Mathematik: Fallen Ziegelsteine von Dächern?
Released by matroid on Fr. 05. Oktober 2001 00:25:40 [Statistics]
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Mathematik

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IX}{\mathbb{X}} \newcommand{\IW}{\mathbb{M}} \newcommand{\politician}[1]{\text{Ich habe die Frage nicht verstanden. #1}} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Mit den Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung lernt man Chancen zu bewerten.
Die Wahrscheinlichkeit für eine 6 beim Würfeln ist 1/6. Die Chance für 6 Richtige im Lotto beträgt 1:13983816.

Die Wahrscheinlichkeit ist in diesen Fällen der Quotient aus günstigen Ergebnissen und möglichen Ergebnisses eines Zufallsexperiments.
Es gibt genau 6 mögliche Ergebnisse beim Werfen eines Würfels. Es gibt genau 13983816 Möglichkeiten 6 Zahlen aus 49 zu ziehen. Und jeweils ist nur ein Ausgang des Zufallsexperiments "günstig".

Der Begriff der Wahrscheinlichkeit ist aus Beobachtung entstanden. Bei einer großen Anzahl von Ausführungen eines Zufallsexperiments stellt man fest, daß die relative Häufigkeit für einen bestimmten Ausgang A des Experiments sich in der Nähe einer festen Zahl stabilisiert. Diese Zahl nennt man Wahrscheinlichkeit von A, in Zeichen: P(A).

Der klassische Wahrscheinlichkeitsbegriff geht auf den franz. Mathematiker (und Glückspieler) Pierre-Simon Laplace (1749-1827) zurück. Seine Definition lautet:

       Anzahl der für A günstigen Ereignisse 
P(A) = -------------------------------------
         Anzahl aller möglichen Ereignisse
[Über Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (pdf, Uni Heidelberg)] oder in Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (pdf, Uni Magdeburg), darin auch ein kurzer geschichtlicher Überblick.
Für die klassischen Zufallsexperimente stimmt die eigene Intuition mit dem mathematischen Ergebnis überein. Oder anders gesagt: Wenn man die kombinatorische Aufgabe zur Zählung der günstigen und möglichen Fälle gemeistert hat, dann berechnet man die Wahrscheinlichkeit und hat keine Zweifel, daß das Ergebnis richtig ist.
[Über Kombinatorische Grundaufgaben (Mathe-Prisma Uni Wuppertal)]

Der elementare, klassische Wahrscheinlichkeitsbegriff kann aber nur bei Zufallsvariablen mit endlichem Wertebereich angewendet werden. Solche Zufallsvariablen nennt man diskrete Zufallsvariable.
Was bedeutet denn "Zufallsvariable"? Anstatt mit der vollen Definition antworte ich einfach so:

Das (variable) Ergebnis eines Zufallsexperiment (z.B. eines Münzwurfs) ist eine Zufallsvariable, denn das Ergebnis hängt vom Zufall ab.

Vor einiger Zeit begegnete mir eine Diskussion, die mit folgender Frage begann:

Meine Lehrerin erwähnte im Unterricht heute ganz beiläufig, daß 50 % aller Parabeln die x-Achse nicht schneiden. Das machte mich stutzig, denn unendlich viele schneiden die x-Achse gar nicht, unendlich viele schneiden sie in einem Punkt, unendlich viele in zwei Punkten. Man kann daher keine Aussage darüber machen wieviele Prozent das nicht tun, oder doch?
Die Frage ist gut. Darf die Lehrerin derartiges behaupten?

Ich finde, man kann das so sagen.
Zur Begründung hole ich etwas aus.
Zunächst: es gibt viele verschiedene Parabeln.

Eine Parabel hat einen Scheitelpunkt S und ist entweder nach oben oder nach unten offen.
Der Scheitelpunkt S hat Koordinaten (x_s,y_s).
Die y-Koordinate ist entweder >0 oder <0 oder =0.
Nun kann man sich eine Tabelle machen, darin trage ich die Anzahl der Schnittpunkte (Berührpunkte) ein, die eine Parabel mit diesen Eigenschaften mit der x-Achse hat.
 
| y_s >0 | y_s < 0 | y_s = 0 |
------+---------+---------+---------+
oben | | | |
offen | 0 | 2 | 1 |
------+---------+---------+---------+
unten | | | |
offen | 2 | 0 | 1 |
------+---------+---------+---------+
Wenn man will, kann man sich mit folgendem Zufallsverfahren eine Parabel wählen:
Wirf ein Münze zweimal nacheinander.
Wenn der erste Münzwurf "Kopf" zeigt, dann soll das eine nach oben offene Parabel bedeuten, bei Zahl eine nach unten offene.
Wenn der zweite Münzwurf "Kopf" zeigt, dann soll das eine Parabel mit Scheitelpunkt über der x-Achse bedeuten, und Zahl bedeute einen Scheitelpunkt unter der x-Achse.
Wenn die Münze aber auf dem Rand aufrecht stehen bleibt, dann setze y_s = 0. ;-)
Nun treten Parabeln häufig in Mathebüchern auf.
Ich weiß nicht, wie die Autoren ihre Parabeln finden.
Sie werden kaum würfeln. Evtl. haben einzelne Autoren eine Vorliebe für nach oben offene Parabeln mit Scheitelpunkt unter- halb der x-Achse. Das weiß ich nicht.

Wenn man aber die Parabeln in einem Mathebuch von einem Zufallsgenerator erzeugen ließe, und der würde ohne persönliche oder didaktische Vorlieben arbeiten, dann könnte ein Schüler meines Erachtens davon ausgehen, daß er (ungefähr) gleich oft Parabeln vorfindet, die die x-Achse schneiden oder nicht.
Der Zufallsgenerator müßte die Scheitelpunkt-Koordinate y_s mit gleicher Wahrscheinlichkeit aus allen reellen Zahlen wählen. Unter dieser Annahme wäre auch die Sache mit der "Münze auf der Kante" wirklichkeitsgetreu - vom mathematischen Standpunkt, denn ein Zufallsgenerator wird unter allen reellen Zahlen gleichsam nie genau die Null liefern. [Zu dieser "gewagten" Aussage werde ich weiter unten noch einiges sagen.]

Man kann auch ein anderes Modell für die zufällige Wahl einer Parabel in der Zeichenebene geben:

Schieße bei verbundenen Augen mit einer Pistole auf die (unendlich ausgedehnte) Zeichenebene. Der getroffene Punkt soll der Scheitelpunkt sein. Schieße noch einmal. Zeichne die Parabel durch den Scheitelpunkt und den zweiten Treffpunkt.
Ergebnis:
  1. Man trifft die x-Achse niemals genau, denn die x-Achse hat ja keine flächenmäßige Ausdehnung, d.h. y_s ist niemals 0.
  2. Der zweite Treffer liegt immer über oder unter dem ersten, denn die horizontale Gerade durch den Scheitelpunkt hat keine Fläche.
    [Beides setzt natürlich Meßverfahren voraus, die beliebig genaue Ergebnisse liefern.]
  3. Die mit diesen Punkten konstruierte Parabel hat die Funktionsgleichung
    y = a*x^2 + b
Bei diesem Gedankenexperiment ist die Chance auf eine Parabel, die die x-Achse schneidet gleich groß, wie die Chance auf eine Parabel, die die x-Achse nicht schneidet.

Man könnte mit einem Freund Wetten abschließen, ob die Parabel der nächsten Aufgabe so oder so ist. Wer richtig ansagt, bekommt einen Punkt. Auf was soll man setzen?

Wenn man also vor einer unbekannten Aufgabe mit einer Parabel sitzt, über die man noch nichts weißt, dann stehen die Chancen für einen Schnittpunkt der Parabel mit der x-Achse 50:50.

Nach einiger Zeit und einigen gelösten (Haus)-Aufgaben wird man vielleicht feststellen können, daß die Parabeln im Buch doch nicht so völlig zufällig gewählt sind.
Eine Beobachtung kann man möglicherweise machen:
Auf der ersten Seite mit Aufgaben zu Parabeln sind alle oder die meistens Parabeln nach oben offen und mehrere haben y_s = 0. Drei Seiten weiter ändert sich das Bild. Nun sind die Parabeln häufig nach unten offen ...

In meinem alten Mathebuch finden sich unter den ersten 8 Aufgaben zu Parabeln folgende Anzahlen mit den jeweiligen Eigenschaften:

 
| y_s >0 | y_s < 0 | y_s = 0 |
------+---------+---------+---------+
oben | | | |
offen | 3 | 0 | 2 |
------+---------+---------+---------+
unten | | | |
offen | 0 | 1 | 2 |
------+---------+---------+---------+
Man kann sagen was man will, genau die Hälfte der Parabeln hat einen Schnitt-/Berührpunkt mit der x-Achse. Verblüffend.
Ich muß aber einräumen, daß doch unerwartet viele Parabeln den Scheitelpunkt auf der x-Achse haben. Nun muß das nichts bedeuten. Auch beim Würfeln gibt es manchmal 5 Sechsen nacheinander, obwohl alle Punktzahlen gleichwahrscheinlich sind.
Wenn dann aber die Klassenarbeit geschrieben wird, dann ist man wieder ohne Information. Jede gestellte Aufgabe kann so oder so sein.

Den kritischen Punkt obiger Argumentation möchte ich weiter erklären, nämlich:
Wie kann die Wahrscheinlichkeit für eine Parabel mit Scheitelpunkt auf der x-Achse denn 0 sein, es sind doch unendlich viele?
Wenn die 50%-Aussage der Lehrerin richtig sein soll, dann muß diese Wahrscheinlichkeit 0 sein.

Es soll nun also darum gehen, ob es genau 50% sind.

Im Sinne der stochastischen Konvergenz sind es 50%.

Man sagt, daß eine Folge von Zufallsvariablen Yn stochastisch gegen die Zahl µ konvergiert, falls für jedes e>0 gilt
limn->¥ P(|Yn-µ|>e) = 0.

Das bedeutet: Führt man ein Zufallsexperiment nur genügend oft aus, dann bewegt sich die Wahrscheinlichkeit für Werte von Yn, die deutlich von µ abweichen, gegen 0.
Für das Würfeln einer 6 ist Yn die Folge der relativen Häufigkeit der 6-en bei n-maliger Ausführung, also die relative Häufigkeit für das Werfen einer 6. Je öfter man den Würfel wirft, desto unwahrscheinlicher ist eine relative Häufigkeit, die deutlich von 1/6 abweicht.
[Über stochastische Konvergenz siehe Gesetz der großen Zahlen (von Veith Tiemann, Uni Bielefeld)]

Die stochastische Konvergenz sagt etwas über die Wahrscheinlichkeit einer Wahrscheinlichkeit. Das ist typisch für die Wahrscheinlichkeitstheorie. Die Mathematiker, die das erfunden haben, müssen es echt 'drauf' gehabt haben. Wem das zu hoch ist, der soll sich einfach merken: Je öfter man würfelt, desto näher liegt das Verhältnis von geworfenen 6-en zu allen Würfeln bei 1/6.

Bei diskreten Zufallsvariablen berechnet man Summenwahrscheinlichkeiten durch Addition von Einzelwahrscheinlichkeiten. In Analogie dazu berechnet man, um bei einem stetigen Verteilungsmodell zu Wahrscheinlichkeitsaussagen zu gelangen - etwa P(X<0) -, die Fläche unter der Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) für die Zufallsvariable X (Dichtefunktion). das heißt, das Maß für die Flächenfunktion wird gebildet und die Frage P(X<a) ist synonym mit:

P(X£a) = -¥ ò a f(x) dx = F(a) = 1 - P(a<X)

denn bei stetigen Zufallsvariablen ist jede Einzelwahrscheinlichkeit 0, sprich P(X=a) = 0.

Wenn die Zufallsvariable X hier die "y-Koordinate des Scheitelpunkts einer Parabel" bedeutet und gleichverteilt Werte aus IR annimmt, dann ist P(X>0) = 1/2 = P(X£0).

Was sollte es auch sonst sein. Man erwartet von dem Wahrscheinlichkeitsmaß, daß

P(Ø) = 0 und P(IR) = 1
  und außerdem soll (u.a.) auch gelten
a<b => P(X<a) £ P(X<b)

[Über Wahrscheinlichkeitsmaße siehe Maßtheorie (von Carsten Schütt, Uni Kiel) pdf]

Auf die 0 kommt es also nicht an. Im Sinne der Maßtheorie ist ihr Maß gleich null.
Dagegen wehrt sich die Intuition, es erhebt sich Widerspruch, aber es ist richtig.

Was bedeutet denn, "die Wahrscheinlichkeit ist 0"?
Bei einer Zufallsvariablen mit endlichem Wertebereich (man sagt: einer diskreten Zufallsvariablen) bedeutet 0, daß das Ereignis unmöglich ist. Schließlich kann sich 0 nur ergeben, wenn die Anzahl der günstigen Fälle gleich 0 ist.
Bei einer stetigen Zufallsvariablen muß man "Wahrscheinlichkeit 0" anders interpretieren, nämlich als Grenzwertaussage.

Dazu muß man sich klarmachen, daß nahezu jedes singuläre Ereignis in unserer Welt - bevor es eingetreten ist - beliebig unwahrscheinlich ist. Stellen wir uns dazu einen Dachziegel vor, der zufällig vom Hausdach fällt. Er knallt also aufs Pflaster und zerspringt in viele große, kleine und mikroskopische Fragmente, die in ihrer Anordnung so einmalig verteilt sind, daß sich die Konfiguration der Splitter, solange die Welt sich dreht, solange Ziegelsteine von Dächern fallen, niemals mehr wiederholen läßt. Daher stellt jedes dieser Ergebnisse a priori ein praktisch unendlich unwahrscheinliches Ereignis dar. Diese Feststellung ist im Grunde völlig banal und damit völlig bedeutungslos. Sie bekommt nur dann eine scheinbare Bedeutung, wenn man daraus die irrige Schlußfolgerung ableiten wollte, daß aufgrund der extrem geringen a-priori-Wahrscheinlichkeit, ein singuläres Ereignis in allen Details zu wiederholen, der Mechanismus, der das Ereignis hervorbrachte, schlichtweg unmöglich sei.

Die Erwartungshaltung, daß die Wahrscheinlichkeit einer Parabel mit einem Scheitelpunkt auf der x-Achse nicht null sein darf, weil es solche Parabeln gibt, ist logisch gleichbedeutend mit folgender Aussage:

Der (konkret beobachtete) Fall eines Ziegelsteins vom Dach eines Hauses, ist in all seinen Details a priori ein so extrem unwahrscheinliches Ereignis, daß Ziegelsteine prinzipiell nicht von Dächern fallen können.
Auf jeden Fall bedeutet die Wahrscheinlich von 0 nicht, daß das Ereignis unmöglich ist.
[Teilweise zitiert aus Argumentation mit der Wahrscheinlichkeit von M. Neukamm]


Problematisch ist allerdings die Annahme einer Gleichverteilung über ganz IR.
Der Gedanke widerspricht zwar nicht den Anforderungen an ein Wahrscheinlichkeitsmaß, aber es kann auch niemand dazu eine Dichtefunktion f(x) angeben (Oder?).

Wenn es das gäbe, was wäre dann P(X<10) oder P(X<1000)?
Mit dem gleichen Argument wie oben, erhielte man:

P(X³10) = 1 - P(X<10)
und weil die (angenommene) Gleichverteilung über ganz IR nicht nur zu x=0, sondern auch zu x=10 symmetrisch liegt, muß man schließen, daß auch P(X<10) = 1/2 ist usw.

Die Zahlen >1000 sind auf der reellen Achse nicht seltener als die Zahlen > 10 oder >0. Die Mengen [10,¥[, [1000,¥[ und [0,¥[ haben alle die gleiche Mächtigkeit (Cantor läßt grüßen).

Die Lehrerin könnte somit auch behaupten, daß 50% der Parabeln einen Scheitelpunkt S haben, dessen y-Koordinate größer als 1000 ist.
Auch das wäre richtig (bei angenommener Gleichverteilung).


Es muß aber keine Gleichverteilung sein. Warum nicht eine Normalverteilung mit Mittelwert 0. Das würde auch die Beobachtung berücksichtigen, daß die meisten in Mathebüchern angetroffenen Parabeln einen Scheitelpunkt in der Nähe des Ursprungs des Koordinatensystems haben.
Da Normalverteilungen mit Mittelwert µ = 0 symmetrisch zum Mittelwert sind, gilt wieder die 50%-Aussage.

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung beschäftigt man sich auch mit der Frage, welches die richtige Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen ist. Man hat dafür Verteilungstests entwickelt und gelangt damit zu Aussagen wie: "Die Wahrscheinlichkeit, daß die Zufallsvariable X normalverteilt ist, beträgt mehr als 95 %."
Ausgangspunkt dafür sind Stichproben von Werten für X.

Evtl. ergeben Stichproben, daß die Wahrscheinlichkeit für eine zu 0 symmetrische Verteilung gering ist. Aber ausschließen kann man es deswegen nicht.


Zusammenfassung:
  1. Stichproben unterstützen die 50%-These.
  2. Die mögliche Lage des Scheitelpunkts auf der x-Achse ist kein Argument gegen die 50%.
  3. Man kann der Lehrerin nicht beweisen, daß es nicht 50 % sind.

[Mathematik ist ein Spiel für mindestens eine Person.]

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Fallen Ziegelsteine von Dächern? [von matroid]  
Mit den Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung lernt man Chancen zu bewerten. Die Wahrscheinlichkeit für eine 6 beim Würfeln ist 1/6. Die Chance für 6 Richtige im Lotto beträgt 1:13983816. Die Wahrscheinlichkeit ist in diesen Fällen der Quotient aus günstigen Ergebnissen und möglichen Ergebnisse
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"Mathematik: Fallen Ziegelsteine von Dächern?" | 3 Comments
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Re: Fallen Ziegelsteine von Dächern?
von: buh am: Fr. 05. Oktober 2001 12:50:26
\(\begingroup\)Gruselthema für alle Schüler, die in Mathe mehr als nur einen Grundkurs besuchen: die Unendlichkeit.
Wieso sind natürliche und rationale Zahlen gleich viele, reelle Zahlen aber echt mehr, wo sie doch auch "nur" unendlich viele sind?
Die Erklärung dieses Phänomens übersteigt i.d.R. das Fassungsvermögen eines Schülers vollständig; auch Studenten kauen daran. (Wer hat den Beweis der Überabzählbarkeit verstanden?) Die Wahrscheinlichkeit bei kontinuierlichen Mengen lässt sich halt nur noch mit infinitesimalen Mitteln erklären; das aber ist nur ansatzweise (und nicht vollständig fachwissenschaftlich exakt) Unterrichtsgegenstand; vieles wird zum Glaubenssatz und vereinfacht dargestellt.
Ein Satz wie "50% aller Parabeln ..." hinterlässt beim Schüler bestenfalls Zweifel am eigenen Wissen, schlimmstenfalls Zweifel am eigenen Intellekt oder gar am Verstand der Mathematiker und am Sinn der Mathematik. Man muss seine Schüler gut kennen, um so etwas äußern zu können, ohne Schaden anzurichten, zumal man den Beweis dafür wohl schuldig bleiben muss.

Gruß von buh\(\endgroup\)
 

Re: Fallen Ziegelsteine von Dächern?
von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 30. November 2002 21:57:49
\(\begingroup\)ich finde es interesaant, allerdings bin ich gerade bei nem ganz anderen thema und werde mich erst später damit beschäftigen.
mfg
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