine beschränkte Folge unbedingt konvergent sein muss. So ist zum Beispiel \(wie wir schon gesehen haben) die Folge a_n=(-1)^n nach oben durch 1 und nach unten durch -1 beschränkt, aber nicht konvergent, da sie zwei Häufungspunkte besitzt. Was liefert uns also dieses Kriterium? Ganz leicht: Erstmal bietet es sich an, zu überprüfen, ob eine gegebene Folge überhaupt beschränkt ist. So kann man ganz leicht sagen, dass a_n=n nicht konvergent sein kann, da sie eben nicht beschränkt ist. Der Beweis dieses notwendigen Kriteriums befindet sich in Abschnitt 4.2.3.
4.5.2 Satz der monotonen Konvergenz Nun zu einem wichtigen Satz, den wir in Abschnitt 4.6 laufend verwenden werden. \big\ Eine monoton wachsende \(fallende) Folge reeller Zahlen ist genau dann konvergent, wenn sie nach oben \(nach unten) beschränkt ist. \big\ \darkblue\ Beweis: Da es sich um eine Äquivalenzaussage handelt, müssen zwei Richtungen bewiesen werden: Wir zeigen hier nur den Fall der monoton wachsenden Folge. Der Fall der monoton fallenden Folge ist analog zu behandeln. Bzw. genügt es hier, denn eine Folge ((a_n)) ist genau dann monoton fallend \(bzw. nach unten beschränkt), wenn (-a_n) monoton wachsend \(bzw. nach oben beschränkt ist). Die Richtung "=>" zeigt sich eigentlich von selbst. Voraussetzung ist, dass wir eine monoton wachsende und konvergente__ reelle Zahlenfolge haben. Da sie konvergent ist, muss sie auch beschränkt sein, denn die Beschränktheit ist \(wie wir eben gerade gesehen haben) ein notwendiges Kriterium für die Folgenkonvergenz. Damit haben wir die erste Richtung ohne Probleme gezeigt. "<==": Wir zeigen nun: Eine monoton wachsende und beschränkte Folge reeller Zahlen ist konvergent. Es sei a:=sup|menge(a_n | n\el\IN). Da a die kleinste obere Schranke der Folge ((a_n)) ist, existiert zu jedem \epsilon>0 ein a_N mit a-\epsilon=N. Außerdem ist a_n=N und damit die Konvergenz der Folge. Damit haben wir nun wirklich alles gezeigt und wir können einen wunderschönen und sehr nützlichen Satz im Folgenden verwenden. Ein einfaches \big\ \darkblue\ Korollar: Für monotone wachsende Folgen gilt stets lim(n->\inf,a_n)=sup|menge(a_n | n \el\IN) \el\IR\union\ menge(\inf) Was bedeutet das? Ganz einfach: Eine monoton wachsende Folge ((a_n)) konvergiert gegen ihr Supremum, wenn die Folge nach oben beschränkt ist, andernfalls konvergiert sie gegen \inf. Sie konvergiert dann uneigentlich. Entsprechend kann man das Korollar für monoton fallende Folgen aufschreiben: lim(n->\inf,a_n)=inf|menge(a_n | n \el\IN)\el\IR\union\ menge(-\inf)
4.5.3 Cauchy-Folge (Definition einer Cauchy\-Folge:)____ Eine Folge reeller Zahlen heißt Cauchy\-Folge, wenn folgendes gilt: \forall\ \epsilon>0 \exists\ n_0\el\ \IN: abs(a_n-a_m)<\epsilon \forall\ m, n>=n_0. Wo ist jetzt der Unterschied zur "normalen" Folgenkonvergenz? Der Unterschied besteht darin, dass wir bei der Definition der Cauchy\-Folge nicht den Grenzwert kennen müssen, denn abs(a_n-a_m) misst den Abstand zwischen zwei beliebigen Folgengliedern. Wie wertvoll dieser Begriff ist, werden wir noch sehen. \big\ \darkblue\ Lemma: Jede Cauchy\-Folge ist beschränkt. \big\ \darkblue\ Beweis: Sei ((a_n)) eine Cauchy\-Folge und N der laut Definition zu \e=1 existierende Index n_0(\e), ab dem der Abstand beliebiger Folgenglieder kleiner als 1 ist. Für alle n>=N gilt dann \(indem wir in der Definition m=N wählen): abs(a_n)=abs(a_n-a_N+a_N)<=abs(a_n-a_N)+abs(a_N)<1+abs(a_N) Für alle n\el\IN folgt daraus: abs(a_n)<=max|menge(abs(a_1), ..., abs(a_(N-1)), abs(a_N)+1) => Die Folge ist beschränkt. \bigbox
4.5.4 Konvergenzkriterium nach Cauchy Nun zu einem notwendigen und hinreichenden Kriterium für die Konvergenz einer Folge: \big\ Eine reelle Folge ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchy\-Folge ist. \big\ \darkblue\ Beweis: Auch hier sind zwei Richtungen zu beweisen: "=>": Wir gehen davon aus, dass die Folge ((a_n)) konvergent ist und zeigen, dass sie eine Cauchy\-Folge ist. Da die Folge konvergent ist, existiert zu jedem \epsilon >0 ein n_0\el\IN mit abs(a_n-a)<\epsilon/2 \forall\ n>=n_0. Daraus folgt: abs(a_n-a_m)=abs(a_n-a+a-a_m) <= abs(a_n-a)+abs(a-a_m) <=\epsilon/2 + \epsilon/2=\epsilon \forall\ m, n>=n_0. Das wiederum bedeutet aber, dass die Folge eine Cauchy\-Folge ist, und das hatten wir zu zeigen. "<==": Nun sei ((a_n)) eine Cauchy\-Folge. Wir zeigen, dass sie dann auch konvergent ist. Nach dem Lemma von oben ist die Cauchy\-Folge erstmal beschränkt. Und nach dem Satz von Bolzano\-Weierstraß existiert mindestens eine konvergente Teilfolge \(d.h. sie hat mindestens einen Häufungspunkt). Es gelte also etwa lim(k->\inf,a_((n_k)))=a. Wir zeigen, dass sogar die gesamte Folge gegen a konvergiert, also lim(k->\inf,a_((n_k)))=a=lim(n->\inf,a_n). Zu \epsilon >0 existiert nämlich ein k_0 \el\ \IN mit: (1) abs(a_((n_k))-a)<\epsilon/2 \forall\ k>=k_0 \(nach Definition der konvergenten Teilfolge) Da die Folge eine Cauchy\-Folge ist, existiert ein N\el\ \IN mit: (2) abs(a_n-a_m)<\epsilon/2 \forall\ m, n>=N. Insgesamt ergibt sich also \forall\ n>=n_0:=max|menge(N, n_((k_0))): abs(a_n-a)=abs(a_n-a_((n_0))+a_((n_0))-a)<=abs(a_n-a_((n_0)))+abs(a_((n_0))-a)<= \epsilon/2 (nach (2)) + \epsilon/2 (nach (1))=\epsilon Das heißt aber Konvergenz! Damit haben wir alles gezeigt. \bigbox Bei Cauchy\-Folgen muss man dennoch etwas "vorsichtig" sein. Man kann sich leicht Beispiele für eine Folge überlegen, für die abs(a_n-a_(n+1)) eine Nullfolge ist, also so ähnlich wie Cauchy ausschaut, aber nicht konvergent ist. Beispiele hierfür sind z.B. die Partialsummen der harmonischen Reihe oder etwa ((a_n))_(n\el\ \IN)=(log n)_(n\el\ \IN) Hierzu zeigen wir mittels des Cauchy\-Kriteriums, dass die Folge ((a_n))_(n\el\ \IN):=sum(1/k,k=1,n) divergent ist. Für die Divergenz ist zu zeigen: \exists\e>0 \forall\ n_0\el\IN \exists\ m>n>=n_0: abs(a_m-a_n)=abs(sum(1/k,k=n+1,m))>\epsilon. Wähle \epsilon:=1/2 und n_0 \el\ \IN beliebig. Wähle dann n:=n_0 und m:=2n. Dann gilt m>n>=n_0 und abs(sum(1/k,k=n+1,m))=1/(n+1)+...+1/(2n)>n*1/(2n)=1/2=\epsilon. Anmerkung und Hinweis für den nächsten Artikel: Die Folgenglieder der Folge sind die Partialsummen der harmonischen Reihe. Wir haben also gerade nachgewiesen, dass die harmonische Reihe divergent ist. Dazu im 5. Teil mehr. Allgemeiner sollten wir noch erwähnen, dass bei der Cauchy\-Bedingung n und m beliebig weit auseinander müssen, damit die Konvergenz folgt.
4.6 Rekursiv definierte Folgen Wir haben oben schon gesehen, dass Folgen auch rekursiv definiert sein können. Aber wie bestimmt man von diesen rekursiv definierten Folgen den Grenzwert? Wie kann man Aussagen darüber treffen, ob die rekursiv definierte Folge konvergiert oder nicht? Diesen Fragen wollen wir in diesem Abschnitt nachgehen. Wir nähern uns nun dieser Frage und beantworten sie zunächst mit einigen Beispielen: \big\ Beispiel 1: Zeige, dass die durch a_(n+1):=(a_n)/2+1 rekursiv definierte Folge konvergiert und bestimme ihren Grenzwert. Der Startwert sei a_0:=1. Wir stellen uns einfach erstmal blöd und gehen davon aus, dass die Folge gegen den Grenzwert a konvergiere. Dann gilt also lim(n->\inf,a_n)=a bzw. auch lim(n->\inf,a_(n+1))=a. Insgesamt erhalten wir also eine einfache Gleichung und können den möglichen Grenzwert bestimmen: a=a/2+1 <=>2a=a+2 <=> a=2 Wenn die Folge konvergiert, dann also gegen 2. Warum haben wir das Ganze jetzt vorher schon gemacht? Ganz einfach. Wir zeigen jetzt einfach, dass die Folge nach oben durch 2 beschränkt und streng monoton wachsend ist. Dann folgt sofort die Konvergenz der Folge \(siehe dazu Abschnitt 4.5). Wir hätten natürlich auch erstmal durch Einsetzen von ein paar Werten eine obere Schranke ermitteln können. So ist ja z.B. auch 3 oder 518 eine obere Schranke der Folge. Dennoch bietet sich erstmal an, den möglichen Grenzwert der Folge in Gedanken oder auf einem Schmierzettel zu berechnen. \squaredot \big\ Nachweis der Beschränktheit Für müssen zeigen, dass a_n<=2 für alle n\el\ \IN. Und wenn wir etwas für alle natürlichen Zahlen zeigen sollen, bietet sich doch die Induktion an. Also fangen wir an: \light\ Induktionsanfang für n=0 Dort müssen wir also a_0 angeben. Dies ist aber gerade unser Startwert, also gilt doch a_0=1<=2. Der Induktionsanfang ist damit erfüllt. \light\ Induktionsschritt: Von n auf n+1 Wir müssen zeigen, dass a_(n+1)<=2 und zwar unter der Induktionsvoraussetzung (IV), dass a_n<=2. Wir setzen an: a_(n+1)=(a_n)/2+1 Nun folgt nach Induktionsvoraussetzung: a_(n+1)=(a_n)/2+1 <=2/2+1=1+1=2. Auch der Induktionsschritt ist damit erfüllt. \squaredot \big\ Nachweis der Monotonie Wenn es uns jetzt noch gelingt, zu zeigen, dass die Folge monoton wachsend ist, so haben wir die Konvergenz gezeigt. Wir müssen zeigen, dass a_(n+1)>=a_n oder das dazu gleichwertige a_(n+1)-a_n>=0. Also: a_(n+1)-a_n=(a_n)/2+1-a_n=1-(a_n)/2=(2-a_n)/2>=0 Also ist die Folge auch monoton wachsend und die Folge konvergiert insgesamt gegen 2. An dieser Stelle könnten wir jetzt also wie oben den Grenzwert ausrechnen, da wir wissen, dass er existiert.
\big\ Beispiel 2: Zeige, dass die rekursiv durch a_(n+1):=(2*(a_n)^2)/(1+(a_n)^2) definierte Folge für alle Startwerte a_1>0 konvergiert und bestimme ihren Grenzwert. Hier treten jetzt zwei "Besonderheiten" auf. Erstmal ist kein konkreter Startwert gegeben. Es kann also durchaus sein, dass die Folge für bestimmte Startwerte gegen einen Grenzwert a und für andere Startwerte gegen einen anderen Grenzwert konvergiert. Oder vielleicht ist sie bei bestimmten Startwerten auch divergent? Alles ist möglich. Fangen wir wieder \(nicht ganz korrekt, aber um einen Überblick zu erhalten) erstmal so an, indem wir annehmen, dass die Folge konvergiert. Dann würde für einen möglichen Grenzwert gelten: a=(2*a^2)/(1+a^2) <=> a*(1+a^2)=2*a^2 <=> a+a^3-2a^2=0 <=> a(a^2-2a+1)=0 Ein Produkt wird Null, wenn einer der Faktoren Null wird: a=0 \or\ a^2-2*a+1=0 Und damit: a_1=0 a_2,3=1+-sqrt(1-1)=1 Damit ergeben sich zusammenfassend als mögliche Grenzwerte a_1=0 und a_2=1 Wir wissen aber, dass eine Folge, wenn sie konvergiert, niemals zwei Grenzwerte besitzen kann. Heißt das jetzt, dass die Folge nicht konvergiert? Oder konvergiert die Folge vielleicht für bestimmte Anfangswerte gegen 0 und für andere gegen 1? Wir zeigen, dass die Folge für alle Startwerte a_1>0 konvergiert. \big\ \darkblue\ Behauptung: Die Folge konvergiert für alle Startwerte a_1>0 \squaredot \big\ Beschränktheit nachweisen Wir zeigen, dass a_n>=0, also dass die Folge nach unten durch 0 beschränkt ist, mittels Induktion. \light\ Induktionsanfang: Für n=1 ist die Voraussetzung a_1>0 mit dem zu Zeigenden identisch. Der Induktionsanfang ist erbracht. \light\ Induktionsschritt: Wir zeigen, dass a_(n+1)>=0 unter der Induktionsvoraussetzung (IV) a_n>=0. a_(n+1)=(2*(a_n)^2)/(1+(a_n)^2)>=0 (sogar ohne (IV)) Damit ist alles gezeigt. Entscheidend ist hier also der Induktionsanfang! Denn auch für a_1<0 ist stets a_n>=0 für alle n>=2. \squaredot \big\ Nachweis der Monotonie: Wir zeigen, daß die Folge monoton fallend ist. Aus der Voraussetzung \forall\ n\el\IN: a_n>=0 und dem selbstverständlichen \forall\ n\el\IN: (a_n-1)^2>=0 folgt wegen der Monotonie der Multiplikation \forall\ n\el\IN: a_n*(a_n-1)^2>=0 und das ist \(wie elementare Umformungen zeigen) gleichwertig mit \forall\ n\el\IN: a_n>=(2*a_n^2)/(1+a_n^2) Nach Definition ist die rechte Seite aber gleich a_(n+1), also gilt \forall\ n\el\IN: a_n>=a_(n+1), was bedeutet, daß die Folge monoton fallend ist. Also ist die Folge auch konvergent. Als Übungsaufgabe solltet ihr das Folgende beweisen: \big\ \darkblue\ Behauptung: Für Startwerte 0=1 konvergiert sie gegen 1.
\big\ Beispiel 3: Wir betrachten die rekursiv definierte Folge a_(n+1):=ln(1+a_n) mit a_1=1. Wir tun auch hier erstmal wieder so, als wäre die Folge konvergent. D.h., es würde lim(n->\inf,a_n)=lim(n->\inf,a_(n+1))=a gelten. Dann würden wir folgenden möglichen Grenzwert erhalten: a=ln(1+a) <=> e^a=e^ln||((1+a)) <=> e^a=1+a Diese Gleichung ist nur für a=0 erfüllt. Es liegt also nahe zu vermuten, dass die Folge nach unten durch 0 beschränkt ist, dass also a_n>=0 für alle n\el\ \IN gilt. Auch hier weisen wir dies mittels Induktion wieder nach: \squaredot \big\ Nachweis der Beschränktheit: \light\ Induktionsanfang für n=1 Mit unserem Startwert a_1=1 folgt a_1=1>=0. Der Induktionsanfang ist also erfüllt. \light\ Induktionsschritt: Von n auf n+1 Wir zeigen a_(n+1)>=0 unter der Induktionsvoraussetzung, dass a_n>=0 für ein n wahr ist. a_(n+1)=ln(1+a_n)>=0. Dies folgt sofort aus der Induktionsvoraussetzung und aus den Eigenschaften der Logarithmusfunkion. Damit ist also auch der Induktionsschritt erbracht und die Behauptung bewiesen. \squaredot \big\ Nachweis der Monotonie Wir zeigen, dass die Folge monoton fallend ist. Hieraus und aus der Beschränktheit folgt dann sofort die Konvergenz der Folge, da eine monoton fallende Folge genau dann konvergiert, wenn sie nach unten beschränkt ist. Wir müssen a_(n+1)<=a_n bzw. a_(n+1)-a_n<=0 zeigen. Wir verwenden a_(n+1)<=a_n: Mit der Ungleichung ln(1+x)<=x für x>=-1 ergibt sich auch ln(1+a_n)<=a_n und damit die Behauptung. \stress\ Anmerkung: Die Ungleichung ln(1+x)<=x für x>-1 könnt ihr ganz leicht zeigen, wenn ihr erstmal zeigt, dass 1+x<=exp(x). Aber vielleicht ist das erst was, wenn ihr euch mit Reihen auskennt bzw. die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion kennt. Aber es gibt durchaus andere Wege, das zu zeigen. Also versucht euch daran.
\big\ Beispiel 4: Wir betrachten die rekursiv definierte Folge a_(n+1):=1/2*a_n+2 mit a_0<=4 und zeigen, dass sie konvergiert. Wir gehen analog wie bei den drei anderen Beispielen vor und überlegen uns zunächst, welchen Grenzwert wir im Falle der Konvergenz der Folge erhalten würden. a=1/2*a+2 <=> 2a=a+4 <=> a=4 \squaredot \big\ Beschränktheit Wir zeigen \(wieder mit Induktion), dass a_n<=4. \light\ Induktionsanfang für n_0: Es gilt nach Voraussetzung a_0<=4. Der Induktionsanfang ist also erbracht. \light\ Induktionsschritt: Von n auf n+1 Wir zeigen a_(n+1)<=4 unter der Induktionsvoraussetzung (IV), dass a_n<=4 für ein n wahr ist. a_(n+1)=1/2*a_n+2 <= (IV) 2+2=4 Damit ist alles gezeigt. \squaredot \big\ Monotonie Wir zeigen, dass die Folge monoton wachsend ist, also a_(n+1)-a_n>=0. a_(n+1)-a_n=1/2*a_n+2-a_n=2-1/2*a_n=(4-a_n)/2>=0, da a_n<=4. => Die Folge konvergiert gegen 4, also lim(n->\inf,a_n)=4.
\big\ Beispiel 5: Man beweise, dass die durch a_1:=sqrt(2), a_(n+1)=sqrt(2+a_n) rekursiv definierte Folge konvergiert und berechne ihren Grenzwert. Angenommen, die Folge konvergiert, dann gilt lim(n->\inf,a_n)=lim(n->\inf,a_(n+1))=a und damit: a=sqrt(2+a) => a^2=2+a <=> a^2-a-2=0 => a_1,2=1/2+-sqrt(1/4 +2)=1/2 +-3/2 =>a_1=2, a_2=-1 a_2=-1 scheidet als möglicher Grenzwert aus. \squaredot \big\ Beschränktheit: Zu zeigen, a_n<=2 für alle n\el\ \IN. \light\ Induktionsanfang für n=1 a_1=sqrt(2)<=2 Induktionsanfang erbracht. \light\ Induktionsschritt: Von n auf n+1 Zu zeigen a_(n+1)<=2 unter Induktionsvoraussetzung (IV) a_n<=2. a_(n+1)=sqrt(2+a_n)<=sqrt(2+2)=sqrt(4)=2 Induktionsschritt auch erbracht. Behauptung gezeigt. \squaredot \big\ Monotonie: Die Folge ist monoton wachsend, d.h. \forall\ n\el\IN: a_(n+1)>=a_n, denn: Zu zeigen ist a_(n+1)=sqrt(2+a_n)>=a_n. Mittels vollständiger Induktion zeigt man zunächst leicht \forall\ n\el\IN: 2+a_n>=0, danach \(wieder induktiv) ebenso leicht \forall\ n\el\IN: a_n>=0. Daraus folgt nun, daß das zu Zeigende mit 2+a_n>=a_n^2 gleichwertig ist. Weitere Äquivalenzumformungen ergeben <=> a_n^2-a_n-2<=0 <=> (a_n-1/2)^2-9/4<=0 Diese Ungleichung ist gleichwertig mit (a_n+1)*(a_n-2)<=0. Wegen des bereits gezeigten a_n<=2 und wegen des bereits weiter oben gebrauchten a_n>=0 \(aus dem ja leicht a_n+1>=0 folgt) ist sie für alle n\el\IN erfüllt. Also ist die Folge monoton wachsend. => Die Folge konvergiert gegen 2.
Wir wollen auf eins nochmal \big\ \red\ ausdrücklich hinweisen: Es reicht natürlich nicht, einfach nur den Grenzwert nach obigem Muster zu berechnen und zu sagen, dass die Folge doch konvergent gegen diesen Grenzwert sein muss. Warum das nicht ausreicht, zeigt folgendes Gegenbeispiel: Wir betrachten die rekursiv durch a_(n+1):=(a_n)^2 definierte Folge . Diese ist mit Sicherheit nicht konvergent, wenn der Betrag des Startwertes größer als 1 ist. Die Folge scheint unter dieser Voraussetzung nicht beschränkt zu sein, und Beschränktheit ist nun mal ein notwendiges Kriterium für die Konvergenz einer Folge. Wenn wir den Grenzwert nach obigem Schema aber berechneten, erhielten wir a=a^2 und dies ist für a=0 und für a=1 erfüllt. Man kann also "was" ausrechnen, aber die Folge ist nicht konvergent. Was lernen wir daraus? \big\ Bei rekursiv definierten Folgen weist ihr erstmal nach, dass die Folge beschränkt und monoton ist, und könnt dann den Grenzwert berechnen, da man aus Monotonie und Beschränktheit Folgenkonvergenz folgern kann.
4.7 Abschätzungskatalog In diesem Abschnitt wollen wir einige Abschätzungen angeben, die man vor allem beim Epsilon-Delta-Beweis immer wieder mal verwenden kann. Natürlich gibt es kein Rezept für Abschätzungen, vor allem Erfahrung und Übung helfen meistens weiter. Dennoch soll euch dieser kleine "Katalog" helfen, bei der einen oder anderen Aufgabe vielleicht Ähnlichkeiten zu entdecken. :-) \squaredot \big\ Nach Möglichkeit Ausdrücke auf einen Bruch schreiben -> durch Erweitern -> durch Anwendung der dritten binomischen Formel \(z.B. bei Ausdrücken der Form sqrt(n+1)-sqrt(n)=((sqrt(n+1)-sqrt(n))*(sqrt(n+1)+sqrt(n)))/(sqrt(n+1)+sqrt(n)) =(n+1-n)/(sqrt(n+1)+sqrt(n))=1/(sqrt(n+1)+sqrt(n)) ...) \squaredot \big\ Brüche können auf zwei Arten abgeschätzt werden \(bei <= \- Abschätzungen, also bei Abschätzungen nach oben) -> Vergrößern des Zählers Z.B. (3n-2)/n^2<=3n/n^2 oder, wenn bei einer Folge 1<=n gilt: (3n+1)/n^2<=(4*n)/n^2 Dadurch kann man oft sehr gut abschätzen. -> Verkleinern des Nenners Z.B 1/(sqrt(n+1)+sqrt(n)) <= 1/(2*sqrt(n)), da sqrt(n+1)>sqrt(n) -> aber auch Kürzen möglich, Anwendung von de l'Hospital, gegen 1/n \(oder Ähnliches) abschätzen ... -> Wenn Zähler \(>0) <= Nenner \(>0), dann Zähler/Nenner<=1 Z.B.: abs(xy)/(x^2+y^2)<(2*abs(xy))/(x^2+y^2) <=1, denn: <=> 2*abs(xy)<=x^2+y^2 <=> 0<=x^2-2*abs(xy)+y^2 <=> 0<=(abs(x)-abs(y))^2, und dies ist erfüllt. \squaredot \big\ Abschätzen mit Beträgen -> \(Möglichst) nicht im Betrag abschätzen: Z.B. ist abs(x-2)<=abs(x) Quatsch, denn konstruieren wir ein Beispiel mit x=1/2, dann ergibt sich einerseits abs(x-2)=abs(-3/2)=3/2, aber abs(x)=1/2; und 3/2 ist mit Sicherheit nicht__ kleiner als 1/2. -> Entscheidend bei Beträgen kann die Dreiecksungleichung sein. Wir wiederholen sie nochmals, eine Herleitung findet ihr Kapitel 3: abs(x+y)<=abs(x)+abs(y) und die entsprechend analoge: abs(abs(x)-abs(y))<=abs(x-y) Wie gesagt: Die Beweise befinden sich in Kapitel 3. \squaredot \big\ Einige Ungleichungen \big\ \darkblue\ Bernoullische Ungleichung: Für x>-1 gilt (1+x)^n>=1+n*x oder allgemeiner: produkt((1+x_k),k=1,n)>=1+sum(x_k,k=1,n). Es gibt noch sehr viele weitere wichtige Ungleichungen. Es ist jeder selbst aufgefordert, hier weitere Ungleichungen zu ergänzen. Wir wollen dies hier nicht fortführen, da wir eh welche vergessen würden. Also schickts uns Änderungsvorschläge. \squaredot \big\ Abschätzungen für exp(x) und ln(x) -> exp(x)>=1+x -> für x<1: exp(x)<1/(1-x) Diese werden wir noch beweisen, wenn wir die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion kennen. \big\ Ein ausführliches Beispiel: Wir behaupten \forall\ x, y\el\ \IR gilt abs(1/sqrt(1+x^2)-1/sqrt(1+y^2))<=abs(x-y). \stress\ Anmerkung: Mit dieser Abschätzung zeigt man die gleichmäßige Stetigkeit der Funktion f(x)=1/sqrt(1+x^2) \(wir werden in Kapitel 6 noch sehen, was das genau bedeutet). Hier können wir nun einiges anwenden, was wir schon angeführt haben: abs(1/sqrt(1+x^2)-1/sqrt(1+y^2))=abs((sqrt(1+y^2)-sqrt(1+x^2))/(sqrt(1+x^2)*sqrt(1+y^2)))=(abs(sqrt(1+y^2)-sqrt(1+x^2)))/(sqrt(1+x^2)*sqrt(1+y^2)) Da nun sqrt(1+x^2)>=1 und sqrt(1+y^2)>=1 gilt, folgt: ...<=abs(sqrt(1+y^2)-sqrt(1+x^2))=abs(((sqrt(1+y^2)-sqrt(1+x^2))*(sqrt(1+y^2)+sqrt(1+x^2)))/(sqrt(1+x^2)+sqrt(1+y^2))) =abs((1+y^2-1-x^2)/(sqrt(1+x^2)+sqrt(1+y^2)))=abs((y^2-x^2)/(sqrt(1+x^2)+sqrt(1+y^2)))=abs(((x+y)*(y-x))/(sqrt(1+x^2)+sqrt(1+y^2))) =(abs(x+y)*abs(x-y))/(sqrt(1+x^2)+sqrt(1+y^2))<=abs(x-y)*(abs(x+y))/(sqrt(y^2)+sqrt(x^2))=abs(x-y)*(abs(x+y))/(abs(x)+abs(y)) <=abs(x-y)*(abs(x)+abs(y))/(abs(x)+abs(y))=abs(x-y) | | \bigbox Geht die einzelnen Schritte nochmal durch. Versteht ihr alles?
4.8 Lösungen der Übungsaufgaben Hier nun die Lösungen zu den Übungsaufgaben: Zunächst zum Abschnitt 4.3: \big\ \red\ Lösung zu Aufgabe 1: Berechne den Grenzwert der Folge a_n:=sqrt(n^2+3*n)-n. Zur Übung bestimmen wir den Grenzwert mit den Grenzwertsätzen. Ihr solltet aber auf jeden Fall gleich danach einen \epsilon\-\delta\-Beweis mit anführen. Schreiben wir also sqrt(n^2+3*n)-n etwas um. Hier verwenden wir denselben Trick wie eben, wir erweitern geschickt: ((sqrt(n^2+3*n)-n)*(sqrt(n^2+3*n)+n))/(sqrt(n^2+3*n)+n) =(n^2+3*n-n^2)/(sqrt(n^2+3*n)+n)=(3*n)/(sqrt(n^2*(1+3/n))+n) =(3*n)/(n*sqrt(1+3/n)+n)=3/(sqrt(1+3/n)+1) Der Grenzwert ergibt sich durch den Grenzübergang n->\inf, und zwar ist er lim(n->\inf,a_n)=3/2.
\big\ \red\ Lösung zu Aufgabe 2: Berechne den Grenzwert der Folge b_n:=(n;k)/n^k\.. Bei dieser Aufgabe muss man sich nur mit dem Binomialkoeffizienten auskennen. Wir haben (n;k) ja als n!/((n-k)!*k!) definiert. Kürzen liefert aber auch (n;k)=(n*(n-1)*(n-2)*...*(n-k+1))/k!\.. Hiermit ist die Aufgabe jetzt ein Kinderspiel. Es gilt also: b_n:=(n;k)/(n^k)=(n*(n-1)*(n-2)*...*(n-k+1))/(n^k*k!) =1/k! *n/n * (n-1)/n * (n-2)/n* ... *(n-k+1)/n =1/k! * (1-1/n)*(1-2/n)* ... *(1-(k+1)/n) Mit den Grenzwertsätzen folgt nach dem Grenzübergang n->\inf, dass lim(n->\inf,b_n)=1/k!\.. Um jetzt den Grenzwert der Folge c_n:=(n;3)/n^3 zu berechnen, setzen wir einfach k=3 und erhalten sehr leicht lim(n->\inf,c_n)=1/3! =1/6. Es ist trotzdem eine gute Übung, den Grenzwert der Folge c_n nochmals "zu Fuß" auszurechnen. Dies wollen wir nochmals tun. Dazu schreiben wir (n;3)/n^3 einfach etwas um: (n;3)/n^3=(n!/((n-3)!*3!))/n^3=((n*(n-1)*(n-2)*(n-3)!)/((n-3)!*3!))/n^3 =(n*(n-1)*(n-2))/(n^3*3!)=((n-1)*(n-2))/(n^2*3!) =(n^2-3n+2)/(n^2*3!)=(n^2*(1-3/n+2/n^2))/(n^2*3!) =(1-3/n+2/n^2)/3! -> 1/3! für n->\inf.
\big\ \red\ Lösung zu Aufgabe 3a: Berechne den Grenzwert der Folge ((a_n))= (2/n)_(n\in\IN). Wir können das Ganze auch als Produkt schreiben: lim(n->\inf,2/n)=lim(n->\inf,2*1/n) Nun haben wir ja die Grenzwertsätze kennengelernt. \red\ lim(n->\inf,(a_n*b_n))=lim(n->\inf,a_n)*lim(n->\inf,b_n) Des weiteren wissen wir, dass Folgendes gilt, was wir oben auch schon mal bewiesen haben: \blue\ lim(n->\inf,1/n)=0 Das schreiben wir nur noch mal formal sauber auf: lim(n->\inf,2*1/n)=lim(n->\inf,2)*lim(n->\inf,1/n)=2*0=0 Also lim(n->\inf,2/n)=0 Nun wollen wir noch anmerken, dass man eigentlich jedes "=" erkären muss. Der Prof wird immer Sätze und Definitionen in der Vorlesung geben, die man dann auch schön in den Übungsaufgaben benutzen soll. Wie das Ganze mal aussehen könnte, schreiben wir mal kurz in blau: \blue\ Gegeben sei die Folge ((a_n))=(2/n)_(n\in\IN) \blue\ Zunächst schreiben wir die Folge als Produkt, um dann Satz 2 \(z.B.) zu benutzen: \blue\ a_n=2/n=2*1/n \blue\ Nun bilden wir den Grenzwert der Folge und benutzen Satz 2: \blue\ lim(n->\inf,2/n)=lim(n->\inf,(2*1/n))=lim(n->\inf,2)*lim(n->\inf,1/n) \blue\ Nun wissen wir aus der letzten Übungsaufgabe, dass Folgendes gilt: \blue\ lim(n->\inf,1/n)=0, d.h.: (1/n)_(n\el\IN) ist eine Nullfolge! \blue\ Zusammen erhalten wir: \blue\ lim(n->\inf,2*1/n)=lim(n->\inf,2)*lim(n->\inf,1/n)=2*0=0, \blue\ das Ergebnis lautet lim(n->\inf,2/n)=0. Es kann also gut sein, dass Ihr strenge Tutoren erwischt, die wirklich haarklein bewerten. \ \big\ \red\ Lösung zu Aufgabe 3b: Berechne den Grenzwert der Folge ((a_n))=(((n+2)/sqrt(n))^2-n)_(n\in\IN). Auch hier vereinfachen wir erstmal: a_n=((n+2)/sqrt(n))^2-n=(n^2+4n+4)/n-n=(n^2+4n+4-n^2)/n=n^2/n+4n/n+4/n-n^2/n $ $=n+4+4/n-n=4+4/n Weiter gehts: lim(n->\inf,(4+4/n))=lim(n->\inf,4)+lim(n->\inf,4/n)=4+0=4 lim(n->\inf,(((n+2)/sqrt(n))^2-n))=4 \ \big\ \red\ Lösung zu Aufgabe 3c: Berechne den Grenzwert der Folge ((a_n))=((8n^11+4n^2+5)/(6n^11+12n^3+n))_(n\in\IN). a_n=(8n^11+4n^2+5)/(6n^11+12n^3+n)=(n^11(8+4/n^9+5/n^11))/(n^11(6+12/n^8+1/n^10))=(8+4/n^9+5/n^11)/(6+12/n^8+1/n^10) Nun können wir loslegen: lim(n->\inf,(8n^11+4n^2+5)/(6n^11+12n^3+n))=lim(n->\inf,(8+4/n^9+5/n^11)/(6+12/n^8+1/n^10)) Nächster Grenzwertsatz von oben: \red\ lim(n->\inf,a_n/b_n)=lim(n->\inf,a_n)/lim(n->\inf,b_n), lim(n->\inf,b_n)!=0 => ... = (8+0+0)/(6+0+0)=8/6=4/3 Das sind Punktesammler in den Klausuren !
\ \red\ \big\ Lösung zu Aufgabe 4: Man zeige, dass ((a_n))=(sqrt(n+1)-sqrt(n-1))_(n\in\IN) eine Nullfolge ist. Hier benutzen wir die Epsilon\-Definition. Sei \epsilon>0. Nun betrachten wir abs(a_n-0)=abs(a_n) abs(a_n-0)=sqrt(n+1)-sqrt(n-1)=((sqrt(n+1)-sqrt(n-1))\.(sqrt(n+1)+sqrt(n-1)))/(sqrt(n+1)+sqrt(n-1)) | | =2/(sqrt(n+1)+sqrt(n-1))<=2/sqrt(n+1)<=2/sqrt(n) Nun gilt 2/sqrt(n)<\epsilon genau dann, wenn n>4/\epsilon^2 ist. Ist dann n_0 eine natürliche Zahl größer als 4/\epsilon^2\., etwa n_0=floor(4/\e^2)+1, so gilt abs(a_n-0)<\epsilon für jedes n>=n_0. Also ist 0 der Grenzwert und die Folge eine Nullfolge. | | \bigbox
Abschluss und Literatur AAlles zur Analysis 1 und Linearen Algebra 1 in dem Buch "Tutorium Analysis 1 und Lineare Algebra 1". Das war wieder mal ein relativ langes Kapitel. Aber wir hoffen, es ist deutlich geworden, wie wichtig der Konvergenzbegriff doch ist. Wie zum Abschluss eines jeden Kapitels wollen wir auch jetzt wieder eine "Literaturempfehlung" geben: Lest so viel zu Folgen, wie ihr finden könnt, UND rechnet eine Menge an Aufgaben! Schnappt euch Bücher oder alte Übungsaufgaben oder auch Klausuren, und geht die Aufgaben durch! Es lohnt sich, versprochen. ;) Den Ausblick für das nächste Kapitel haben wir schon am Anfang gegeben. Es wird um Reihen gehen. Also, wir sehen uns demnächst wieder. Zum Schluss sei noch ein sehr großes Dank an unsere Testleser Wauzi, Wally und vor allem fru ausgesprochen, die unermütlich den Artikel Korrektur gelesen haben. Vielen Dank dafür. :)

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-> §1 Einführung und Grundlagen
-> §2 Die Beweisverfahren
-> §3 Die reellen Zahlen
-> §4 Folgen
-> §5 Reihen
-> §6 Grenzwerte und Stetigkeit
-> §7 Differenzierbarkeit
-> §8 Integration
-> §9 Besondere Reihe
-> §10 Funktionenfolgen (punktweise und gleichmäßige Konvergenz)

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: Analysis :: automatisch eingefügt und unbearbeitet :
Analysis I - §4 Folgen [von FlorianM]  
da_bounce und FlorianM schreiben: §4 Folgen Nachdem der letzte Teil Nummer 3 sehr abstrakt war, wird es jetzt wieder etwas anschaulicher werden. In diesem Artikel tauchen wir eigentlich erst richtig in die Analysis I ein. Wir werden hier das erste Mal Kontakt mit dem Unendlichen un
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"Mathematik: Analysis I - §4 Folgen" | 11 Comments
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Re: Analysis I - §4 Folgen
von: Xerdon am: Mi. 25. Februar 2009 00:50:51
\(\begingroup\)Heute Abend konnte ich nur noch kurz darüberfliegen, aber schonmal vielen Dank für die Mühe, die ihr beide euch macht! Ein paar Tricks sind auch neu für mich, sodass ich zu einer lernfähigeren Tageszeit mir den Artikel nochmal genauer ansehen werde. Gruß Xerdon\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §4 Folgen
von: Curufin am: Mi. 25. Februar 2009 01:21:31
\(\begingroup\)Hallo, ich habe es auch nur überflogen. Erst einmal ein Lob: Ihr habt viele Beispiele und Rechentricks hineingepackt. Meine Kritik: Schaut euch einmal die Kommentare zum Kapitel über die reellen Zahlen an. Dort waren sie vielleicht verfrüht, da es schwer ist die reellen Zahlen vernünftig einzuführen, ohne vorher einiges an Arbeit in die Herleitung einiger Sätze der Analysis und Algebra hineinzustecken Aber spätestens in diesem Artikel hättet ihr auf die Bedeutung der Vollständigkeit für die Konvergenz einer Folge eingehen müssen: Es gilt doch folgender Satz: \ Es sei K ein total angeordneter Körper. Folgende Aussagen sind dann äquivalent: 1. Jede nach unten beschränkte Teilmenge von K besitzt ein Infimum. 2. Jede nach oben beschränkte Teilmenge von K besitzt ein Supremum. 3. Jede nach unten beschränkte, monoton fallende Folge besitzt einen Grenzwert. 4. Jede nach oben beschränkte, monoton steigende Folge besitzt einen Grenzwert. 5. K ist archimedisch geordnet und jede Cauchyfolge konvergiert. Die Liste ist natürlich bei weitem nicht erschöpft. Man könnte noch Dedekinsche Schnitte aufnehmen oder den Zwischenwertsatz (der zugegeben thematisch hier nicht reinpasst) und bestimmt noch andere Sätze, die mir gerade nicht einfallen. Und hier hättet ihr auch ganz klar zeigen müssen, was bei Fehlen der Vollständigkeit schief geht. Z.B. existieren in der Menge der rationalen Zahlen nicht konvergente Cauchyfolgen. Im Übrigen ist die Vollständigkeit auch der Grund, wieso man problemlos Analysis auch in den komplexen Zahlen betreiben kann. \(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §4 Folgen
von: PeterTheMaster am: Mi. 25. Februar 2009 07:44:21
\(\begingroup\)du redest bei der collatz folge von einer "schleife", um das zu verdeutlichen, sollte man vielleicht noch ein paar folgenglieder angeben.\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §4 Folgen
von: Diophant am: Mi. 25. Februar 2009 08:22:12
\(\begingroup\)Hi Florian, euch ist wieder ein sehr anschaulicher und reichhaltiger Artikel gelungen. Einige Dinge fehlen mir jedoch: \ - Gilt a_n>0 \forall\ n, dann kann a_n auch mit dem Quotienten a_(n+1)/a_n auf Monotonie untersucht werden. - In 4.7 könnte man noch die AGM-Ungleichung mit aufnehmen. Dann wäre die "Trias" der Standard-Ungleichungen komplett. - Ebenfalls in 4.7 könnte man noch das Sandwich-Lemma erwähnen. Vielen Dank aber für einen insgesamt gelungenen Artikel, der sich auch gut dazu eignet, um ihn im Forum zu verlinken, gerade wegen der reichhaltigen Beispiele. Gruß, Johannes \(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §4 Folgen
von: Ex_Mitglied_24847 am: Mi. 25. Februar 2009 11:48:02
\(\begingroup\)Hab's zwar noch nicht ganz gelesen, finde es aber toll, dass mal wieder was über Analysis I kommt, ein Thema, das eigentlich so einfach und trotzdem manchmal so schwierig ist. Wer kennt das nicht aus seiner Anfängerzeit, man sitzt ewig vor einer Aufgabe, kriegt sie nicht hin und dann ist die Lösung so ersichtlich... Da freut man sich sehr über Aufgaben mit Lösungen. Außerdem ist das ein Thema, was auch für Schüler gut geeignet ist! Auf jeden Fall ein großes Dankeschön!\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §4 Folgen
von: owk am: Mi. 25. Februar 2009 15:34:39
\(\begingroup\)Im "1. Beispiel" in 4.3.2 steht: "Wir müssen dies nochmals mit unserer Definition nach weisen." Wieso? owk\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §4 Folgen
von: da_bounce am: Mi. 25. Februar 2009 21:09:46
\(\begingroup\)Guten Abend, vielen Dank erstmal für die positiven Kommentare aber auch für die Hinweise. wir haben versucht Ana I eben nicht so ganz nach Schema f wie in der volresung zu presentieren und haben bewusst manche Dinge erstmal weg gelassen. Klar man könnte auch Folgen über Metrische Räume und so herleiten aber wir wollten es so einfach wie möglich halten. Der Artikel ersetzt natürlich keine Vorlesung und auch nicht das selbstständige bearbeiten von anderen Aufgaben. Über die Vollständigkeit werden wir nochmal nachdenken ob wir das noch nachreichen. @owk ja das ist wirklich ein wenig unverständlich. Wir wollten einfach nachdem wir den GW mittels der Grenzwertsätze berechnet haben nochmal den Epsilon-Beweis führen. Da viele Studienanfänger sich immer fragen woher das n_0 kommt jedenfalls hab ich mich das anfangs häufiger gefragt,denn es fällt in der Vorlesung meist aus heiterem Himmel und für den einen oder anderen ist das eben unverständlich. @Diophant "Ebenfalls in 4.7 könnte man noch das Sandwich-Lemma erwähnen." Mal schauen ;) lg George \(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §4 Folgen
von: Anne123 am: Fr. 13. März 2009 15:04:00
\(\begingroup\)Wahnsinn, der Artikel ist einfach super. Sehr, sehr gut. DAmit kann ich einfach super lernen. Dankeschön für eure Mühe.\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §4 Folgen
von: maschi am: Sa. 28. März 2009 11:02:54
\(\begingroup\)Sehr schöner Artikel! Vielen Dank :)\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §4 Folgen
von: John_K12 am: Mi. 13. Dezember 2017 19:50:32
\(\begingroup\)Hallo, erst einmal vielen Dank fuer diese Kurzskripte! Da ist wirklich alles Notwendige enthalten. Ich habe jedoch leider keine Fortsetzung der Serie gefunden! Sprich nach: §5 Reihen war Schluss. Habe ich die Links dafuer nur nicht gefunden oder wurden keine weiteren Kurzskripte mehr geschrieben? Viele Gruesse John\(\endgroup\)
 

Re: Analysis I - §4 Folgen
von: matroid am: Mi. 13. Dezember 2017 21:30:15
\(\begingroup\)Hallo John, ja, es gibt noch einen Teil 5 über Reihen http://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1307 Dann ist aber Schluss. Gruß Matroid \(\endgroup\)
 

 
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