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 ntegration vektorwertiger Funktionen II: Das Pettis-Integral
Hallo Freunde der Funktionalanalysis. Ich habe in einem früheren Artikel schon einmal über Möglichkeiten geschrieben, vektorwertige Funktionen zu integrieren. Speziell habe ich das Bochner-Integral für Banachraum-wertige Funktionen vorgestellt, welches sich viele interessante Eigenschaften mit dem Lebesgue-Integral reellwertiger Funktionen teilt. Damals habe ich einen Ausblick auf das Pettis-Integral gegeben. Dieses möchte ich in diesem Artikel näher beleuchten.
Definition und elementare Eigenschaften
Die Idee des Pettis-Integrals ist schnell beschrieben: Mittels der stetigen Linearformen auf einem allgemeinen Raum spielt man alles auf den eindimensionalen Fall zurück. Konkret ist es wie folgt definiert:
\ll(Definition 1)
Sei (\Omega,\frakA,\mue) ein Maßraum, X ein topologischer \IK\-Vektorraum und f:\Omega\to\ X eine Abbildung.
f heißt array(schwach\-messbar)____, falls für alle \l\in\ X' die Abbildung \l\circ\ f \frakA-\frakB_\IK-messbar ist, wobei \frakB_\IK die \s\-Algebra der Borelmengen auf \IK meint.
f heißt array(Pettis\-integrierbar)____, wenn Folgendes gilt: Für alle \l\in\ X' ist \l\circ\ f Lebesgue\-integrierbar und es gibt ein x\in\ X mit:
\forall\l\in\ X': \l(x)=int(\l\circ\ f,\mue,\Omega)
solch ein x heißt array(Pettis\-Integral von f)____. Ist x eindeutig bestimmt, so schreiben wir auch int(f,\mue,\Omega) dafür.
Das Pettis\-Integral ist also ein \(der\) Vektor aus X, für den
\forall\l\in\ X': \l(int(f,\mue,\Omega))=int(\l(f),\mue,\Omega)
gilt.
Das Pettis-Integral ist i.A. nicht eindeutig bestimmt, denn es kann passieren, dass das einzige Funktional in X' das Nullfunktional ist. Dann ist natürlich jede Funktion integrierbar und jeder Vektor x ein Integral. Das ist selbstverständlich denkbar ungeeignet, um eine sinnvolle Theorie zu entwickeln.
Eine sehr große Klasse von topologischen Vektorräumen, für die so etwas allerdings nicht passieren kann, sind die hausdorffschen lokalkonvexen Vektorräume (siehe auch hier), denn für sie gilt der Satz von Hahn-Banach, der uns die Existenz genügend vieler stetiger Funktionale sichert:
\ll(Fortsetzungssätze von Hahn-Banach)
Sei X ein \IK\-Vektorraum, U<=X, \l:U\to\IK \IK\-linear und p:X\to\IR sublinear__, d.h.
\forall\ x,y\in\ X: p(x+y)<=p(x)+p(y) und
\forall\ x\in\ X\forall\a\in\[0,\inf\): p(\a\.x)=\a\.p(x)
Gilt dann eine der Bedingungen
(a) $\IK=\IR und \l(u)<=p(u) für alle u\in\ U
(b) $\IK=\IC und \frakR\frake(\l(u))<=p(u) für alle u\in\ U
(c) $X ist ein hausdorffscher, lokalkonvexer Raum und \l stetig
Dann gibt \IK\-lineare Fortsetzung \lambda^^: X\to\IK von \lambda mit
(a) $\.\l^^(x)<=p(x) für alle x\in\ X,
(b) $\frakR\frake(\l^^(x))<=p(x) für alle x\in\ X bzw.
(c) $\.\l^^ ist stetig
Den Beweis werde ich nicht vorführen. Wer Interesse hat, dem sei Dirk Werner - Funktionalanalysis empfohlen. Dort findet man den Beweis in einer allgemeinen Fassung.
Für uns bedeutsam ist eine Folgerung daraus:
\ll(Trennungssätze von Hahn-Banach)
Seien X ein hausdorffscher, lokalkonvexer \IK\-Vektorraum sowie A, B\subseteq\ X nichtleere, konvexe, disjunkte Teilmengen.
(a) $Ist B offen, dann existiert ein \l\in\ X' mit:
$ $ \forall\ b\in\ B: sup(a\in\ A,\l(a))<\l(b)
(b) $Ist A abgeschlossen und B kompakt, dann existiert ein \l\in\ X'
$ $ und \eps>0 mit:
$ $ \forall\ a\in\ A, b\in\ B: \l(a)+\eps<=\l(b)
Eine erste wichtige Folgerung für uns ist, dass X' punkttrennend__ ist, d.h. dass wir zu zwei Elementen x_1!=x_2 aus X auch stets ein \l\in\ X' finden können, sodass \l(x_1)!=\l(x_2) ist.
Insbesondere gibt es dann höchstens ein Pettis\-Integral für jede Funktion \Omega\to\ X.
Da nicht-lokalkonvexe Räume sich da wesentlich bösartiger verhalten können und mit lokalkonvexen eigentlich fast alles abgedeckt ist, was einem so unterkommt, vereinbaren wir:
Ist nichts Anderes gesagt, so gehen wir ab jetzt stets davon aus, dass X ein hausdorffscher, lokalkonvexer \IK\-Vektorraum und (\Omega,\frakA,\mue) ein Maßraum ist.
Um Verwechselungen vorzubeugen sei auch noch einmal festgehalten, dass auf topologischen Räumen X, sofern wir sie als Messraum auffassen, in diesem Artikel stets die Borel\-\s\-Algebra \frakB_X, d.h. die von allen offenen Mengen erzeugte \s\-Algebra, gemeint ist, falls wir nicht ausdrücklich etwas Anderes sagen.
Aus der Eindeutigkeit ergeben sich dann auch sofort diverse Eigenschaften des Integrals, die wir sowieso haben wollen:
\ll(Lemma 2)
Seien f,f_1, f_2: \Omega\to\ X P\-integrierbar, \a_1, \a_2\in\IK, so gilt:
(a) $\a_1\.f_1+\a_2\.f_2 ist P\-integrierbar und es gilt
$ $ int(\a_1\.f_1+\a_2\.f_2,\mue,\Omega)=\a_1*int(f_1,\mue,\Omega)+\a_2*int(f_2,\mue,\Omega)
(b) $Ist Y ein weiterer hausdorffscher, lokalkonvexer Raum und
$ $ \b:X\to\ Y linear und stetig, so gilt:
$ $ (i) $\b\circ\ f ist P\-integrierbar
$ $ (ii) int(\b\circ\ f,\mue,\Omega)=\b(int(f,\mue,\Omega))
(c) $Ist X sogar ein normierter Raum und norm(f):\Omega\to\IR messbar, so gilt
$ $ norm(int(f,\mu,\Omega))<=int(norm(f),\mu,\Omega)
\blue\ Beweis von \ref(a):
Entscheidend ist natürlich, dass die \l\in\ X' und das Lebesgue\-Integral linear sind.
Es gilt für \l\in X' beliebig:
\l(a_1*f_1+\a_2*f_2) = \a_1*\l(f_1)+\a_2*\l(f_2)
was eine Linearkombination L\-integrierbarer Funktionen, also selbst L\-integrierbar ist.
Weiter gilt:
\l(\a_1*int(f_1,\mue)+\a_2*int(f_2,\mue)) = \a_1*\l(int(f_1,\mue))+\a_2*\l(int(f_2,\mue))
| | =\a_1*int(\l(f_1),\mue)+\a_2*int(\l(f_2),\mue)
| | \small\ da f_1, f_2 integrierbar sind
| | =int(\a_1*\l(f_1)+\a_2*\l(f_2),\mue)
| | \small\ da das L\-Integral linear ist
| | =int(\l(a_1*f_1+\a_2*f_2),\mue)
| | \small\ da \l linear ist
Da \l\in\ X' beliebig war, ist also \a_1*f_1+\a_2*f_2 P\-integrierbar, \a_1*int(f_1,\mue)+\a_2*int(f_2,\mue) ist sein P\-Integral. Es gilt die behauptete Integralgleichung.
\blue\checked
\blue\ Beweis von \ref(b):
Ist \b:X\to\ Y stetig und linear und \l\in Y' beliebig, so ist natürlich \l\circ\b\in\ X', d.h. (\l\circ\b)(f) ist L\-integrierbar und
\lambda(\beta(int(f,\mue)))><=(\lambda\circ\beta)(int(f,\mue))
| | =int((\lambda\circ\beta)(f),\mue)
| | =int(\lambda(\beta\circ\ f),\mue)
Also ist \b\circ\ f P\-integrierbar und \b(int(f,\mue)) ist sein P\-Integral.
\blue\checked
\blue\ Beweis von \ref(c):
Setze I:=int(f,\mu,\Omega). Nach dem Satz vom Hahn\-Banach gibt es stetiges, lineares Funktion \lambda:X\to\IK, sodass norm(\lambda)_X'=1 und \lambda(I)=norm(I) gilt. f ist P\-integierbar, d.h. es gilt:
norm(int(f,\mu))=norm(I)
| | =\lambda(I)
| | =\lambda(int(f,\mu))
| | =int(\lambda(f),\mu)
| | <=int(abs(\lambda(f)),\mu)
| | <=int(norm(\lambda)*norm(f),\mu)
| | =int(norm(f),\mu)
\blue\ q.e.d.
Beispiele
Im Zuge der Untersuchung des Bochner-Integrals haben wir schon einmal festgestellt, dass das Pettis-Integral eine Erweiterung des Bochner-Integrals ist:
\ll(Satz)
Ist X ein Banachraum und f:\Omega\to\ X Bochner\-integrierbar, so ist f auch Pettis\-integrierbar und es gilt
B-int(f,\mu)=P-int(f,\mu)
Das bringt uns schon eine sehr reichhaltige Klasse von Beispielfunktionen. Aber wir haben im Artikel über das Bochner-Integral ebenfalls eine Funktion kennengelernt, die nicht Bochner-integrierbar ist, obwohl sie Riemann-integrierbar ist. Das Pettis-Integral vereint beide Integralbegriffe wieder:
\ll(Satz)
Sei X ein Banachraum und a0 ein \delta>0 existiert mit folgender Eigenschaft:
Ist intervall(a,b)=union(I_i,i=1,n) eine Zerlegung in nicht\-überlappende, abgeschlossene Intervalle \(d.h. I_i^opimg(\circ)\cut\ I_j^opimg(\circ)=\0 für i!=j\) mit max(i=1..n,\mu(I_i))<\delta und sind t_i\in\ I_i, so gilt
norm(x-sum(\mu(I_i)*f(t_i),i=1,n))<\eps
Dann ist f auch Pettis\-integrierbar und es gilt x=P-int(f,\mu,\[a\,b\]).
\blue\ Beweis:
Zunächst ist zu zeigen, dass für \l\in\ X' die Funktion \l\circ\ f: intervall(a,b)\to\IK Lebesgue\-integrierbar ist. Das ist einfach, denn in der Tat ist solch eine Funktion sogar Riemann\-integrierbar: Sei nämlich x\in\ X das Riemann\-Integral von f, \eps>0 beliebig und \delta>0 wie in der Voraussetzung. Dann gilt ja für jede Wahl einer Zerlegung mit Stützstellen (I_i, t_i)_(i=1..n), welche max(i=1..n,\mu(I_i))<\delta erfüllt:
norm(x-sum(\mu(I_i)*f(t_i),i=1,n))_X < \eps
=> abs(\l(x)-sum(\mu(I_i)*(\l\circ\ f)(t_i),i=1,n))=abs(\l(x-sum(\mu(I_i)*f(t_i),i=1,n)))
| | <=norm(\l)_X'*norm(x-sum(\mu(I_i)*f(t_i),i=1,n))_X
| | <=norm(\l)_X'*\eps
Also ist \l\circ\ f Riemann\-integrierbar. Für Funktionen intervall(a,b)\to\IK ist bereits bekannt, dass daraus die Lebesgue\-Integrierbarkeit und L-int(\l\circ\ f,\mu,\[a\,b\])=R-int(\l\circ\ f,x,a,b)=\l(x) folgt.
Da \l\in\ X' beliebig war, folgt also die Behauptung, dass f Pettis\-integrierbar ist.
\blue\ q.e.d.
Dieser Satz zeigt uns in Verbindung mit dem Beispiel aus dem Artikel über Bochner\-Integrale, dass eine schwach\-messbare Funktion \Omega\to\ X i.A. nicht messbar ist \(obwohl selbstverständlich nach Definition jede messbare Funktion auch schwach\-messbar ist\):
Zur Erinnerung, um welche Beispielfunktion es geht:
X:=\dsl^p(intervall(0,1)) für für 2<=p<\inf. Die Funktion f: intervall(0,1)\to\ X, f(t):=e_t ist dann Riemann\-integrierbar, also insbesondere schwach messbar bzgl. des Lebesgue\-Maßes, wie uns obiger Satz zeigt.
f ist jedoch nicht messbar, denn ist A\subseteq\ intervall(0,1) eine nicht\-messbare Menge, so wähle U:=union(B_\eps\.((e_t)),t\in\ A). Das ist offen in \dsl^p(intervall(0,1)) für jedes \eps>0.
Es gilt norm(e_s-e_t)_(\dsl^p(intervall(0,1)))=2^1\/p für alle s!=t. Wählen wir also \eps<2^1\/p, so ist U\cut\ im(f)=menge(e_t | t\in\ A) => f^(-1)(U)=A.
Also ist f nicht messbar. Alle Abbildungen \l\circ\ f sind dies jedoch. Genauer sind sie sogar stets f.ü. 0, denn X' kann in der üblichen Weise mit \dsl^q(intervall(0,1)) identifiziert werden, wobei 1/p+1/q=1.
Einem \l\in\ X' entspricht dann eindeutig einem Tupel ((y_s))_(s\in\ intervall(0,1)) mit sum(abs(y_s)^q,s\in\ intervall(0,1))<\inf. Daraus folgt insbesondere, dass y_t=0 für alle bis auf abzählbar viele t.
Da \l(f(t))=sum(y_s*(f(t))_s,s\in\ intervall(0,1))=sum(y_s*\delta_st,s\in\ intervall(0,1))=y_t gilt, ist damit auch \l\circ\ f in allen bis auf abzählbar vielen Punkt gleich 0. \(Womit auch die Pettis\-Integrierbarkeit erneut gezeigt wäre: \forall\l: int(\l\circ\ f,\mu)=0 => f P\-integrierbar und int(f,\mu)=0\)
Satz und Beweis lassen einige Verallgemeinerungen zu. So ist z.B. nirgendwo t_i\in\ I_i in den Beweis eingeflossen. Auch könnte man konsequent "Intervall" durch "Quader im \IR^m " ersetzen und würde den Beweis übernehmen können.
Selbst die Tatsache, dass \delta konstant ist, war nicht wichtig. Man könnte hier auch eine Funktion \delta: I\to(0,\inf) benutzen und \mu(I_i)<\delta durch \mu(I_i)<\delta(t_i) ersetzen. \(Spätestens hier müsste man sich allerdings Gedanken machen, ob die schwache \frakL\-Messbarkeit weiterhin gegeben ist, das ist aber der Fall [1]\)
Tut man all dies, so erhält man den Begriff des McShane\-Integrals und der analoge Beweis zeigt, dass jede McShane\-integrierbare Funktion \IR^m\supseteq\ I\to\ X auch Pettis\-integrierbar mit gleichem Integral ist \(abgesehen wie gesagt von der Messbarkeit, die man gesondert behandeln muss\).
Integrierbarkeit stetiger Funktionen mit kompaktem Träger
Nur haben wir mit unseren Beispielen bisher gar nichts gewonnen, wenn wir einen Raum ohne Norm untersuchen wollen.
Gerade da gibt es aber auch spannende Anwendungen, also können wir den Fall auch nicht einfach beiseite lassen. (Naja, wir könnten schon, aber dann gäb's eben auch keine spannenden Anwendungen für uns...)
Eine einfache, aber sehr beliebte Klasse integrierbarer Funktionen im eindimensionalen Fall sind die stetigen Funktion mit kompaktem Träger oder deutlich allgemeiner: Funktionen, die wesentlich beschränkt sind und außerhalb einer Menge endlichen Maßes verschwinden.
Wir werden zeigen in diesem Abschnitt für das Pettis-Integral zeigen, dass solche Funktionen in vielen Fällen auch Pettis-integrierbar sind.
Außerdem werden wir eine Verallgemeinerung des Mittelwertsatzes der Integralrechnung herleiten:
\ll(Satz 3)
Sei f:\Omega\to\ X P\-integrierbar. Sei C:=\mue(\Omega)<\inf. Dann ist int(f,\mue,\Omega)\in\ C*co(f(\Omega))^-.
\blue\ Beweis:
Ist \mue(\Omega)=0, so ist alles klar, da das Integral int(\l(f),\mue,\Omega) dann für alle \l\in\ X' gleich 0 ist, woraus nach Definition int(f,\mue,\Omega)=0 folgt.
Wir nehmen also C\in\(0,\inf\) an und setzen der Kürze halber I:=1/C*int(f,\mue) und M:=co(f(\Omega))^-. Wir werden I\in\ M durch einen Widerspruch zeigen.
Angenommen also I\notin\ M. Da M als Abschluss der konvexen Hülle einer Menge konvex und abgeschlossen sowie menge(I) kompakt und konvex ist, gibt es nach dem Trennungssatz von Hahn\-Banach ein \eps>0 und ein \l\in\ X', sodass
\forall\ x\in\ M: \frakR\frake(\l(I))+\eps<=\frakR\frake(\l(x))
Insbesondere gilt also:
\forall\omega\in\Omega: \frakR\frake(\l(I))+\eps<=\frakR\frake(\l(f(\omega)))
Das ist jetzt eine Ungleichung reeller Zahlen und \l(f) ist L\-integrierbar, d.h. wir können einmal drüber integrieren und erhalten:
int(\frakR\frake(\l(I))+\eps,\mue,\Omega)<=int(\frakR\frake(\l(f)),\mue,\Omega)
| | =\frakR\frake(int(\l(f),\mue,\Omega))
| | =\frakR\frake(\l(int(f,\mue,\Omega))
| | =\frakR\frake(\l(C*I))
=> C*\frakR\frake\l(I)+C*\eps<=C*\frakR\frake(\l(I))
was wegen C>0 ein Widerspruch ist. Also ist die Annahme I\notin\ M falsch.
\blue\ q.e.d.
Dass der gewöhnliche Mittelwertsatz der Integralrechnung hieraus folgt, ergibt sich daraus, dass bei Funktionen f:\Omega\to\IR der Abschluss der konvexen Hülle des Bildes genau das Intervall intervall(inf(\omega,f(\omega)),sup(\omega,f(\omega))) ist. Für stetige f:[a,b]\to\IR folgt dann mit dem Zwischenwertsatz dann die übliche Formulierung des Mittelwertsatzes:
\exists\xi\in[a,b]: f(\xi)=1/(b-a)*int(f(x),x,a,b)
\(an den Intervallgrenzen kann man bekanntlich noch etwas Feintuning betreiben\)
Kommen wir nun zum angekündigten Satz über Integrierbarkeit stetiger Funktionen mit kompaktem Träger:
\ll(Satz 4)
Sei f:\Omega\to\ X schwach messbar.
(a) $Gibt es ein konvexes Kompaktum K\subseteq\ X und A\in\frakA derart, dass
$ $ (i) $ $f(A)\subseteq\ K,
$ $ (ii) $ f_array(\|\Omega\\A)=0 \mu\-f.ü. und
$ $ (iii)$\mu(A)<\inf
$ $ gilt, dann ist f P\-integrierbar und int(f,\mu,\Omega)\in\mu(A)*K.
(b) $Gilt speziell sogar
$ $ (i) $ $X ist quasivollständig,
$ $ (ii) $ \Omega ist ein hausdorffscher topologischer Raum und \mu ist
$ $ $ $ $ $ ein Borelmaß auf \Omega
$ $ (iii)$f\in\ C_c(\Omega,X), d.h. f ist stetig und hat kompakten Träger
$ $ dann ist f P\-integrierbar.
Man beachte, dass wir die Forderung "f ist wesentlich beschränkt" ersetzt haben durch "f(A) ist in einer kompakten, konvexen Menge enthalten und f ist außerhalb von A f.ü. gleich 0". Für X=\IK^n ist das natürlich gleichwertig, da "f_\|A ist beschränkt" natürlich heißt, dass f(A) in einer abgeschlossenen Kugel um 0 mit genügend großem Radius enthalten ist, also in einer kompakten, konvexen Menge.
Im allgemeinen Fall ist es aber nicht so einfach.
\blue\ Beweis von \ref(a):
Für jedes \l\in\ X' ist \l\circ\ f nach Voraussetzung messbar, außerhalb von A f.ü. gleich 0 und \l(f(A))\subseteq\IK ist kompakt, also beschränkt. Das heißt \l(f) ist messbar und wesentlich beschränkt, also in L^\inf\.(\Omega). Da \mu(A)<\inf ist, gilt also int(abs(\l(f)),\mue,\Omega)=int(abs(\l(f)),\mu,A)<=\mu(A)*norm(\l(f))_(L^\inf)<\inf. Also ist \l(f) integrierbar für jedes \l\in\ X'.
Man überzeugt sich leicht, dass das int(f,((k\mu)),\Omega)=k*int(f,\mue,\Omega) für alle k>=0 gilt. Wir daher nehmen oBdA an, dass \mu(A)=1 ist, denn für \mu(A)=0 ist f natürlich integrierbar und für \mu(A)>0 normieren wir \mu einfach um.
Sei nun \L\subseteq\ X' eine beliebige Teilmenge. Wir definieren
M_\L:=menge(y\in\ X | \forall\l\in\L: \l(y)=int(\l(f),\mue,\Omega)) und
N_\L:=M_\L\cut\ K
Da alle \l\in\L stetig sind, ist M_\L und damit auch N_\L abgeschlossen. Außerdem gilt offensichtlich cut(M_\L_i,i)=M_(opimg(\union)_i \L_i) für alle \L_i\subseteq\ X' und deshalb natürlich auch N_\L_1\cut\ N_\L_2=N_(\L_1\union\L_2).
Wir werden jetzt zeigen, dass N_\L nichtleer ist, falls \L endlich ist. Haben wir das erstmal, so ist
menge(N_\L | \L\subseteq\ X' endlich)
eine Menge nichtleerer, abgeschlossener Teilmengen von K, deren endliche Durchschnitte sämtlich nichtleer sind. Da K kompakt ist, folgt daraus, dass auch N_X'=cut(N_\L,\L\subseteq\ X' endl.)!=\0 ist.
Insbesondere gibt es dann ein y\in\ K mit \l(y)=int(\l(f),\mue,\Omega) für alle\(\!\) \l\in\ X', d.h. f wäre P\-integrierbar und int(f,\mue)=y läge in K, wie wir behauptet haben.
Sei also \L=menge(\lambda_1, ..., \lambda_n)\subseteq\ X' eine feste, endliche Teilmenge von X'. Wir definieren L:X\to\IK^n: x\mapsto(\lambda_1(x), ..., \lambda_n(x)).
Für die Funktionen \lambda_i\circ\ f gilt jetzt, dass sie außerhalb von A f.ü. 0 sind und \lambda_i(f(A)) in der kompakten Menge \lambda_i(K) enthalten ist. Insbesondere sind die \lambda_i\circ\ f damit Lebesgue\-integrierbar und L\circ\ f somit Bochner\-integrierbar. Also gibt es einen Vektor I\in\IK^n mit
I=int(L\circ\ f,\mue,\Omega)
$=(int(\lambda_1(f),\mue,\Omega), ..., int(\lambda_n(f),\mue,\Omega))
Es gilt nun (L\circ\ f)(A)=L(f(A))\subseteq\ L(K). Da L stetig und linear sowie K kompakt und konvex ist, ist L(K) ebenfalls kompakt und konvex. => co((L\circ\ f)(A))^-\subseteq\ L(K).
Nach \ref(Satz 3) ist aber I\in\ co((L\circ\ f)(A))^-\subseteq\ L(K), d.h. es gibt ein y\in\ K mit I=L(y). In Komponenten also: \lambda_i(y)=int(\lambda_i(f),\mue,A).
Also ist y\in\ M_\L => y\in\ M_\L\cut\ K=N_\L => N_\L!=\0 wie behauptet.
\blue\checked
\blue\ Beweis von \ref(b):
Das ist jetzt einfach: Ist f\in\ C_c(\Omega,X), so setze A:=supp(f). A ist nach Voraussetzung kompakt, d.h. \mue(A)<\inf da \mue ein Borelmaß ist. Außerdem ist natürlich f_\|\Omega\\A=0.
Da f stetig ist, ist f(A)\subseteq\ X kompakt. Da X lokalkonvex und quasivollständig ist, ist dann auch K:=co(f(A))^- kompakt, konvex und enthält f(A). Somit folgt \ref(ii) aus \ref(i).
\blue\ q.e.d.
Ein komplexe Anwendung: Unendlichdimensionale Funktionentheorie
Man kann bekanntlich den Begriff der Differenzierbarkeit von Funktionen \IR\supseteq D\to\IR mit Hilfe des totalen Differentials auf Funktionen X\supseteq\ D\to Y übertragen mit Banachräumen X und Y.
Dabei ist man absolut nicht auf reelle Banachräume beschränkt. Man kann ohne Probleme diesselben Dinge auch für komplexe Vektorräume definieren und bekommt so einen Begriff der Holomorphie und so die Chance auf eine unendlichdimensionale Funktionentheorie.
Aus der eindimensionalen Funktionentheorie ist man gewohnt, dass sich Holomorphie wesentlich gutartiger verhält als reelle Differenzierbarkeit. So ist beispielsweise bekannt, dass eine holomorphe Funktion \IC\supseteq\ U\to\IC automatisch analytisch ist, sich ihre Ableitungen durch die \(verallgemeinerte\) Cauchysche Integralformel schreiben lassen etc.
Wir werden in diesem Abschnitt einen kleinen Ausblick auf die analogen Ergebnisse im beliebigdimensionalen Fall geben.
Zunächst zur Wiederholung die Definition von Holomorphie und - analog zur Messbarkeit - die Definition von schwacher Holomorphie:
\ll(Definition 5)
Seien X ein \IC\-Banachraum, Y ein topologischer \IC\-Vektorraum und U\subseteq\ X offen.
f: U\to Y heißt holomorph____, falls es für alle u\in U eine stetige, lineare Abbildung L:X\to Y gibt, sodass
(f(u+h)-f(u)-Lh)/norm(h)->0
für h->0 ist.
f heißt array(schwach holomorph)____, falls für alle \lambda\in Y' die Abbildung \lambda(f):U\to\IC holomorph ist.
In den folgenden Abschnitten werden wir Wegintegrale für Funktionen \IC\supseteq\ U\to\ X benutzen. Unsere Wege nehmen wir stets als stetig differenzierbar an. Das Integral
int(h(\zeta),\zeta,\gamma)
für einen C^1-Weg \gamma:[a,b]\to\ U ist dabei wie gewohnt als das \(Pettis\-\)Integral
int(h(\gamma(t))*\gamma||'(t),t,a,b)
zu lesen. Die Existenz wird dabei z.B. durch die Stetigkeit von h und \ref(Satz 4) abgesichert. Für x'\in\ X' gilt dann wie gehabt
x'(int(h(\zeta),\zeta,\gamma))=x'(int(h(\gamma(t))*\gamma||'(t),t,a,b))
| | = int(x'(h(\gamma(t))*\gamma||'(t)),t,a,b)
| | = int((x'\circ\ h)(\gamma(t))*\gamma||'(t),t,a,b)
| | = int(x'(h(\zeta)),\zeta,\gamma)
Holomorphe Funktionen auf C
Es stellt sich heraus, dass diese Definition (unter relativ schwachen Voraussetzungen) gar nichts Neues liefert und schwache Holomorphie dasselbe ist wie Holomorphie.
Im Gegensatz etwa zum reellen Fall, wo das analog definierte "schwach differenzierbar" (nicht zu verwechseln mit der distributionellen Differenzierbarkeit!) längst nicht Dasselbe ist wie die übliche, totale Differenzierbarkeit ist.
Erster Schritt, um das zu zeigen, ist folgendes Lemma:
\ll(Lemma 6)
Sei Y ein lokalkonvexer Raum und M\subseteq Y schwach beschränkt, d.h. für alle \lambda\in Y' ist \lambda(M) beschränkt. Dann ist M bereits im üblichen Sinne beschränkt.
\blue\ Beweis:
Sei P eine Familie von Halbnormen, die die Topologie auf Y definiert. Dann ist zu zeigen, dass \forall p\in P: p(M) beschränkt ist.
Sei also p\in\ P beliebig. Wir betrachten den Faktorraum Y_p:=Y\/||menge(y\in\ Y | p(y)=0) \(man beachte, dass menge(p=0) ein Untervektorraum ist\). p induziert auf Y_p eine Norm und die Abbildung \pi: Y\to Y_p ist bzgl. dieser Norm stetig.
Jede stetige Abbildung \lambda: Y_p\to\IK liefert eine stetige Abbildung \lambda\circ\pi: Y\to\IK, d.h. (\lambda\circ\pi)(M) ist nach Voraussetzung beschränkt. Für normierte Räume ist die Aussage bereits bekannt, d.h. \pi(M) ist beschränkt, also gibt es ein C_p>=0 mit \forall\ m\in\ M: p(m)<=C_p.
Da p beliebig war, folgt die Behauptung.
\blue\ q.e.d.
Damit beweisen wir nun folgenden Satz:
\ll(Satz 7)
Sei X=\IC, Y lokalkonvexer, hausdorffscher, quasivollständiger \IC\-Vektorraum und U\subseteq X offen. f:U\to\ Y sei schwach holomorph. Dann ist f bereits holomorph.
\blue\ Beweis:
array(Schritt 1)__: f ist stetig. oBdA nehmen wir 0\in\ U und f(0)=0 an und zeigen nur die Stetigkeit in 0.
Sei also V\subseteq\ Y eine Nullumgebung, die wir oBdA balancierend wählen.
Sei \lambda\in Y' beliebig. Wegen f(0)=0 => \lambda(f(0))=0 gibt es eine holomorphe Funktion F:U\to\IC, sodass \lambda(f(z))/z=F(z) gilt für alle z\in\ U\\\{0\}. Es gilt für F die eindimensionale Cauchy\-Formel, d.h. für alle z\in U gilt:
\lambda(f(z))/z = F(z)
| | = 1/(2\pi||i)*int(F(\zeta)/(\zeta-z),\zeta,\gamma)
| | = 1/(2\pi||i)*int(1/(\zeta-z)*\lambda(f(\zeta))/\zeta,\zeta,\gamma) \lr(1)
wobei \gamma jeder einfache, positiv orientiere Weg um z herum sein kann.
Sei nun r>0 derart, dass (B_2r(0))^-\subseteq U. Wir wählen als Weg \gamma den Kreis um 0 mit Radius 2r. Es gilt dann für alle 0!=z\in B_r(0) und \lambda\in Y':
abs(\lambda(f(z))/z) <= 1/2\pi*2\pi*2r*sup(\zeta=\gamma(t),abs(1/(\zeta-z)*\lambda(f(\zeta))/\zeta))
| | <=2r*1/r*M_\lambda/2r
| | =1/r*M_\lambda
für eine geeignete, von \lambda abhängige Konstante M_\lambda>0. Also ist
menge(f(z)/z | abs(z) 0, sodass menge(f(z)/z | abs(z) f(z)\in zt*V\subseteq 1*V
Also bildet f die Nullumgebung B_\delta\.(0) nach V ab, ist also stetig in 0, da V beliebig war.
array(Schritt 2)__: f ist komplex differenzierbar. Wieder nehmen wir oBdA 0\in\ U und f(0)=0 an und zeigen die Differenzierbarkeit in 0.
Dazu weisen wir nach, dass (f(z)-f(0))/(z-0)=f(z)/z gegen 1/(2\pi||i)*int(f(\zeta)/\zeta^2,\zeta,\gamma) konvergiert für z\to 0. Man macht sich leicht klar, dass aus \ref(1) für alle z!=0 folgt, dass
f(z)/z=1/(2\pi||i)*int(f(\zeta)/\zeta(\zeta-z),\zeta,\gamma)
gilt.
Wegen 1/\zeta(\zeta-z)=1/\zeta^2+z/(\zeta^2*(\zeta-z)) ist das Integral auf der rechten Seite gleich
int(f(\zeta)/\zeta^2,\zeta,\gamma)+z*int(f(\zeta)/(\zeta^2*(\zeta-z)),\zeta,\gamma)
Wir brauchen dabei die Stetigkeit von f, um die Existenz dieser Integrale zu sichern.
=> f(z)/z-1/(2\pi||i)*int(f(\zeta)/\zeta^2,\zeta,\gamma)=z*1/(2\pi||i)*int(f(\zeta)/(\zeta^2*(\zeta-z)),\zeta,\gamma)
Dass das Integral rechter Hand existiert, haben wir schon festgestellt. Wir müssen nun noch feststellen, dass es für z\to 0 beschränkt bleibt. Sei dafür \lambda\in\ Y' beliebig. Dann gilt für alle z mit abs(z)0, sodass diese Menge \subseteq\ tV ist. Für abs(z)<\delta:=min|menge(r, 1/t) gilt also abs(zt)<=1 und somit:
f(z)/z-1/(2\pi||i)*int(f(\zeta)/\zeta^2,\zeta,\gamma)=z*1/(2\pi||i)*int(f(\zeta)/(\zeta^2*(\zeta-z)),\zeta,\gamma)
| | opimg(\in) z*tV
| | opimg(\subseteq) V
Da V beliebig war, folgt die Konvergenz gegen 0.
\blue\ q.e.d.
Cauchysche Integralformel
Daraus können wir einige der üblichen Eigenschaften holomorpher Funktionen bekommen:
\ll(Satz 8)
Sei U\subseteq\IC offen, Y ein lokalkonvexer, hausdorffscher, quasivollständiger \IC\-Vektorraum, f:U\to Y holomorph. Dann gilt:
(a) $f ist unendlich oft differenzierbar und es gilt die verallgemeinerte
$ $ Cauchysche Integralformel:
$ $ 1/n!*f^(n)(z)=1/(2\pi||i)*int(f(\zeta)/(\zeta-z)^(n+1),\zeta,\gamma)
$ $ für jeden Weg \gamma, der z einmal in positiver Richtung umläuft.
(b) $Ist Y sogar ein \IC\-Banachraum, so ist f analytisch.
\blue\ Beweis von \ref(a):
Hierfür zeigen wir zunächst induktiv, dass f beliebig oft differenzierbar ist. Dazu reicht es zu zeigen, dass die Ableitung einer holomorphen Funktion selbst schwach holomorph ist. Sei also \lambda\in Y' beliebig. Dann gilt:
\lambda(f'(z))=\lambda(lim(w\to z,(f(z)-f(w))/(z-w)))
| | = lim(w\to z,\lambda((f(z)-f(w))/(z-w))) wegen der Stetigkeit
| | = lim(w\to z,(\lambda(f(z))-\lambda(f(w)))/(z-w) wegen der Linearität
| | = (\lambda(f))'(z)
\lambda(f) ist nun als Verkettung der holomorphen Funktion f und der, da \IC\-linear und stetig, ebenfalls holomorphen Funktion \lambda selbst eine holomorphe Funktion. Der eindimensionale Fall lehrt uns also, dass \lambda(f)'=\lambda(f') ebenfalls holomorph ist und f' damit schwach holomorph ist.
Die Induktion zeigt uns auch gleich, dass \lambda(f^(n))=(\lambda(f))^(n) gilt, woraus wir mit der eindimensionalen Cauchy\-Formel sofort
\lambda(f^(n)(z)) = (\lambda(f))^(n)(z)
| | = n!/(2\pi||i)*int(\lambda(f(\zeta))/(\zeta-z)^(n+1),\zeta,\gamma)
| | = n!/(2\pi||i)*int(\lambda(f(\zeta)/(\zeta-z)^(n+1)),\zeta,\gamma)
| | = \lambda(n!/(2\pi||i)*int(f(\zeta)/(\zeta-z)^(n+1),\zeta,\gamma))
folgern \(man beachte, dass f stetig ist und über ein Kompaktum integriert wird, das Integral in der letzten Zeile also wirklich existiert\). Das wiederum, da es für alle \lambda\in\ Y' gilt, impliziert sofort
f^(n)(z) = n!/(2\pi||i)*int(f(\zeta)/(\zeta-z)^(n+1),\zeta,\gamma)
\blue\ Beweis von \ref(b):
Sei z\in\ U beliebig, aber fest. Es reicht zu zeigen, dass es eine offene Umgebung W\subseteq\ U von z und eine Konstante C>=0 gibt, sodass
\forall\ w\in W\forall\ n\in\IN: norm(f^(n)(w))<=n!*C^n
gilt. \(Ein Satz von Boas\-Pringsheim zeigt, dass diese Bedingung zu der bekannteren Forderung, lokal in eine Potenzreihe entwickelbar zu sein, äquivalent ist.\)
Dafür wählen wir r>0 derart, dass (B_2r(z))^-\subseteq U ist, und setzen W:=B_r(z). Für \gamma setzen wir den Kreis um z mit Radius 2r ein und erhalten:
norm(f^(n)(w)) <= n!/2\pi*2\pi*2r*M/r^(n+1) = n!*2M*(1/r)^n
wobei M:=sup(\zeta=\gamma(t),norm(f(\zeta))). C:=1/r*max|menge(wurzel(n,2M) | n\in\IN) erfüllt dann die Behauptung.
\blue\ q.e.d.
Holomorphe Funktionen zwischen Banachräumen
Wenn man das Kriterium über schwache Holomorphie erstmal hat, kann man sich weiter vorarbeiten und mit weiteren Sätzen sehr wirksame, hinreichende Bedingungen für Holomorphie besorgen. So kann man z.B. folgende Sätze beweisen, die ich hier nur angebe ohne sie zu beweisen:
\ll(Satz 9)
Seien X,Y \IC\-Banachräume, U\subseteq\ X offen, f:U\to Y. Es gilt dann:
(a) $Ist f holomorph, so ist f bereits analytisch.
(b) $Ist f lokal beschränkt und existieren alle Richtungsableitungen
$ $ \partial_h\.f auf ganz U, so ist f holomorph.
(c) $Existieren für alle y'\in Y' alle Richtungsableitungen \partial_h\.(y'\circ\ f)
$ $ auf ganz U , so existieren auch alle Richtungsableitungen \partial_h\.f auf
$ $ ganz U. Insbesondere ist f holomorph, falls es lokal beschränkt
$ $ ist.
(d) (Satz von Hartogs)
$ $ Ist X=\IC^n und existieren alle partiellen Ableitungen pdiff(f,x_i)=\partial_(e_i)\.f
$ $ auf ganz U, so ist f holomorph.
Mit Satz 7 könnten wir immerhin (c) beweisen:
Für jedes a\in\ U gibt es ein \eps>0, sodass B_\eps\.(a)\subseteq U ist.
Für h\in\ X definieren wir f_array(a\,h) auf der Kreisscheibe B_(\eps\/||norm(h))(0)\subseteq\IC durch f_array(a\,h)(z):=f(a+z*h).
Für y'\in\ Y' beliebig gilt \(sofern definiert\):
(y'(f_array(a\,h)(z+w))-y'(f_array(a\,h)(z)))/w = (y'(f(a+zh+wh))-y'(f(a+zh)))/w
was für w\to 0 gegen \partial_h\.(y'\circ f)(a+zh) geht. f_array(a\,h) ist also auf seinem Definitionsbereich schwach holomorph. Wir wissen aus Satz 7, dass f_array(a\,h) damit auch holomorph ist \(als Banachraum ist Y ja lokalkonvex, hausdorff und vollständig\).
Damit existiert insbesondere die komplexe Ableitung
f||array(\small\';a\,h\normal)(0) = lim(z\to 0,(f_array(a\,h)(z)-f_array(a\,h)(0))/z)
| | = lim(z\to 0,(f(a+zh)-f(a))/z)
| | = \partial_h\.f(a)
Da a und h beliebig waren, existieren also alle Richtungsableitungen. Das zeigt (c) und wenn man lokale Beschränktheit von f dazunimmt, folgt aus (b) die Holomorphie von f.
Abschluss
Ich hoffe, der Artikel hat euch gefallen. Es gäbe sicherlich noch viel mehr zu sagen über Pettis-Integrale und ihre Anwendungen. So finden sich z.B. in der Wahrscheinlichkeitstheorie noch vielseitige Anwendungsmöglichkeiten.
Auch die unendlichdimensionale Funktionentheorie hat die ein oder andere Nettigkeit zu bieten, etwa in der Distributionentheorie.
Ich bedanke mich auch ganz herzlich bei meiner Testleserin AnnaKath.
1/(2\pi||i)*int(m!*f(g),,\gamma)=Goc^(k)(el)
Literatur:
[1] Russell A. Gordon - The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock. Teilweise einsehbar bei google books.
[2] Charles Swartz - Introduction to Gauge Integrals. Teilweise einsehbar bei google books.
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2023-03-27 00:20 U <
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